Знакочередующиеся ряды.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

где ().

Теорема 7 (признак Лейбница).

Если члены знакочередующегося ряда не возрастают по абсолютной величине с ростом n, т.е., начиная с некоторого n, верно неравенство и, то ряд сходится, причем, если его сумма равнаs, то .

Пример 24. Исследовать сходимость ряда .

 Ряд знакочередующийся. Применим признак Лейбница (теорема 7). ,

. Очевидно, что . Кроме того,. Выполнены оба условия признака Лейбница, следовательно, ряд сходится.

Пример 25. Исследовать сходимость ряда .

 Дан знакочередующийся ряд. Члены этого ряда по абсолютной величине монотонно убывают. В самом деле, , т.к.. Однако,. Значит, ряд расходится по необходимому признаку (теорема 1, следствие), по признаку Лейбница расходимость не установить.

Знакопеременные ряды

Ряд называетсязнакопеременным, если членами его являются любые действительные числа: .

Теорема 8 (признак абсолютной сходимости).

Дан ряд . Если сходится ряд, то сходится и ряд.

Ряд в этом случае называетсяабсолютно сходящимся.

Т.к. знакочередующийся ряд– частный случай знакопеременного ряда, то и к знакочередующемуся ряду можно применять признак абсолютной сходимости.

Пример 26. Исследовать сходимость ряда .

Дан знакопеременный ряд. Применим к нему признак абсолютной сходимости. Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда: . Этот знакоположительный ряд сравним в непредельной форме с рядом , который представляет собой геометрическую прогрессию с , следовательно, сходится. Имеем очевидное неравенство: , тогда ряд также сходится, а значит по признаку абсолютной сходимости исходный ряд сходится абсолютно.

Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Пример 27. Исследовать на абсолютную или условную сходимость так называемый ряд Лейбница

 По признаку Лейбница (теорема 7) этот ряд сходится, т.к. для него выполняются оба условия этого признака: a) и б) . Но ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда,является гармоническим, который расходится. Следовательно, ряд Лейбница сходится условно.

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

Пусть - знакопеременный ряд.

Признак Даламбера.Если существует предел, то приl<1 рядбудет абсолютно сходящимся, а приl>1 ряд будет расходящимся. Приl=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Признак Коши.Если существует предел, то приl<1 рядбудет абсолютно сходящимся, а приl>1 ряд будет расходящимся. Приl=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Теорема 9. В сходящемся (абсолютно или условно) ряде можно группировать члены, не меняя их порядка. Иными словами, если сходится ряд , то сходится и ряд + , причем оба ряда имеют одну и ту же сумму.

Теорема 10. Абсолютно сходящийся ряд остается сходящимся и сохраняет сумму при любой перестановке его членов.

Теорема11. В условно сходящемся ряде при соответствующей перестановке его членов можно сделать его сумму равной любому наперед заданному числу или сделать ряд расходящимся.

Краткие рекомендации по применению тех или иных признаков сходимости к соответствующим рядам приведены в нижеследующей таблице.

Знакоположительные ряды.	Знакочередующиеся ряды.	Знакопеременные ряды.
Необходимый. Сравнения в непредельной форме. Сравнения в предельной форме. Даламбера. Коши радикальный. Коши интегральный.	Необходимый. Лейбница. Абсолютной сходимости.	Необходимый. Абсолютной сходимости.

Замечание. Следует иметь в виду, что существуют и другие признаки сходимости рядов.