I уровень

1.1. Измените порядок интегрирования в двойных интегралах:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

1.2. Вычислите интеграл по области, ограниченной указанными линиями:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

II уровень

2.1. Измените порядок интегрирования в двойном интеграле:

1) 2)3)

4) 5)6)

2.2. Вычислите интеграл по области, ограниченной указанными линиями:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

III уровень

3.1. Измените порядок интегрирования в двойном интеграле:

1) ; 2).

3.2. Вычислите интеграл по области, ограниченной указанными линиями:

1)

2)

3)

4)

5) 

24.2. Вычисление двойных интегралов

в полярной системе координат

Если область интегрирования представляет собой круг или его часть, для упрощения производимых вычислений переходят к полярным координатам. Формулы перехода от декартовых координат x и y к полярным координатам иимеют вид:

(24.4)

где (или).

Формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам имеет вид:

(24.5)

где  – область в полярной системе координат, соответст­вующая области D в декартовой системе координат;

f(x; y) – функция, непрерывная в этой области.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах также переходят к повторному интегралу. При этом используют понятие области, правильной в полярной системе.

Область D называют правильной в полярной системе, если всякий луч, выходящий из полюса и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает только одну (только один раз) «линию входа» и только одну (только один раз) «линию выхода».

В случае правильной области (рис. 24.12) верна формула

(24.6)

Рис. 24.12

Если область интегрирования D ограничена эллипсом или его частью, обосновано применениеобобщенных полярных координат, переход к которым осуществляется по формулам:

(24.7)

Тогда

(24.8)

где  – область в обобщенной полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Далее переходят к повторному интегралу.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями, используя полярные координаты:

1)

2)

3)

Решение. 1) Прежде, чем вычислять интеграл, изобразим область интегрирования (рис. 24.13).

Рис. 24.13

В полярной системе координат Op уравнение окружности ограничивающей областьимеет вид:т. е. Окончательно получаем, чтооткудаОпределим границы изменения координати

Область является правильной в полярной системе координат. Поэтому, воспользовавшись формулами (24.4) и (24.5) перехода от декартовых координат к полярным, перейдем к повторному интегралу по формуле (24.6):

2) Изобразим область интегрирования (рис. 24.14).

Рис. 24.14

Воспользуемся формулами (24.4) перехода от декартовых координат к полярным координатам. В новой системе координат Op уравнение заданной окружности ограничивающей областьпринимает вид:После сокращения имеем Определим границы изменения координат и

Воспользуемся формулой (24.6) перехода от двойного интеграла к повторному и вычислим его:

3) Изобразим область интегрирования (рис. 24.15).

Рис. 24.15

Воспользуемся формулами (24.4) перехода от декартовых координат к полярным координатам. В новой системе координат Op уравнение заданной окружности ограничивающей областьимеет вид: Откудаи окончательно

Уравнение окружности в новой системе координат будет следующим:т. е. или

Область является правильной, ее ограничивают линии и

Прямая имеет угловой коэффициентоткуда находим уравнение лучаДля уравнения прямойимеемЗначит, границы изменения координатитаковы:

Перейдя к повторному интегралу по формуле (24.6), вычислим его:

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулами понижения степени: и

Задания