I уровень

1.1.Вычислите определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

II уровень

2.1.Вычислите определенный интеграл:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

10) 11)12)

2.2.Вычислите определенный интеграл, используя формулу замены переменной:

1) 2)3)

4) 5) 6)

7) 8)9)

2.3.Вычислите определенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

III уровень

3.1.Вычислите определенный интеграл методом замены переменной:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19)

20)

3.2.Вычислите определенный интеграл, используя указанную замену переменной:

1) 2)

3) 4)

3.3.Вычислите интеграл разными способами:

1) 2)3)

20.3. Геометрические и физические приложения

определенного интеграла

1. Площадь плоской фигуры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком непрерывной функции слева и справа, соответственно, прямымииснизу – отрезком [a;b] осиOx(рис. 20.3), выражается формулой

(20.6)

Если при(рис. 20.4), то

(20.7)

Рис. 20.3 Рис. 20.4

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми и кривымигдедля(рис. 20.5), выражается формулой

(20.8)

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми кривойи отрезком [c;d] осиOy(рис. 20.6), выражается формулой

(20.9)

Рис. 20.5 Рис. 20.6

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми и кривымигдедля(рис. 20.7), выражается формулой

(20.10)

Рис. 20.7

Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями

прямыми и отрезком [a;b] осиOx, то ее площадь вычисляется по формуле

(20.11)

где иопределяются из равенств

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя лучами(рис. 20.8), причемдлявыражается формулой

(20.12)

Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя лучами и кривымидля(рис. 20.9), выражается формулой

(20.13)

Рис. 20.8 Рис. 20.9

2. Длина дуги кривой

Если функция f (x) имеет непрерывную производную на отрезке [a;b], то длина дуги кривой, заданной уравнениемгдевычисляется по формуле

(20.14)

Если кривая задана уравнением на отрезке [c; d] и функцияимеет непрерывную производную длято длина дуги определяется по формуле

(20.15)

Если кривая задана параметрически на плоскости xOyуравнениями

где и– дифференцируемые функции напричемито длина дуги этой кривой, заключенной между двумя точками с абсциссамиивычисляется по формуле

(20.16)

Если кривая задана в пространстве параметрическими уравнениями

где – непрерывно дифференцируемые функции на отрезкето длина дуги кривой вычисляется по формуле

(20.17)

Если кривая задана уравнением в полярной системе координат, где– функция, которая имеет непрерывную производную прито длина дуги вычисляется по формуле

(20.18)

3. Объем тела

Если известна площадь S(x) сечения тела плоскостью, перпендикулярной к осиOx, причемS(x) является непрерывной функцией на отрезке [a;b], то объем тела, заключенного между плоскостямииперпендикулярными к осиOx(рис. 20.10), вычисляется по формуле

(20.19)

Рис. 20.10