vector

Ввиду важности равенств, рассмотренных в примере 2.5.8, выпишем их

отдельно наряду с аналогичными им равенствами:

1) i2 j2 k 2 1;

2) i j i k j i j k k i k j 0;

ПРИМЕР 2.5.9. Раскрыть скобки в следующих выражениях:

а) (i 2 j 3k) k ; б) ( j 2i) (k i) ; в) (i j) (k i) ; г) (i j) (5k i 3 j) ,

где i, j, k – орты правой прямоугольной декартовой системы координат.

Решение. а) По свойствам  и  скалярного произведения и формулам

1), 2) из группы формул (33) имеем:

(i 2 j 3k) k i k 2( j k) 3(k k) 0 0 3 1 3.

б) По свойствам  и  векторного произведения и формулам 3), 4) из

группы формул (33) имеем:

( j 2i) (k i) j k 2(i k) ( j i) 2(i i) i 2 j k 0 i 2 j k.

в) (i j) (k i) 0 , т.к. i j 0 .

г) (i j) (5k i 3 j) k (5k i 3 j) 5k2 k i 3k j

Решение. а) Используя свойства - скалярного произведения,

получаем:

71

(3a 2b) (a 2b) 3a a 2b a 3a 2b 2b 2b

3a2 2(a b) 6(a b) 4b2 3 | a |2 4(a b) 4 | b |2

3 | a |2 4 | a | | b | cos 4 | b |2

3 9 4 3 4 cos(2 / 3) 4 16

27 48 ( 1/ 2) 64 61,

где использована формула (20) и определение скалярного произведения.

б) Аналогично имеем:

(a b)2 (a b) (a b) a2 b a a b b2 a2 2a b b2

| a |2 2 | a | |b | cos | b |2 9 2 3 4 ( 1/ 2) 16 37.

в) Вектор a b коллинеарен самому себе, поэтому по формуле (27)

(a b) (a b) 0 .

Полученный результат может быть найден и при помощи определения и свойств - векторного умножения:

(a b) (a b) a a b a a b b b 0 b a b a 0 0.

г) Раскрывая скобки и учитывая свойства векторного произведения,

получим:

(a b) (a b) a a b a a b b b 0 b a b a 0 2b a .

Тогда модуль

| (a b) (a b) | | 2b a | 2 | b a | 2 | b | | a | sin

для чисел (скаляров), оказываются верными и для векторов в случае скалярного умножения (см. подчеркнутые выражения в решении примера 2.5.10б)). В

случае же векторного умножения ни одна из упомянутых формул не верна (см.

решение примера 2.5.10 в),г)).

72

ПРИМЕР 2.5.11. Какому условию должны удовлетворять векторы р и q,

чтобы вектор р + q был: а) перпендикулярен вектору р – q; б) коллинеарен

вектору р – q?

Из элементарной геометрии известно, что параллелограмм, у которого все стороны равны, есть ромб.

Верно и обратное утвреждение: если | p | | q | , то векторы р + q и р – q

перпендикулярны. Действительно, при условии | p | | q | изображенный на

рис.33 параллелограмм является ромбом, а в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны (теорема элементарной геометрии), следовательно, векторы

р + q и р – q перпендикулярны.

( p q) ( p q) 0 .

Раскрывая скобки в последнем равенстве и используя свойства векторного произведения, получим:

( p q) ( p q) p p p q q p q q 2q p 0 ,

откуда следует, что векторы р и q коллинеарны.

73

Верно и обратное утверждение: если векторы р и q коллинеарны, то

векторы р + q и р – q тоже коллинеарны (докажите самостоятельно!). ■

Векторы a b и 10(a b) коллинеарны по определению умножения вектора на число. ■

Доказать, что эти векторы компланарны.

Решение. Умножим скалярно равенство (*) на вектор а:

a (a b b c c a) a 0 .

Раскрывая скобки по свойству  скалярного произведения и учитывая, что a 0 0, а также a (a b) (a, a, b) 0 и a (c a) (a, c, a) 0 (по свойству

 смешанного произведения), получим:

a (a b) a (b c) a (c a) (a,b,c) 0 .

Равенство нулю смешанного произведения векторов a, b, c и означает их компланарность по условию (31), что и требовалось доказать. ■

Решение. При прямолинейном движении работу А силы F можно найти по формуле

74

A F S ,

где S - вектор перемещения.

Находим вектор S MN {5 1, 6 ( 2), 1 3} {4, 4, 2}.

По формуле (21) находим скалярное произведение:

A F S 2 4 ( 1) ( 4) ( 4) ( 2) 20 (ед. энергии) . ■

ПРИМЕР 2.5.15. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на

Решение. Используя свойства - векторного произведения, находим

(a 3b) (3a b) (a 3a) (3b) (3a) (a b) (3b b)0 9(b a) (b a) 0 8(b a),

Тогда площадь параллелограмма по формуле (26)

S| (a 3b) (3a b) | 8 | b a | 8 | b | | a | sin(a , b)

8 1 1 sin 30 8 1/ 2 4. ■

ПРИМЕР 2.5.16. Вычислить (a b) (b c) (c a) .

по теореме о линейной зависимости систем векторов (пункт 2). А по условию

(31) смешанное произведение компланарных векторов равно нулю. ■

ПРИМЕР 2.5.17. При каких условиях на α, β векторы

Решение. а) Из условия (19) перпендикулярности векторов следует, что

75

перпендикулярен обоим векторам-сомножителям, в частности, b a и поэтому не может быть ему коллинеарен ни при каких α и β. ■

Задачи для самостоятельного решения

№36. Что выражают собой представленные ниже произведения: число или

76

2)Используя результат пункта 1), найти площадь параллелограмма ( S )

итреугольника ( S ), построенных на векторах а и d.

3)Есть ли среди данных векторов коллинеарные, перпендикулярные?

4)Компланарны ли векторы a, b, c ?

5)Есть ли среди данных векторов некомпланарная тройка? В случае положительного ответа указать, какую тройку образуют эти векторы (правую или левую) и найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

№38. Какую тройку, правую или левую, образуют векторы:

в) Найти объем V пирамиды ABCD и длину ее высоты НС, проведенной из вершины С.

77

№42. Векторы а и b перпендикулярны. Зная, что | a | 3, | b | 4, вычислить:

приложенные в одной точке. Вычислить работу, которую производит равнодействующая этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки M (4, 2, 8) в точку N(3, 2, 5).

78

b 4i 2 j 6k .

79

ТИПОВЫЕ ВАРИАНТЫ РЕЙТИНГОВЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»

Ниже приводятся примерные варианты тестов и контрольных работ, предлагаемых студентам разных специальностей РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина. Все варианты были любезно предоставлены лекторами потоков соответствующих факультетов. Баллы, которыми оценивается каждая рейтинговая работа, могут быть различными на разных потоках (они определяются лекторами потоков) и варьируются в пределах от 5 до 12 при максимальном семестровом рейтинге 60 баллов. В некоторых потоках тесты по векторной алгебре не проводятся отдельно, а включены в общую контрольную работу по аналитической геометрии.

80