- •20. Определенный интеграл
- •20.1. Понятие определенного интеграла и его свойства
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •20.2. Формула Ньютона-Лейбница. Методы
- •I уровень
- •2. Длина дуги кривой
- •3. Объем тела
- •4. Объем и площадь поверхности тела вращения
- •5. Физические приложения определенного интеграла
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
I уровень
1.1.Составьте интегральные суммы и, перейдя к пределу, найдите интеграл. При составлении интегральных сумм значение функции вычислите:
1) в правом конце каждого частичного отрезка;
2) в левом конце каждого частичного отрезка:
1) 2)3)
У к а з а н и я. Воспользуйтесь равенствами:
1.
2.
3. Сумма n членов геометрической прогрессии равна
II уровень
2.1.Сравните интегралы:
1) и2)и
3) и4)и
5) и6)и
7) и8)и
2.2.Вычислите интеграл, используя свойства определенного интеграла:
1) 2)3)
4) 5)6)
7) 8)9)
III уровень
3.1.Докажите неравенство:
1) 2)
3) 4)
3.2.Оцените интеграл:
1) 2)
3) 4)
20.2. Формула Ньютона-Лейбница. Методы
интегрирования по частям и замены переменной
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] иF(x) – ее первообразная на этом отрезке, то
(20.3)
Формула (20.3) называется формулой Ньютона-Лейбница.
Интегрирование по частям
Пусть u(x) иv(x) – непрерывные функции, которые имеют непрерывные производные на отрезке [a; b]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям:
(20.4)
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть f (x) – непрерывная на отрезке [a; b] функция, а функцияи ее производнаянепрерывны на отрезкегдеТогда справедлива формула
(20.5)
Вместе с заменой переменной в определенном интеграле заменяются пределы интегрирования.
Пример 1. Вычислить интеграл:
1) 2)
3) 4)
Решение. 1) Применим формулу Ньютона-Лейбница (20.3):
2) Подынтегральная функция является четной. Поэтому
3) Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Выделим целую часть, разделив ее числитель на знаменатель по правилу деления многочленов:
Тогда
4) Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью. Разложим ее на сумму простейших дробей:
Найдем коэффициенты A, B, C из равенства
Полагая получаемПриполучаемПолагаяполучаемДалее находим:т. е.
Тогда
Пример 2. Вычислить интеграл, используя формулу интегрирования по частям:
1) 2)
3) 4)
Решение. 1) По формуле (20.4) имеем:
2) Используем формулу (20.4):
3) Подынтегральная функция является четной, поэтому
Применим формулу (20.4) интегрирования по частям. Пусть
Получим:
4) Используем формулу (20.4) интегрирования по частям дважды:
Таким образом, получили равенство
Из него находим:
Пример 3. Вычислить определенный интеграл, используя формулу замены переменной:
1) 2)3)
4) 5) 6)
Решение. 1) Сделаем подстановку тогдаОпределим новые пределы интегрирования. Для этого в равенство замены переменной поочередно подставим(заданный нижний предел интегрирования) и(заданный верхний предел): еслитоеслито
Используем формулу (20.5) замены переменной в определенном интеграле:
Получили интеграл от неправильной рациональной дроби. Выделим целую часть в подынтегральном выражении:
2) 1-й способ. Используем метод подстановки. Положим тогда
Найдем новые пределы интегрирования: если тоеслито
Следовательно,
2-й способ. Используем формулу (20.4) интегрирования по частям.
Положим тогда
Получаем:
Найдем искомый интеграл из полученного равенства
Выражаем:
3) Применим подстановку
Тогда т. е.
Таким образом, подынтегральное выражение примет вид:
Определим новые пределы интегрирования: если тот. е. Находим
если тот. е. Находим
Получаем:
4) В подкоренном выражении выделим полный квадрат:
Применим подстановку
Определим новые пределы интегрирования: если то еслито
Получаем:
5) 1-й способ. Используем метод замены переменной. Положим Тогда
Находим новые пределы интегрирования, используя равенство замены переменной: если тоеслито
Получим:
2-й способ. Используем метод поднесения под знак дифференциала:
Заметим, что в случае использования метода поднесения под знак дифференциала не нужно изменять пределы интегрирования, а поэтому, как правило, он является более рациональным.
6) Применим подстановку:
тогда
Выразим переменную x через t:
Определим новые пределы интегрирования: если тоеслито
Используя формулу (20.5) замены переменной в определенном интеграле, получаем:
Задания