Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черкасский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Laboratorni_roboti_ChM

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

Given A x b

5.722

0.516 Find (x) 0.496

0.711

Отримаємо розв’язок методом Гауса за єдиного ділення. Формуємо розширеную матрицю,

додаємо вектор вільних членів стовпцем справа.

ORIGIN 1

Формуємо розширеную матрицю, додаємо вектор вільних членів стовпцем справа

	0.11		1.13	0.17	0.18	1
A	0.13		1.17	0.18	0.14	0.13
A		0.11	1.05	0.17	0.15	0.11
		0.11	1.05	0.17	0.15	0.11

	0.15		0.05	0.18	0.11	1

x 0

Метод Гаусса (схема єдиного ділення)

k 1

j 5 1

Ak j			Ak j
Ak j			Ak k
			Ak k
		1		10.273		1.545			1.636	9.091
A	0.13			1.17		0.18			0.14	0.13
A		0.11		1.05		0.17			0.15	0.11
		0.11		1.05		0.17			0.15	0.11

	0.15			0.05		0.18			0.11	1
i 2 4
j 5 1
Ai j Ai j Ai kAk j
	1		10.273		1.545			1.636		9.091
		0	2.505		0.381		0.073 1.052
A
A		0	2.18			0		0.33		0.89
		0	2.18			0		0.33		0.89

		0	1.591		0.412
		0	1.591		0.412		0.355 0.364

k 2

j 5 2

A Ak j k j Ak k

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

	1		10.273	1.545	1.636		9.091
A	0		1	0.152	0.029		0.42
A		0	2.18	0	0.33		0.89
		0	2.18	0	0.33		0.89

		0	1.591	0.412
		0	1.591	0.412	0.355 0.364
i 3 4
j 5 2
Ai j Ai j Ai kAk j
	1		10.273	1.545	1.636		9.091
A	0		1	0.152	0.029		0.42
A		0	0	0.331 0.267			0.025
		0	0	0.331 0.267			0.025

	0		0	0.17	0.309		0.304
k 3
j 5 3
Ak j			Ak j
Ak j			Ak k
			Ak k
	1		10.273	1.545	1.636		9.091
A	0		1	0.152	0.029		0.42
A		0	0	1	0.805		0.076
		0	0	1	0.805		0.076

	0		0	0.17	0.309		0.304
i 4
j 5 3
Ai j Ai j Ai kAk j
	1		10.273	1.545	1.636		9.091
A	0		1	0.152	0.029		0.42
A		0	0	1	0.805		0.076
		0	0	1	0.805		0.076

	0		0	0	0.446		0.317
k 4
j 5 3
Ak j			Ak j
Ak j			Ak k
			Ak k
	1		10.273	1.545	1.636		9.091
A	0		1	0.152	0.029		0.42
A		0	0	1	0.805 0.076
		0	0	1	0.805 0.076

		0	0	0	1
		0	0	0	1	0.711

i 4

ii 5

i 3 1

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

	i 1	Ai kxk
xi Ai 5		Ai kxk
	k 4

Відповідь:

5.722

0.516

x0.496

0.711

Тепер отримаємо розв’язок методом Гауса за схемою вибору головного елемента. Формуємо

розширеную матрицю, додаємо вектор вільних членів стовпцем справа.

	0.11	1.13	0.17	0.18	1		0			0		0	0	0	0	0
	0.13	1.17			0.13		0					0				0
A	0.13	1.17	0.18	0.14	0.13	x	0		m	0	C	0	0	0	0	0
A	0.11	1.05	0.17	0.15	0.11	x		0	m	0	C	0	0	0	0	0
	0.11	1.05	0.17	0.15	0.11			0		0		0	0	0	0	0

	0.15	0.05	0.18	0.11	1			0		0		0	0	0	0	0

В матриці А обираємо найбільший по модулю елемент (останній стовпець не розглядаємо)

Найбільший за модулем елемент A2,2=-1.17 тоді

p 2	q 2
i 1 4
					A	i q									0.966
					A										0.966
		mi							if i p						1.17

					A							m
					A		p q					m			0.897
							p q								0.897
				Ap q					otherw ise
				Ap q					otherw ise						0.043

i 1 4		j 1 5
Ai j		Ai j Ap jmi						if (i p )
Ai j		Ai j Ap jmi						if (i p )
		Ai j	otherw ise
										0.236					0	0.004		0.315		1.126
									A		0.13			1.17			0.18	0.14		0.13
									A		0.007				0	0.332 0.276 0.007
											0.007				0	0.332 0.276 0.007

										0.144					0	0.172		0.116		0.994
Формуємо матрицю С
j 1 5		C1 j Ap j
												0.13			1.17		0.18	0.14	0.13
										C			0		0		0	0	0
										C			0		0		0	0	0
													0		0		0	0	0

													0		0		0	0	0

Вилучаємо головній рядок й стовпець (обнуляємо їх):

i p

j 1 5

Ai j 0

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

	0.236		0	0.004	0.315	1.126
A		0	0	0	0	0
A		0.007 0		0.332 0.276 0.007
		0.007 0		0.332 0.276 0.007

	0.144		0	0.172	0.116	0.994

Найбільший за модулем елемент A3,3=-0,332 тоді

p 3	q 3
i 1 4

						A	i q							0.012
						A								0.012
	mi										if i p
														0
					A			p q				m		0
					A							m		0.332


				Ap q						otherw ise
				Ap q						otherw ise				0.52
i 1 4	j 1 5
	Ai j					Ai j Ap jmi						if (i p )
	Ai j					Ai j Ap jmi						if (i p )
						Ai j					otherw ise
		0.235							0		0	0.312	1.125
	A			0					0		0	0		0
	A		0.007						0		0.332 0.276 0.007
			0.007						0		0.332 0.276 0.007

		0.141							0		0	0.259	0.991

Формуємо матрицю С

j 1 5	C2 j Ap j
		0.13	1.17	0.18	0.14	0.13
		0.007	0	0.332	0.276	0.007
	C
	C	0	0	0	0	0
		0	0	0	0	0

		0	0	0	0	0

Вилучаємо головній рядок й стовпець

i p j 1 5

	0.235 0			0	0.312	1.125
A		0	0	0	0	0
		0	0	0	0	0


	0.141 0			0	0.259	0.991

Найбільший за модулем елемент A1,4=0.312, тоді

p 1

q 4

i 1 4

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

	mi			Ai q		if i p		0.312
				Ai q				0.312
									0
			A		p q		m		0
			A				m		0


		Ap q otherw ise
		Ap q otherw ise							0.831
i 1 4	j 1 5
	Ai j			Ai j Ap jmi			if (i p )
	Ai j			Ai j Ap jmi			if (i p )

Aotherw ise

0.235 0 0 0.312 1.125

A		0	0	0	0	0
A		0	0	0	0	0
		0	0	0	0	0

	0.337 0			0	0	1.926

Формуємо матрицю С

j 1 5	C3 j Ap j
		0.13	1.17	0.18	0.14	0.13
		0.007	0	0.332	0.276	0.007
	C
	C	0.235	0	0	0.312	1.125
		0.235	0	0	0.312	1.125

		0	0	0	0	0

Вилучаємо головній рядок й стовпець

i p j 1 5

		0	0	0	0	0
A		0	0	0	0	0
A		0	0	0	0	0
		0	0	0	0	0

	0.337 0			0	0	1.926

Формуємо матрицю С

p 4

j 1 5

C4 j Ap j

		0.13	1.17	0.18	0.14	0.13
		0.007	0	0.332	0.276	0.007
C
C		0.235	0	0	0.312	1.125
		0.235	0	0	0.312	1.125

	0.337		0	0	0	1.926

Шукаємо розв’язок з матриці С:

	C	5			C	5	C		x
x1	4	5		x4	3	5		3	1 1

	C4 1						C3	4
	C4 1						C3	4
	C		C	x C			x			C	5	C	x C	x C	x
x3	2 5		2	1 1	2	4 4			x2	1	5	1	4 4 1	3 3 1	1 1
x3				C2 3					x2				C1 2
				C2 3									C1 2

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

Відповідь:

5.722

0.516 x 0.496

0.711

2. Розв’язати СЛАР методами простої ітерації та Зейделя з точністю 0,001. Порівняти швидкість збіжності обох методів.

x1		2.15 0.32x1				0.05x2			0.11x3		0.08x4,
			0.83 0,11x1 0.16x3 0.28x3									0.06x4,
x	2		0.83 0,11x1 0.16x3 0.28x3									0.06x4,
		1.16 0.08x1				0.15x2			0.12x4 ,
x3		1.16 0.08x1				0.15x2			0.12x4 ,
x	4		0.44 0.21x			0.13x		2	0.27x	3	.
	4				1			2		3
			0.32	0.05	0.11		0.08							2.15
			0.11	0.16	0.28		0.06						0.83
			0.08	0.15	0		0.12							1.16
			0.08	0.15	0		0.12							1.16

			0.21	0.13	0.27		0							0.44

Перевіримо виконання достатньої умови збіжності ітераційного процесу:

		1
		1
	T					1
	T					1



		2
	T				2


max	T	3	0.61			3
	T					3	0.72
				max			0.72





		4				4
	T

Умова виконується – ітераційний процес буде збіжним. Обираємо початкове наближення розв’язку: x0

x1 x0

2.9719

1.0775 x1 1.5093

0.4326

x2 x1

	3.35551

x2	1.07214
x2	1.50746
	1.50746

		x1 x2	0.48646
	0.73169	x1 x2	0.48646

x3 x2

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

					3.50173
				1.01062
x3
x3					1.50146
					1.50146

								x2 x3		0.17748
				0.81105				x2 x3		0.17748
x4 x3
					3.55113
				0.97826
x4
x4					1.49441
					1.49441

								x3 x4		0.06311
				0.83214				x3 x4		0.06311
x5 x4
			3.56623
					0.9644
x5
x5					1.49097
					1.49097

								x4 x5		0.02121
					0.8364			x4 x5		0.02121
x6 x5
			3.57033
			0.95931
x6
x6			1.48959
			1.48959
									6.70037 10 3
						x5 x6
			0.83684			x5 x6
x7 x6
		3.57127
		0.95763
x7
x7			1.4891
			1.4891
											10 3
							x6 x7		1.99452
		0.83667					x6 x7		1.99452
x8 x7
		3.57142
	0.95713
x8
x8		1.48895
		1.48895
											10 4
							x7 x8		5.64705
	0.83652						x7 x8		5.64705

x x8

Відповідь:

3.57142

0.95713

x1.48895

0.83652

Метод Зейделя. Розіб’ємо матрицю на дві трикутні матриці так, щоб =h+g.

0			0		0	0		1 1
	2 1
			0		0	0		0
			0		0	0		0
h		1		2	0	0	g		0
	3	1	3	2
		1		2		0			0
	4	1	4	2	4 3

Обираємо початкове наближення розв’язку: x0

1 2	1 3	1 4
2 2	2 3	2 4
2 2	2 3	2 4
	3 3
0	3 3	3 4

0	0	4 4

Чисельні методи © Мірошкіна І.В.

x11 1

g1 j x0j

x12 2 h2 1 x11 g2 j x0j

j 1

j 2

h3 j x1j

g3 j x0j

h4 j x1j g4 4 x04

x13 3

x14 4

j 1

j 3

j 1

2.9719

0.98709

1.59862

0.74405

x1 x0

1.51478

x21 1

g1 j x1j

x22 2 h2 1 x21 g2 j x1j

j 1

j 2

x23 3

h3 j x2j

g3 j x1j

x24 4 h4 j x2j g4 4 x14

j 1

j 3

j 1

3.38573

1.01847

1.49434

0.80688

x2 x1

0.43251

x31 1

g1 j x2j

x32 2 h2 1 x31 g2 j x2j

j 1

j 2

x33 3

h3 j x3j

g3 j x2j

x34 4 h4 j x3j g4 4 x24

j 1

j 3

j 1

3.51329

0.9765

1.49071

0.82723

x3 x2

0.13586

x41 1

g1 j x3j

x42 2 h2 1 x41 g2 j x3j

j 1

j 2

h3 j x4j

g3 j x3j

x43 3

x44 4 h4 j x4j g4 4 x34

j 1

j 3

j 1

3.55323

0.96315

1.48946

0.83354

x4 x3

0.04261

g1 j x4j

g2 j x4j

x51 1

x52 2 h2 1 x51

j 1

j 2

h3 j x5j

g3 j x4j

h4 j x5j g4 4 x44

x53 3

x54 4

j 1

j 3

j 1

			Чисельні методи © Мірошкіна І.В.
	3.56572
x5	0.95891
	1.48907

	0.83551	x5 x4	0.01333

	4	g1 j x5j						4					g2 j x5j
x61 1		g1 j x5j				x62 2 h2 1 x51							g2 j x5j
	j 1											j 2
	2		4										3
x63 3		h3 j x5j			g3 j x5j			x64 4 h4 j x6j g4 4 x54
	j 1		j 3									j 1
						3.56961
			x6			0.95801
						1.48883
												4.05777 10 3
					0.83614			x6 x5				4.05777 10 3
	4	g1 j x6j						4					g2 j x6j
x71 1		g1 j x6j				x72 2 h2 1 x71							g2 j x6j
	j 1										j 2
	2	h3 j x7j	4		g3 j x6j								3	h4 j x7j g4 4 x64
x73 3		h3 j x7j			g3 j x6j					x74 4				h4 j x7j g4 4 x64
	j 1		j 3										j 1
					3.57084
			x7		0.95719
					1.48891
														10 3
					0.83632				x7 x6			1.48341		10 3
	4												4
x81 1		g1 j x7j					x82 2 h2 1 x81 g2 j x7j
	j 1												j 2
	2	h3 j x8j	4		g3 j x7j								3	h4 j x8j g4 4 x74
x83 3		h3 j x8j			g3 j x7j					x84 4				h4 j x8j g4 4 x74
	j 1		j 3										j 1
				3.57121
		x8		0.95703
				1.48889
													4.10693 10 4
			0.83637							x8 x7			4.10693 10 4
		3.57121
Відповідь: x		0.95703
Відповідь: x		1.48889
		1.48889

		0.83637

Метод простої ітерації і метод Зейделя показали однакову швидкість збіжності.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3,4

ТЕМА: Визначення коренів алгебраїчних та трансцендентних рівнянь. Наближене розв’язування систем нелінійних рівнянь.

МЕТА: Опанувати чисельними методами визначення коренів алгебраїчних та трансцендентних рівнянь – методами половинного ділення, Ньютона, модифікованим методом Ньютона, січних, ітерацій. Опанувати чисельними методами наближеного розв’язування систем двох нелінійних рівнянь – методом Ньютона та методом ітерацій.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Знаходження наближених значень дійсних коренів алгебраїчного рівняння порядку n:

P ( x ) a	0	x n a	1	x n 1	... a	n 1	x a	n	0,	(1)
n	0		1			n 1		n
або трансцендентного рівняння:
f ( x ) 0										(2)

в методах обчислювальної математики виконують у два етапи:

відокремлюють корені, тобто визначають проміжки на числовій осі Ox, на кожному з яких знаходиться єдиний (відокремлений) корінь рівняння;

уточнюють відокремлені корені до потрібного наближення.

Метод послідовного перебору для відокремлення коренів базується на таких положеннях:

- якщо неперервна на відрізку [ a;b ] функція f ( x ) приймає на його кінцях значення різних знаків (тобто f ( a ) f ( b ) 0 ), то рівняння (1) або

(2) має на цьому відрізку при наймі один корінь;

-якщо функція f ( x ) до того ж ще й строго монотонна, то корінь на від-

різку [ a;b ] єдиний.

	y	B
	y	y=f(x)
		y=f(x)

a	c	b	x
0			x
0
	f(c)
A
	Рис. 2
Виходячи з приблизного графіка функції f ( x ),	визначають інтервал [ a;b ] .

Далі обчислюють значення f ( x ), починаючи з точки x a , рухаючись управо з деяким кроком h (рис.1). Як тільки виявиться пара сусідніх значень f ( x ), яка має різні знаки, і функція f ( x ) монотонна на цьому відрізку, так відповідні

значення аргументу x (попереднє й наступне) можна вважати кінцями відрізку, що містить корінь.

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.2018329.73 Кб6L7.doc
#
12.11.2018708.1 Кб17L9.doc
#
09.08.2019222.72 Кб4lab#1_AK.doc
#
25.08.2019562.69 Кб5Laboratorna_robota5.doc
#
23.02.2016119.81 Кб96Laboratorna_robota_6_Vkazivniki.doc
#
23.02.20162.05 Mб14Laboratorni_roboti_ChM.pdf
#
14.08.201995.74 Кб4Labs_вказивки.doc
#
23.02.2016268.8 Кб10Lab_1.doc
#
24.11.2019772.61 Кб2Lab_3_завдання.doc
#
23.02.2016118.87 Кб24Lab_bio_7_8.docx
#
23.02.201664.5 Кб155Lab_Rob_5_6.docx