Алгоритм построения совершенного паросочетания в полном нагруженном двудольном графе.

Пусть полный двудольный с нагруженными ребрами граф

G = K_{n , n} = (X, Y, E), где вершины X = { x₁, …, x_n }, Y = { y₁, …, y_n }, ребра

E = {e_ij = (x_i , y_j ): i, j = 1, 2,…, n }, веса ребра e_ij задаются n х n – матрицей

A = [a_ij], в котором вес ребра e_ij равен a_ij . Полный двудольный граф G всегда имеет совершенное паросочетание (обозначим его через СПС). Далее выполнить следующее.

Пометить вершины из G числами по правилу: x_i X u_i = max a_ij (это максимумы чисел соответствующих строк матрицы А) и y_j Y v_j = 0. Для любого ребра a_ij выполняется a_ij ≤ u_i + v_j . Взять в G исходное паросочетание P = .

1. Построить подграф G´ графа G, содержащий все вершины в G и все ребра из G, для которых u_i + v_j = a_ij . Перейти к п. 2.

2. Взять вне P некоторую вершину. Методом чередующихся цепей (как это делалось в предыдущей задаче) найти P – увеличитель и построить новое паросочетание в G, у которого ребер больше, чем в P. Далее построить в G´ дерево T всех возможных чередующихся цепей (как в предыдущей задаче). Перейти к п. 3.

3. Вычислить Δ = max (u_i + v_j − a_ij ) по всем x_i T, y_j T. Изменить пометки вершин по правилу: x_i T u_i := u_i – Δ, y_j T v_j := v_j + Δ. Перейти к пункту 4.

4. Если построенное P есть СПС для G, то алгоритм заканчивает работу. Если нет, то перейти к пункту 1.

Решение:

y₁ y₂ y₃ y₄

┌ ┐

X1 y1 x1 0 3 4 3

W = x₂ 3 6 7 6

x₃ 4 7 8 7

x₂ y₂ x₄ 3 6 7 6

└ ┘

x₃ y₃

x₄ y₄

Рис. 1.

Шаг 0. Пометим вершины x₁ ,…, x₄ , y₁ ,…, y₄ соответственно числами

u₁ = 4, u₂ = 7, u₃ = 8, u₄ = 7, v₁ = v₂ = v₃ = v₄ = 0. Возьмем в G исходное паросочетание P₀ = .

Шаг 1. 1. Подграф G₁ = {e₁₃ , e₂₃ , e₃₃ , e₄₃}, ибо 4 = w₁₃ = u₁ + v₃ = 4 + 0 = 4 ,

7 = w₂₃ = u₂ + v₃ = 7+0 = 7, 8 = w₃₃ = u₃ + v₃ = 8+0 = 8, 7 = w₄₃ = u₄ + v₃ = 7+0 = 7. Переход к пункту 2.

2. Вершина x₁ P₀ . С₁ = [x₁ , y₃] = {e₁₃} есть чередующаяся цепь в G с корнем в x₁ . Для G паросочетание P₁ = (P₀ – C₁) (C₁ – P₀) = {e₁₃}. Вершина x₂ P₁ . Дерево T₁ всех чередующихся цепей G₁ с корнем x₂ на рис. 2. Переход к пункту 3.