Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Laboratorni_roboti_ChM

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
2.05 Mб
Скачать

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ З ДИСЦИПЛІНИ «ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ»

1

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1,2

ТЕМА: Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

МЕТА: Опанувати чисельними методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) – методом Гауса за схемою єдиного ділення та вибору головного елемента, методом простої ітерації та методом Зейделя.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Система лінійних алгебраїчних рівнянь із n-невідомими має вигляд:

a11x1 a12 x2 ...

a1n xn b1,

 

 

 

a21x1 a22 x2

a2n xn b2

 

 

 

,

,

(1)

...............................................

 

 

 

 

a

x a

n2

x

2

...

a

nn

x

n

b

 

 

 

 

n1 1

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

або в компактному вигляді aij x j bi ,

i 1,2,...,n.

(2)

j 1

Вматричній формі запишемо систему так:

,

Ax b

a11

a12

...

a1n

 

a

a

...

a

 

 

де A 21

22

 

2n

- матриця коефіцієнтів системи;

... ...

...

...

 

 

an2

 

 

 

 

an1

...

ann

 

 

x1

 

 

 

x2

 

- вектор невідомих.

вільних членів; x

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

 

 

 

(3)

 

b1

 

 

 

 

 

 

b2

 

 

b

- вектор

 

...

 

 

 

 

 

 

bn

 

 

Система (1) буде мати єдиний розв’язок, якщо матриця А не вироджена, тобто det A 0.

Чисельні методи розв’язування СЛАР діляться на дві групи: прямі та іте-

раційні.

 

Прямі методи дозволяють за скінчену кількість дій

отримати точний

 

 

розв’язок x системи (1), якщо елементи матриці А і вектор вільних членів b задано точно, і обчислення проводяться без округлень.

Ітераційні методи дозволяють знайти наближений розв’язок шляхом побудови послідовності наближень (ітерацій):

2

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

x(s)

починаючи з деякого наближення

x (0)

 

x (s)

 

 

 

1

 

 

 

 

(s)

 

 

 

x2

,

...

 

 

 

 

 

(s)

 

 

 

x

 

 

 

 

n

 

 

x1(0)

x2(0) .

...

(0)

xn

Вибір методу розв’язування СЛАР залежить:

від властивостей матриці А;

від кількості рівнянь;

від характеристик комп’ютера (швидкодії, розрядної сітки, об’єму оперативної пам’яті).

Прямі методи використовуються для розв’язування систем невеликої вимірності ( n 5 10 ).

Ітераційні методи використовують зазвичай для систем великої вимірності ( n 100 ), коли використання прямих методів є недоцільним через необхідність виконувати занадто велику кількість арифметичних операцій.

Метод Гауса є най розповсюдженим прямим методом розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Ідея методу полягає у зведенні матриці коефіцієнтів системи A до трикутного вигляду, що досягається послідовним вилученням невідомих із рівнянь системи. Отримується еквівалентна система:

x

c

x

2

... c

x

n

d

,

 

 

1

12

 

 

1n

 

1

 

 

 

 

x2

... c2n xn

d2

,

,

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.......................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn dn

 

 

або в матричній формі запису: Cx

d .

 

 

 

 

 

 

Зведення системи (1) до еквівалентної (4) називається прямим ходом метода Гауса, а розв’язування системи (4), тобто послідовне визначення невідомих, -

зворотним ходом метода Гауса.

Прямий хід можна реалізувати за двома схемами.

Схема єдиного ділення. Послідовно з системи (1) вилучаються невідомі x1, x2, …, xi, …, xn-1. Для вилучення i-ой невідомої з рівнянь системи з номерами i+1, i+2,…, n розділимо і-те рівняння на коефіцієнт aii . Потім від кожного i+1,

і+2,…, n рівняння будемо віднімати і-те рівняння, помножене на відповідні ко-

ефіцієнти ai 1,i ,

 

ai 2,i , …, an,i :

 

 

 

 

 

 

 

 

c

kj

 

akj(k 1)

 

;

d

k

 

bk(k 1)

;

c

 

a1 j

;

d

b1

;

(5)

 

 

 

 

 

 

akk(k 1)

 

 

 

akk(k 1)

 

1 j

 

a11

1

a11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

k 1,2,...,n крок перетворення;

i,j k 1, k 2,...,n.

Зворотний хід відбувається за формулами: xn dn ;

xn 1 dn 1 cn 1,n xn ;

(6)

 

n

 

 

xi di

cij x j ;

i n, n 1,...,1.

 

j i 1

Схему вибору головного елемента доцільно використовувати, якщо матриця коефіцієнтів розріджена нулями, або діагональні елементи матриці є малими величинами. Серед елементів матриці А обирають головний - найбільший по модулю:

a11

a12

...

a1q

...

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

...

... ...

...

 

 

 

 

 

 

 

 

...

...

 

 

max

 

 

.

A a

p1

a

p2

...

a

pq

...

a

 

a

pq

a

ij

 

 

 

 

 

 

pn

 

i, j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

...

... ...

...

...

 

 

 

 

 

 

a

n1

a

n2

...

a

nq

...

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nn

 

 

 

 

 

 

Рядок і стовпець, в якому знаходиться головний елемент, теж називають головними. Всі елементи головного стовпця ділять на головний елемент зі знаком « »:

mi

aiq

, i 1,2,..., n; i p .

(7)

a pq

 

 

 

Потім, вилучають з системи невідому xq .Для цього, до кожного неголовного і-го рядка (і=1,2,…,n; i≠p) додають головний р-ий рядок, помножений на відповідний множник mi :

a(k ) a(k 1)

a(k

1)m ;

b(k ) b(k 1)

b(k 1)m .

(8)

ij

ij

pj

i

i

i

p

i

 

Головні рядок і стовпець вилучаємо з матриці, і обираємо новий головний елемент. Дії продовжуємо до тих пір, доки не будуть вилучені всі невідомі з системи. Щоб визначити значення невідомих, об’єднуємо в систему всі головні рядки, починаючи з останнього вилученого.

На практиці при розрахунках користуються розширеною матрицею коефіці-

єнтів системи, яку отримують із матриці A, доповнюючи її справа вектором b . Для розв’язування СЛАР ітераційними методами необхідно систему (1)

перетворити до вигляду:

4

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

x1 1 12 x2 13 x3 ...

1n xn ,

 

x2 2 21x1 23 x3

... 2n xn ,

x3 3 31x1 32 x2 ...

3n xn ,

 

......................................................................

xn n n1x1 n2 x2 n3 x3 ...

n,n 1xn 1

, (9)

,

 

 

 

або x

x

. Така система називається приведеною, її можна отримати, на-

приклад, якщо кожне i-рівняння системи (1) розв’язати відносно змінної xi . Тоді:

 

 

 

b

 

 

 

aij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

;

 

 

 

 

; i, j 1,2,...,n;

i j;

якщо i j, то

 

0.

(10)

i

 

ij

 

ii

 

 

aii

 

 

aii

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Всі ітераційні методи знаходять наближений розв’язок у вигляді послідовності наближень (ітерацій):

 

 

x (s)

(s)

 

 

 

1

(s)

 

x2

x

...

 

 

 

 

 

x

 

(s)

 

 

 

n

 

 

 

 

 

, s 0,1,2,..., S,

які отримуються з системи рівнянь (9). При побудові ітерацій постають питання про початок і кінець процесу обчислень.

Будь який ітераційний процес починається з того, що задається початкове наближення:

 

x (0)

 

 

 

 

1

 

 

(0)

x

(0)

.

2

x

 

 

...

 

 

 

 

(0)

 

 

 

x

 

 

n

 

 

 

 

Як правило припускають, що

 

 

 

 

 

(0)

(0)

(11)

x

0 , або x

.

Так як наближений розв’язок шукається з наперед заданою точністю , то послідовність повинна мати скінчену кількість членів, які отримуються за скінчену кількість ітерацій.

Найпростіша умова закінчення ітераційного процесу:

 

x(s)

 

.

(12)

max

x(s 1)

 

1 i n

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

Тобто, обчислення продовжують до тих пір, доки абсолютна величина різниці між попереднім й наступним наближеннями не стане менше деякої наперед заданої точності :

Для дослідження збіжності ітераційного процесу користуються теоремою про достатню умову збіжності:

5

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

Якщо для приведеної системи (9) будь-яка канонічна норма матриці менше одиниці:

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

max

 

ij

 

 

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

ij

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

ij

 

 

 

2 1,

(13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i, j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то ітераційний процес збігається до єдиного розв’язку цієї системи, незалежно від вибору початкового наближення.

Ця умова по відношенню до матриці А системи (1) набуває такого змісту: процес ітерації буде збіжним, якщо модулі діагональних елементів матриці А будуть більші за суму модулів її сторонніх елементів:

 

n

 

 

 

aij

 

aij

(i 1,2,..., n) .

(14)

 

j 1,

 

 

 

 

j i

 

 

До такого вигляду систему (1) можна привести, застосовуючи правила лінійного комбінування.

Метод простої ітерації. Кожне наступне наближення і-ой невідомої xi(s 1) ,

і=1,2,…,n визначається за допомогою системи рівнянь (9), в яких всі доданки правої частини беруться з попередній s-ітерації:

x1(s 1)

1 12 x2

(s) 13 x3(s)

... 1n xn

(s) ,

 

 

 

(s 1)

 

 

 

 

 

x (s)

 

x (s) ...

 

 

 

(s) ,

 

 

x

 

2

 

21

23

2n

x

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

3

 

 

n

 

 

x3(s 1)

3 31x1(s) 32 x2

(s)

... 3n xn(s) ,

(15)

 

......................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(s 1)

 

 

 

 

 

(s)

 

 

 

(s)

(s)

 

(s)

 

xn

n n1x1

n2 x2

n3 x3

 

... n,n 1xn 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Або система (15) в компактній формі:

 

 

 

 

 

 

 

xi(s 1)

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

ij x(js) ;

 

i

1,2,...,n;

 

s 0,1,2,...

 

(16)

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод Зейделя являє собою деяку модифікацію метода простої ітерації. А саме, при обчисленні (s+1)-ого наближення невідомої xi враховуються вже об-

числені раніше значення невідомих на поточній ітерації

x(s 1)

, x(s 1)

,..., x(s 1)

:

 

 

 

 

 

1

2

i 1

 

 

i 1

 

n

 

 

 

 

 

xi(s 1)

i ij x(js 1)

 

ij x(js) ;i 1,2,..., n;

s 0,1,2,...

 

(17)

 

j 1

 

j i 1

 

 

 

 

 

ЗАВДАННЯ

6

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

1.Методом Гауса за схемами єдиного ділення та вибору головного елемента розв’язати СЛАР.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4,4x1

2,5x2

19,2x3

 

10,8x4

4,3

16

30,1x1

 

1,4x2

 

10 x3

 

1,5x4

 

10

 

 

 

 

 

 

9,3x2

14,2x3

 

13,2x4

6 ,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,5x1

 

 

17 ,5x1 11,1x2 1,3x3 7,5x4 1,3

 

 

 

 

 

 

11,5x2

5,3x3

6 ,7 x4

 

1,8

 

 

 

 

21,1x2

7,1x3

 

17 ,1x4

10

 

7,1x1

 

 

 

1,7 x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23,4x2 8,8x3 5,3x4

7,2

 

 

 

 

2,1x2

 

3,5x3

 

3,3x4

1,7

 

14,2x1

 

2,1x1

 

 

2

 

 

1

 

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

2,7

17

 

 

1

8,1x

2

 

 

 

 

3

 

6 ,7 x

4

 

8,8

 

5,7 x

 

 

 

7,8x

 

 

5,6 x

 

8,3x

 

 

 

7,3x

 

 

 

12,7 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13,1x2

6 ,3x3

4,3x4

 

5,5

 

 

 

 

 

6 ,2x2

 

8,3x3

9,2x4

 

21,5

 

6 ,6 x1

 

 

 

11,5x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,8x2

5,6 x3

12,1x4

8,6

 

 

 

 

5,4x2

 

4,3x3

2,5x4

6 ,2

 

14,7 x1

 

8,2x1

 

 

 

 

 

 

 

12,7 x2

23,7 x3

5,7 x4

14,7

 

 

 

 

11,5x2

 

3,3x3

14,2x4

6 ,2

 

8,5x1

 

 

2,4x1

 

3

15,7 x1 6 ,6 x2 5,7 x3

1,5x4

2,4

18

4,8x1

12,5x2

 

6 ,3x3

9,7 x4

3,5

 

 

 

 

 

 

6 ,7 x2

5,5x3

4,5x4

 

5,6

 

 

 

31,7 x2

12,4x3

8,7 x4

4,6

 

8,8x1

 

 

22x1

 

 

 

 

 

 

5,7 x2

23,4x3

6 ,6 x4

7,7

 

 

 

21,1x2

4,5x3

 

14,4x4

15

 

6 ,3x1

 

15x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15,7 x3 5,8x4 23,4

 

 

 

 

14,4x2

 

6 ,2x3

2,8x4

1,2

 

14,3x1 8,7 x2

 

8,6 x1

 

4

14,4x1

 

5,3x2

14,3x3

 

12,7 x4

14,7

19

6 ,4x1

7,2x2

8,3x3

 

4,2x4

 

2,23

 

 

 

 

 

 

 

14,2x2

 

5,4x3

 

2,1x4

 

6 ,6

 

 

 

 

8,3x2

14,3x3

6 ,2x4

17 ,1

 

23,4x1

 

 

 

 

 

5,8x1

 

 

 

 

 

13,2x2

6 ,5x3

14,3x4

 

9,4

 

 

 

 

7,7 x2

18,3x3

8,8x4

5,4

 

6 ,3x1

 

 

8,6 x1

 

 

 

 

 

8,8x2

6 ,7 x3

23,8x4

7,3

 

 

 

 

 

5,2x2

 

6 ,5x3

12,2x4

6 ,5

 

5,6 x1

 

13,2x1

 

5

 

1,7 x1

1,8x2

 

1,9x3

57,4x4

10

20

14,2x1

3,2x2

 

4,2x3

8,5x4

13,2

 

 

 

 

 

 

 

 

4,3x2

 

1,5x3

1,7 x4

 

19

 

 

 

 

4,3x2

12,7 x3

5,8x4

4,4

 

 

1,1x1

 

 

 

6 ,3x1

 

 

 

 

 

 

 

 

1,4x2

 

1,6 x3

 

1,8x4

 

20

 

 

 

 

22,3x2

 

5,2x3

4,7 x4

6 ,4

 

 

1,2x1

 

 

 

 

8,4x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,3x2

 

4,1x3

5,2x4

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 ,4x3

12,7 x4

8,5

 

 

7,1x1

 

 

 

2,7 x1 13,7 x2

 

6

 

 

 

1

3,2x

2

 

14,2x

3

 

14,8x

4

8,4

21

 

 

1

12,4x

2

 

3,8x

3

14,3x

4

5,8

 

8,2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7,3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12x2

15x3 6 ,4x4

4,5

 

 

 

 

 

7,7 x2

12,5x3

6 ,6 x4

6 ,6

 

5,6 x1

 

10,7 x1

 

 

 

 

 

 

3,6 x2

 

12,4x3

2,3x4

 

3,3

 

 

 

 

 

 

6 ,6 x2

14,4x3 8,7 x4

12,4

 

5,7 x1

 

 

 

15,6 x1

 

 

 

 

 

 

 

13,2x2

 

6 ,3x3

 

8,7 x4

 

14,3

 

 

 

 

12,2x2

 

8,3x3

3,7 x4

 

9,2

 

6 ,8x1

 

 

 

 

7,5x1

 

 

7

3,8x1

 

14,2x2

 

6 ,3x3

15,5x4

2,8

22

13,2x1

 

8,3x2

 

4,4x3

6 ,2x4

6 ,8

 

 

 

 

 

 

6 ,6 x2

5,8x3

12,2x4

4,7

 

 

 

 

4,2x2

 

5,6 x3

7,7 x4

12,4

 

8,3x1

 

 

8,3x1

 

 

 

 

 

 

 

8,5x2

4,3x3

8,8x4

 

7,7

 

 

 

 

3,7 x2

 

12,4x3

6 ,2x4

 

8,7

 

6 ,4x1

 

 

5,8x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8,3x2

 

14,4x3 7,2x4

13,5

 

 

 

 

6 ,6 x2

13,8x3 9,3x4

10,8

 

17 ,1x1

 

 

3,5x1

8

4,3x1

 

12,1x2

23,2x3

14,1x4

15,5

23

 

8,1x1

1,2x2

 

9,1x3

1,7 x4

 

10

 

 

 

 

 

 

4,4x2

 

3,5x3

 

5,5x4

2,5

 

 

 

 

 

 

1,7 x2

7,2x3

 

3,4x4

 

1,7

 

2,4x1

 

 

 

 

1,1x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8,3x2

7,4x3

 

12,7 x4

 

8,6

 

 

 

 

 

 

1,8x2

10x3

 

2,3x4

 

2,1

 

5,4x1

 

 

 

 

1,7 x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7,6 x2

1,34x3

3,7 x4

 

12,1

 

 

 

 

 

 

1,7 x2

9,9x3

3,5x4

 

27 ,1

 

6 ,3x1

 

 

 

1,3x1

 

9

 

1,7 x1

10x2

1,3x3

 

2,1x4

3,1

24

 

3,3x1

2,2x2

 

10 x3

1,7 x4

 

1,1

 

 

 

 

 

 

 

 

1,7 x2

2,1x3

5,4x4

 

2,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1,3x3

2,2x4

2,2

 

 

3,1x1

 

 

 

1,8x1 21,1x

 

 

 

 

 

 

 

 

7,7 x

 

 

4,4x

 

 

5,1x

 

 

 

1,9

 

 

 

 

 

 

 

1,1x

 

 

20x

 

 

4,5x

 

 

10

 

 

3,3x

1

2

3

4

 

 

 

10 x

1

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20,4x3 1,7 x4

1,8

 

 

 

 

 

1,7 x2

2,2x3

 

3,3x4

 

2,1

 

 

10x1 20,1x2

 

 

70 x1

 

 

10

 

6 ,1x1

6 ,2x2

6 ,3x3

6 ,4x4

6 ,5

25

 

1,7 x1

9,9x2

 

20 x3

1,7 x4

 

1,7

 

 

 

 

 

 

 

 

1,5x2

2,2x3

 

3,8x4

 

4,2

 

 

 

 

 

 

0,5x2

 

30,1x3

1,1x4

2,1

 

 

1,1x1

 

 

 

 

20 x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,0x2

 

4,9x3

4,8x4

4,7

 

 

 

 

 

 

20 x2

30,2x3

0,5x4

1,8

 

 

5,1x1

 

 

 

10 x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,9x2

 

2,0x3

 

2,1x4

 

2,2

 

 

 

 

 

 

0,7 x2

 

3,3x3 20 x4

 

1,7

 

 

1,8x1

 

 

 

 

 

3,3x1

 

 

7

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

11

2,2x1

3,1x2

4,2x3

5,1x4

6 ,01

26

1,7 x1

1,3x2

1,1x3

1,2x4

2,2

 

 

 

2,2x2

1,4x3

1,5x4

10

 

 

 

 

 

10x2

1,3x3

1,3x4

1,1

 

1,3x1

 

10x1

 

 

 

7,4x2 8,5x3

9,6 x4

 

1,1

 

 

 

 

 

3,3x2

1,2x3

1,3x4

1,2

 

6 ,2x1

 

 

3,5x1

 

 

 

1,3x2

1,4x3

4,5x4

1,6

 

 

 

 

 

1,1x2

1,3x3

1,1x4

10

 

1,2x1

 

1,3x1

12

35,8x1 2,1x2

 

34,5x3

 

11,8x4

 

0,5

27

1,1x1

11,3x2

1,7 x3

 

1,8x4

10

 

 

 

 

 

 

 

11,7 x3

23,5x4

 

12,8

 

 

 

 

 

11,7 x2

1,8x3

 

1,4x4

1,3

 

27,1x1 7,5x2

 

 

 

1,3x1

 

 

 

 

 

 

 

6 ,5x3

7,1x4 1,7

 

 

 

 

 

10,5x2

1,7 x3

 

1,5x4

 

 

11,7 x1 1,8x2

 

1,1x1

 

1,1

 

 

10x2 7,1x3 3,4x4

20,8

 

 

 

 

 

0,5x2

1,8x3

1,1x4

10

 

6 ,3x1

 

1,5x1

13

35,1x1

1,7 x2

37,5x3

2,8x4

 

7,5

28

1,4x1

2,1x2

3,3x3

1,1x4

10

 

 

 

21,1x

2 1,1x3

 

1,2x4

 

11,1

 

 

 

 

1,7 x2

1,1x3

1,5x4 1,7

 

45,2x1

 

 

 

10x1

 

 

 

 

31,7 x

 

1,2x

 

1,5x

 

 

2,1

 

 

 

 

 

34,4x

 

1,1x

 

 

1,2x

 

20

 

21,1x

1

2

3

4

 

2,2x

1

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18,1x2

31,7 x3 2,2x4

 

0,5

 

 

 

 

1,3x2

1,2x3

1,4x4

1,3

 

31,7 x1

 

 

1,1x1

14

1,1x1

11,2x2

11,1x3

13,1x4

1,3

29

1,3x1

1,7 x2

3,3x3

 

1,7 x4

 

1,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20,1x4

1,1

 

 

 

 

 

5,5x2

1,3x3

3,4x4

1,3

 

3,3x1 1,1x2 30,1x3

 

10 x1

 

 

1,3x2

 

1,1x3

10x4

20

 

 

 

 

 

1,8x2

2,2x3

1,1x4

 

10

 

7,5x1

 

 

1,1x1

 

 

 

7,5x2

 

1,8x3

2,1x4

1,1

 

 

 

 

 

1,2x2

2,1x3

 

2,2x4

1,8

 

1,7 x1

 

 

1,3x1

 

15

 

1

1,8x

2

2,1x

3

7,7 x

4

1,1

30

 

1

 

1,8x

2

 

 

3

4,1x

4

1,3

 

7,5x

 

 

 

 

 

 

1,2x

 

 

 

2,2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 20x3

 

1,4x4

 

1,5

 

 

 

5,1x2 1,2x3

5,5x4 1,2

 

10 x1 1,3x

 

 

 

10 x1

 

 

 

1,7 x2

3,9x3

4,8x4

1,2

 

 

 

 

30,1x2

3,1x3

5,8x4

10

 

2,8x1

 

2,2x1

 

 

 

 

 

 

 

 

2,1x3

10 x4

1,1

 

 

 

2,4x2

30,5x3

 

2,2x4

34,1

 

10x1 31,4x2

 

10 x1

 

2.Розв’язати СЛАР методами простої ітерації та Зейделя з точністю 0,001. Порівняти швидкість збіжності обох методів.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x1

1,24 0,04x2

0,21x3

0,18x4

16

x1

1,42 0,23x2

0,18x3

0,17 x4

 

 

0,88 0,45x1

0,23x3

0,06 x4

 

 

0,83 0,12x1

0,08x3

0,09x4

 

x2

 

x2

 

 

0,62 0,26 x1

0,34x2

0,11x4

 

 

1,21 0,16 x1

0,24x2

0,35x4

 

x3

 

x3

 

 

1,17 0,05x1

0,26 x2

0,34x3

 

 

0,65 0,23x1

0,08x2

0,05x3

 

x4

 

x4

2

x1

0,64 0,12x2

0,34x3

0,16 x4

17

x1

1,42 0.21x2

0,06 x3

0,34x4

 

 

1,42 0,34x1

0,17 x3

0,18x4

 

 

0,57 0,05x1

0,32x3

0,12x4

 

x2

 

x2

 

 

0,42 0,16 x1

0,34x2

0,31x4

 

 

0,68 0,35x1

0,27 x2

0,05x4

 

x3

 

x3

 

 

0,83 0,12x1

0,26 x2

0,08x3

 

 

2,14 0,12x1

0,43x2

0,04x3

 

x4

 

x4

3

x1

1,83 0,18x2

0,02x3

0,21x4

18

x1

1,42 0,27 x2

0,13x3

0,11x4

 

 

0,65 0,16 x1

0,14x3

0,27 x4

 

 

0,48 0,13x1

0,09x3

0,06 x4

 

x2

 

x2

 

 

2,23 0,37 x1

0,27 x2

0,24x4

 

 

2,34 0,11x1

0,05x2

0,12x4

 

x3

 

x3

 

 

1,13 0,12x1

0,21x2

0,18x3

 

 

0,72 0,13x1

0,18x2

0.24x3

 

x4

 

x4

4

x1

0,04 0,42x2

0,32x3

0,03x4

19

x1

0,48 0,05x2

0,08x3

0,14x4

 

 

1,42 0,11x1

0,26 x3

0,36 x4

 

 

1,24 0,32x1

0,12x3

0,11x4

 

x2

 

x2

 

 

0,83 0,12x1

0,08x2

0,24x4

 

 

1,15 0,17 x1

0,06 x2

0,12x4

 

x3

 

x3

 

 

1,42 0,15x1

0,35x2

0,18x3

 

 

0,88 0,21x1

0,16 x2

0,36 x3

 

x4

 

x4

8

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

5

x1

1,33 0,34x2

0,12x3

0,15x4

20

x1

0,21 0,28x2

0,17 x3

0,06 x4

 

 

0,84 0,11x1

0,15x3

0,32x4

 

 

1,17 0,52x1

0,12x3

0,17 x4

 

x2

 

x2

 

 

1,16 0,05x1

0,12x2

0,18x4

 

 

0,81 0,17 x1

0,18x2

0,21x4

 

x3

 

x3

 

 

0,57 0,12x1

0,08x2

0,06 x3

 

 

0,72 0,11x1

0,22x2

0,03x3

 

x4

 

x4

6

x1

2,13 0,23x2

0,44x3

0,05x4

21

x1

0,22 0,52x2

0,08x3

0,13x4

 

 

0,18 0,24x1

0,31x3

0,15x4

 

 

1,8 0,07 x1 0,05x3 0,41x4

 

x2

 

x2

 

 

1,44 0,06 x1

0,15x2

0,23x4

 

 

1,3 0,04x1

0,42x2

0,07 x4

 

x3

 

x3

 

 

2,42 0,72x1

0,08x2

0,05x3

 

 

0,33 0,17 x1

0,18x2

0,13x3

 

x4

 

x4

7

x1

1,71 0,31x2

0,18x3

0,22x4

22

x1

1,3 0,02x2

0,62x3

0,08x4

 

 

0,62 0,21x1

0,33x3

0,22x4

 

 

1,1 0,28x2 0,33x3 0,07 x4

 

x2

 

x2

 

 

0,89 0,32x1

0,18x2

0,19x4

 

 

1,7 0,09x1

0,13x2

0,28x4

 

x3

 

x3

 

 

0,94 0,12x1

0,28x2

0,14x3

 

 

1,5 0,19x1 0,23x2 0.08x3

 

x4

 

x4

8

x1

1,21 0,27 x2

0,22x3

0,18x4

23

x1

1,2 0,17 x2

0,33x3

0,18x4

 

 

0,33 0,21x1

0,45x3

0,18x4

 

 

0,33 0,18x2

0,43x3

0,08x4

 

x2

 

x2

 

 

0,48 0,12x1

0,13x2

0,18x4

 

 

0,48 0,22x1

0,18x2

0,07 x4

 

x3

 

x3

 

 

0,17 0,33x1

0,05x2

0,06 x3

 

 

1,2 0,08x1

0,07 x2

0,21x3

 

x4

 

x4

9

x1

0,81 0,07 x2

0,38x3

0,21x4

24

x1

0,43 0,05x2

0,22x3

0,33x4

 

 

0,64 0,22x1

0,11x3

0,33x4

 

 

1,8 0,22x1

0,08x3

0,07 x4

 

x2

 

x2

 

 

1,71 0,51x1 0,07 x2

0,11x4

 

 

0,8 0,33x1

0,13x2

0,05x4

 

x3

 

x3

 

 

1,21 0,33x1

0,41x2

 

 

 

1,7 0,08x1 0,17 x2 0,29x3

 

x4

 

 

x4

10

x1

2,7 0,22x2 0,11x3 0,31x4

25

x1

0,11 0,22x2

0,33x3

0,07 x4

 

 

1,5 0,38x1

0,12x3

0,22x4

 

 

0,33 0,45x1

0,23x3

0,07 x4

 

x2

 

x2

 

 

1,2 0,11x1 0,23x2 0,51x4

 

 

0,85 0,11x1

0,08x2

0,18x4

 

x3

 

x3

 

 

0,17 0,17 x1

0,21x2

0,31x3

 

 

1,7 0,08x1

0,09x2

0,33x3

 

x4

 

x4

11

x1

0,51 0,08x2

0,11x3

0,18x4

26

x1

2,42 0,16 x2

0,08x3

0,15x4

 

 

1,17 0,18x1

0,52x3

0,21x4

 

 

1,43 0,16 x1

0,11x3

0,21x4

 

x2

 

x2

 

 

1,02 0,13x1

0,31x2

0,21x4

 

 

0,16 0,05x1

0,08x2

0,34x4

 

x3

 

x3

 

 

0,28 0,08x1

0,33x2

0,28x3

 

 

1,62 0,12x1

0,14x2

0,18x3

 

x4

 

x4

12

x1

2,17 0,06 x2

0,12x3

0,14x4

27

x1

1,34 0,08x2

0,23x3

0,32x4

 

 

1,4 0,04x1 0,08x3 0,11x4

 

 

2,33 0,16 x1

0,18x3

0,16 x4

 

x2

 

x2

 

 

2,1 0,34x1

0,08x2

0,14x4

 

 

0,34 0,15x1

0,12x2

0,18x4

 

x3

 

x3

 

 

0,8 0,11x1

0,12x2

0,03x3

 

 

0,63 0,25x1

0,21x2

0,16 x3

 

x4

 

x4

13

x1

1,2 0,08x2

0,03x3

0,04x4

28

x1

2,43 0,18x2

0,33x3

0,16 x4

 

 

0,81 0,31x2

0,27 x3

0,08x4

 

 

1,12 0,32x1

0,23x3

0,05x4

 

x2

 

x2

 

 

0,92 0,33x1

0,07 x2

0,21x4

 

 

0,43 0,16 x1

0,08x2

0,12x4

 

x3

 

x3

 

 

0,17 0,11x1

0,03x2

0,58x3

 

 

0,83 0,09x1

0,22x2

0.13x3

 

x4

 

x4

9

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

14

x1

1,24 0,23x2

0,25x3

0,16 x4

29

x1

1,42 0,34x2

0,23x3

0,06 x4

 

 

0,89 0,14x1

0,18x3

0,24x4

 

 

0,66 0,11x1

0,18x3

0,36 x4

 

x2

 

x2

 

 

1,15 0,33x1

0,03x2

0,32x4

 

 

1,08 0,23x1

0,12x2

0,35x4

 

x3

 

x3

 

 

0,57 0,12x1

0,05x2

0,15x3

 

 

1,72 0,12x1

0,12x2

0,47 x3

 

x4

 

x4

15

x1

1,21 0,14x2

0,06 x3

0,12x4

30

x1

0,67 0,23x2

0,11x3

0,06 x4

 

 

0,72 0,12x1

0,32x3

0,18x4

 

 

0,88 0,18x1

0,12x3

0,33x4

 

x2

 

x2

 

 

0,58 0,08x1

0,12x2

0,32x4

 

 

0,18 0,12x1

0,32x2

0,07 x4

 

x3

 

x3

 

 

1,56 0,25x1

0,22x2

0,14x3

 

 

1,44 0,05x1

0,11x2

0,09x3

 

x4

 

x4

Номер варіанта обирається згідно списку в журналі групи!

Звіт про виконання лабораторної роботи повинен містити:

-формулювання задачі;

-хід розв’язку;

-отримані чисельні результати;

-аналіз результатів;

-висновки.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1.На які дві групи поділяються методи розв’язання СЛАР?

2.Сутність методу Гаусса?

3.Поясніть поняття "прямий хід" та "обернений хід" методу Гаусса?

4.Сутність ітераційних методів?

5.Яка умова закінчення ітераційного процесу?

6.Як перевірити збіжність ітераційних методів?

7.Чим відрізняється метод простої ітерації від методу Зейделя?

ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ ЗАСОБАМИ ІНТЕГРОВАНОГО СЕРЕДОВИЩА Mathcad

1.Методом Гауса за схемами єдиного ділення та вибору головного елемента розв’язати СЛАР.

 

 

 

 

0.11x1

1.13x2

0.17x3

0.18x4

1.0,

 

 

 

 

 

 

1.17x2

0.18x3

0,14x4

0.13,

 

 

 

 

0.13x1

 

 

 

 

 

 

1.05x2

0.17x3

0.15x4

0.11,

 

 

 

 

0.11x1

 

 

 

 

0.15x

0.05x

2

0.18x

0.11x

4

1.0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

ORIGIN 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.11

1.13

0.17

0.18

 

0

 

 

 

1

 

 

 

A

0.13

1.17

0.18

0.14

x

 

0

b

0.13

 

 

 

0.11

1.05

0.17

0.15

 

0

 

0.11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.15

0.05

0.18

0.11

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

Розв’яжемо систему функцією Mathcad Find:

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]