I уровень

1.1.Составьте интегральные суммы и, перейдя к пределу, найдите интеграл. При составлении интегральных сумм значение функции вычислите:

1) в правом конце каждого частичного отрезка;

2) в левом конце каждого частичного отрезка:

1) 2)3)

У к а з а н и я. Воспользуйтесь равенствами:

1. 

2. 

3. Сумма n членов геометрической прогрессии равна

II уровень

2.1.Сравните интегралы:

1) и2)и

3) и4)и

5) и6)и

7) и8)и

2.2.Вычислите интеграл, используя свойства определенного интеграла:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

III уровень

3.1.Докажите неравенство:

1) 2)

3) 4)

3.2.Оцените интеграл:

1) 2)

3) 4)

20.2. Формула Ньютона-Лейбница. Методы

интегрирования по частям и замены переменной

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] иF(x) – ее первообразная на этом отрезке, то

(20.3)

Формула (20.3) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Интегрирование по частям

Пусть u(x) иv(x) – непрерывные функции, которые имеют непрерывные производные на отрезке [a; b]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям:

(20.4)

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть f (x) – непрерывная на отрезке [a; b] функция, а функцияи ее производнаянепрерывны на отрезкегдеТогда справедлива формула

(20.5)

Вместе с заменой переменной в определенном интеграле заменяются пределы интегрирования.

Пример 1. Вычислить интеграл:

1) 2)

3) 4)

Решение. 1) Применим формулу Ньютона-Лейбница (20.3):

2) Подынтегральная функция является четной. Поэтому

3) Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Выделим целую часть, разделив ее числитель на знаменатель по правилу деления многочленов:

Тогда

4) Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью. Разложим ее на сумму простейших дробей:

Найдем коэффициенты A, B, C из равенства

Полагая получаемПриполучаемПолагаяполучаемДалее находим:т. е.

Тогда

Пример 2. Вычислить интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

1) 2)

3) 4)

Решение. 1) По формуле (20.4) имеем:

2) Используем формулу (20.4):

3) Подынтегральная функция является четной, поэтому

Применим формулу (20.4) интегрирования по частям. Пусть

Получим:

4) Используем формулу (20.4) интегрирования по частям дважды:

Таким образом, получили равенство

Из него находим:

Пример 3. Вычислить определенный интеграл, используя формулу замены переменной:

1) 2)3)

4) 5) 6)

Решение. 1) Сделаем подстановку тогдаОпределим новые пределы интегрирования. Для этого в равенство замены переменной поочередно подставим(заданный нижний предел интегрирования) и(заданный верхний предел): еслитоеслито

Используем формулу (20.5) замены переменной в определенном интеграле:

Получили интеграл от неправильной рациональной дроби. Выделим целую часть в подынтегральном выражении:

2) 1-й способ. Используем метод подстановки. Положим тогда

Найдем новые пределы интегрирования: если тоеслито

Следовательно,

2-й способ. Используем формулу (20.4) интегрирования по частям.

Положим тогда

Получаем:

Найдем искомый интеграл из полученного равенства

Выражаем:

3) Применим подстановку

Тогда т. е.

Таким образом, подынтегральное выражение примет вид:

Определим новые пределы интегрирования: если тот. е. Находим

если тот. е. Находим

Получаем:

4) В подкоренном выражении выделим полный квадрат:

Применим подстановку

Определим новые пределы интегрирования: если то еслито

Получаем:

5) 1-й способ. Используем метод замены переменной. Положим Тогда

Находим новые пределы интегрирования, используя равенство замены переменной: если тоеслито

Получим:

2-й способ. Используем метод поднесения под знак дифференциала:

Заметим, что в случае использования метода поднесения под знак дифференциала не нужно изменять пределы интегрирования, а поэтому, как правило, он является более рациональным.

6) Применим подстановку:

тогда

Выразим переменную x через t:

Определим новые пределы интегрирования: если тоеслито

Используя формулу (20.5) замены переменной в определенном интеграле, получаем:

Задания