4. Объем и площадь поверхности тела вращения

Если тело ограничивает поверхность, полученную вращением кривой вокруг осиOx(рис. 20.11), то его объем вычисляется по формуле

(20.20)

а площадь поверхности – по формуле

(20.21)

Если тело ограничено поверхностью, которая образована вращением кривой вокруг осиOy, то его объем вычисляется по формуле

(20.22)

Если тело ограничено поверхностью, полученной вращением кривой вокруг осиOy(рис. 20.12), то его объем вычисляется по формуле

(20.23)

а площадь поверхности – по формуле

(20.24)

Рис. 20.11 Рис. 20.12

Если плоская фигура, ограниченная кривыми и прямымидлявращается вокруг осиOx, то объем тела вращения вычисляется по формуле

(20.25)

Если плоская фигура, ограниченная кривыми и прямымидлявращается вокруг осиOy, то объем тела вращения вычисляется по формуле

(20.26)

Если кривая, заданная параметрическими уравнениями вращается вокруг осиOx, то объем тела вращения вычисляется по формуле

(20.27)

а площадь поверхности вращения – по формуле

(20.28)

Если тело получено вращением сектора, ограниченного кривой и лучамивокруг полярной оси, то его объем вычисляется по формуле

(20.29)

а площадь поверхности – по формуле

(20.30)

5. Физические приложения определенного интеграла

Путь, пройденный теломсо скоростьюза промежуток временивычисляется по формуле

(20.31)

Если материальная точка движется по оси Oxиз точкидо точкипод действием направленной вдоль осиOxпеременной силыF(x), которая задается непрерывной функцией, торабота, произведенная силой F по перемещению точки, вычисляется по формуле

(20.32)

Давление жидкости на погруженную в нее в горизонтальном положении пластинку на глубину hот поверхности жидкости вычисляется по закону Паскаля:гдеg– ускорение свободного падения:S– площадь пластинки,– плотность жидкости. Если пластинка погружена в жидкость в вертикальном положении, то сила давления жидкости на единицу площади изменяется с глубиной погружения. Давление жидкости на вертикальную пластинку, ограниченную линиями (рис. 20.13), вычисляется по формуле

(20.33)

Давление жидкости на вертикальную пластину, ограниченную линиями (рис. 20.14), вычисляется по формуле

(20.34)

Рис. 20.13 Рис. 20.14

Масса неоднородного стержня, расположенного на отрезке [a; b] осиOx, имеющего линейную плотностьгде– непрерывная на [a; b] функция, вычисляется по формуле

(20.35)

Если дуга плоской кривой задана уравнением гдеи имеет плотностьтостатистические моменты иэтой дуги относительно координатных осейOx и Oy вычисляются, соответственно, по формулам:

(20.36)

Если кривая задана параметрическими уравнениями имеет однородную плотностьто формулы имеют вид:

(20.37)

Моменты инерции дуги плоской кривой гдеимеющей плотностьвычисляются по формулам:

(20.38)

Если кривая задана параметрическими уравнениями то формулы имеют вид:

(20.39)

Координаты центра масс дугиплоской кривойгдеимеющей плотностьвычисляются по формулам:

(20.40)

где M– масса дуги:

Если кривая задана параметрическими уравнениями то формулы имеют вид:

(20.41)

где М– масса дуги:

Пример 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

1)

2)

3)

4)

Решение. 1) Построим график функции т. е.Проведем прямыеиЗаштрихуем искомую фигуру (рис. 20.15).

Площадь данной фигуры находим по формуле (20.6)

Рис. 20.15

2) Фигура имеет вид, изображенный на рис. 20.16.

Рис. 20.16

Так как на отрезке функция принимает значения разных знаков, то разобьем отрезок интегрирования на такие части, где функция принимает значения одного знака. Для нахождения площади фигуры воспользуемся формулами (20.6) и (20.7):

3) Построим графики функций изаштрихуем искомую фигуру (рис. 20.17). Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пересечения графиков функций. Для этого решим систему уравнений

Рис. 20.17

Имеем

Площадь данной фигуры находим по формуле (20.8)

4) Построим графики функции ис независимой переменнойy. Они образуют плоскую фигуру (рис. 20.18). Найдем ординаты точек пересечения графиков данных функций. Для этого решим систему уравнений

Имеем

Площадь данной фигуры находим по формуле (20.10)

Рис. 20.18

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) эллипсом

2) первой аркой циклоиды и прямой

3) кардиоидой

Решение. 1) Запишем уравнение эллипса в параметрическом виде

Эллипс – симметричная кривая. В основу вычисления положим площадь фигуры, лежащей в первой координатной четверти, образованной эллипсом и координатными осями (рис. 20.19). Она проектируется на отрезок [0; 2] оси Ox. Найдем пределы интегрирования: если тоеслитоПоэтому воспользуемся формулой (20.11) для вычисления площади фигуры

2) Фигура, ограниченная аркой циклоиды и осью Ox, изображена на рис. 20.20.

Рис. 20.19

Рис. 20.20

Найдем пределы интегрирования: если тоеслито

Найдем площадь фигуры по формуле (20.11)

3) Кардиоида образует фигуру, симметричную относительно оси Ox (рис. 20.21).

Используя симметрию, найдем площадь фигуры по формуле (20.12)

Рис. 20.21

Пример 3. Вычислить длину дуги кривой:

1) от точки с абсциссой 1 до точки с абсциссой

2) от точкидо точки

3) от точкидо

Решение. 1) Применим формулу (20.14). Для имеемПолучаем:

Подынтегральное выражение является дифференциальным биномом. Поскольку и– целое число, то используем подстановкуТогдаЕслитоеслито

Получим:

2) Применим формулу (20.14). Для функции имеемпоэтому

Используем подстановку Тогда

Находим новые пределы интегрирования: если тоеслито

Получаем:

3) Применим формулу (20.15). Для функции имеемтогда

Вычислим интеграл методом интегрирования по частям:

Найдем длину дуги l из полученного равенства:

Выражаем:

Пример 4. Найти длину:

1) астроиды

2) дуги розы

3) первого витка спирали Архимеда

4) дуги логарифмической спирали между точкамии

Решение. 1) Применим формулу (20.16). Астроида – симметричная кривая (рис. 20.22).

Рис. 20.22

Вычислим длину дуги, лежащей в первой координатной четверти. Тогда для имеемдляимеемВычисляем производные:

Получаем:

2) Кривая, определяемая уравнением имеет один лепесток (рис. 20.23).

Рис. 20.23

Длину дуги лепестка получим, если φ изменяется от 0 до π. Применим формулу (20.18). Вычислим производную:

Получаем:

3) Длину первого витка спирали Архимеда (рис. 20.24) получим, если φ изменяется от 0 до 2π. Применим формулу (20.18). Поскольку то получаем:

Найдем длину дуги l из полученного равенства

Выражаем:

Рис. 20.24

4) Логарифмическая спираль изображена на рис. 20.25. Применим формулу (20.18). Точкуполучим, еслиточкуполучим, еслиПоэтому имеем:

Рис. 20.25

Пример 5. Найти объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом и плоскостью

Решение. Если эллиптический параболоид пересечь плоскостьюто в его сечении получим эллипст. е.Площадь эллипса найдена в примере 2 (см. с. 115). ИмеемДля вычисления объема тела применим формулу (20.19):

Пример 6. Используя определенный интеграл, получить формулу объема шара двумя способами.

Решение. 1-й способ. Поместим центр шара в начало координат (рис. 20.26). Пересечем шар плоскостью, перпендикулярной оси Ox. Вычислим площадь круга, полученного в сечении. Обозначим его радиус через r. Тогда Площадь круга является функцией переменнойx и равна причемx изменяется от – R до R. Для вычисления объема шара применим формулу (20.19):

Рис. 20.26

2-й способ. Вычислим объем шара, рассматривая его как тело вращения. Пусть окружность вращается вокруг осиOx, она образует сферическую поверхность, которая является границей шара. Для вычисления объема шара применим формулу (20.20). Поскольку гдето получаем формулу объема шара:

Пример 7. Используя определенный интеграл, получить формулу площади поверхности сферы.

Решение. Вычислим площадь поверхности сферы по формуле (20.21). Так как (рис. 20.26), то

Тогда

Получаем формулу площади поверхности сферы:

Пример 8. Найти объем тела:

1) образованного вращением вокруг оси Ox параболы и ограниченного плоскостью

2) образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ивокруг осиOy.

Решение. 1) Для вычисления объема тела (рис. 20.27) применим формулу (20.20):

Площадь боковой поверхности вычислим по формуле (20.21). Выразив y через x, получим

Находим:

и

Тогда

Рис. 20.27

2) Построим графики функций изаштрихуем образованную ими плоскую фигуру (рис. 20.28). Найдем пределы интегрирования, т. е. ординаты точек пересечения графиков функций. Для этого решим систему уравнений

Рис. 20.28

Имеем: тогдаПредставив заданные функции как функции переменнойу, получим: где

Объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси Oy, вычислим по формуле (20.26):

Пример 9. Найти объем и площадь поверхности тела, образованного вращением:

1) одной арки циклоиды

вокруг оси Ox;

2) кардиоиды вокруг полярной оси.

Решение. 1) Объем тела и площадь поверхности вычислим по формулам (20.27) и (20.28).

Находим:

Тогда

2) Объем тела, образованного вращением кардиоиды вокруг полярной оси, вычислим по формулам (20.29) и (20.30) и учтем, что кардиоида – фигура, симметричная относительно полярной оси (поэтому – пределы интегрирования).

Вычисляем Тогда

Пример 10. Найти силу давления жидкости на пластину, вертикально погруженную в жидкость, если пластина имеет форму полукруга радиусом R, диаметр которого находится на поверхности воды (рис. 20.29).

Рис. 20.29

Решение. Давление жидкости на полукруг ABC численно равно удвоенному давлению испытываемому четвертью круга OBC. Уравнение дуги BC имеет вид: Тогда по формуле (20.33) находим искомое давление

Пример 11. Найти координаты центра масс однородной дуги астроидырасположенной в первой четверти.

Решение. Координаты инаходим по формулам (20.41). ИмеемТак какприприто по формулам (20.37) получаем:

Тогда

Следовательно, центр масс имеет координаты

Пример 12. Скорость автомобиля при торможении меняется по закону (м/с). Определить, какой путь (м) пройдет автомобиль от начала торможения до полной остановки.

Решение. Путь, пройденный автомобилем, вычислим по формуле (20.31). Найдем время от начала торможения до остановкиИз равенстванаходимПоэтому

(м).

Задания