Шпора матаналіз

24.Функція

Це змінна величина «У» називається функцією змінної величини «Х» яякщо кожному можливому значенню «Х» ставится у відповідність одне цілком визначене значення «У»

«Х» - аргемуент або незалежна змінна. «У» -залежна,функція.

Сукупність усіх можливих значень «Х» -ОВЗ

Сукупність усіх можливих значень «У»-ОЗФ

25.Класифікаці основних елементарних функцій.

Показникова функція

Логарифмічна функція

Степенева функція

Тригонометричні функції.Та оберненні

Лінійна

Оберненна пропорційність

Квадратична

27.Границя фукції

Число b називається границею функції в точці А якщо для будь-якого можна знайти таке число ,яке залежить від E що виконує неріність

- границя суми цих функцій дорівнює сумі їх границь;

- границя різниці цих функцій дорівнює різниці їх границь;

- границя добутку цих функцій дорівнює добутку їх границь;

- границя відношення цих функцій дорівнює відношенню їх границь, якщо границя дільника відмінна від нуля.

28.Важливі границі

1. 

2. 

29.Неперервні функції

Функція f називається неперервною в точці якщо:

1)функція f(x) визначена в точці x0.

2)існує скінчена границя функції ф(х) в т. х0

3)границя в т. х0 дорівнює значенню функції в цій точці.

Якщо ф(х) і г(х) неперервні в т х0 тоді неперервна їх сума різниця добуток і частка

30.Неперервність складеної функції

31.Точки розриву

Точка розриву - це така точка (значення аргументу) в якій функція не є неперервною.

Розрізняють такі види точок розриву:

Розрив називають усувним, якщо в даній точці існує границя функції, що не збігається з значенням функції.

Точку називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі в даній точці, та вони не збігаються.

Якщо хоча б одна одностороння границя не існує, чи нескінченна, то точку називають точкою розриву другого роду.

32.Означення похідної.

Похідна – це границя відношення приросту функції до приросту аргумента в точці х0,коли прирість аргумента прямує до 0.

Похідна функції ф(х) в точці х0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної проведеної до графіка цієї функції.

Нехай функція ф(х) ,де х є Х, визначає витрати виробництва однорідної продукції обсягу х. Тоді ф’(х) дає граничні витрати виробництва продукції цього обсягу .

34. Похідна складеної і оберненої функції .

35.Диференційовані функції

Функція ф(х) називається диференційованою в т. х0 якщо виконується рівність

Де А число яке не залежить від Δх,

L(Δx) нескінченно мала функція при х→0

Але простіше кажучи…диференційована функція це функція яке має похідну в деякій точці.

Диференціювання –це процес знаходження похідної

36.Диференіал функції.

Це головна лінійна частина приросту в точці х0

Що відповідає приросту і позначається символом dy тобто dy=

Знайти диференціал можна за формулою:

dy=f’(x)dx

диференціал функції f (х) при заданих значеннях х і Δх дорівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f (х) в точці х. Приріст функції Δy при цьому дорівнює приросту ординати кривої.

37.Похідні і диференціал вищих порядків.

Похідна від n-ого порядку це похідна від (n-1)порядку.

Диференціал від n-ого порядку це диференціал від (n-1)порядку.

dy^2=f’’(x)dx

38.Функції багатьох змінних.

Правило за яким кожній парі (х,у)єΩ ставиться у відповідність одну дійсне число zєʀ .

Х,у –незалежні змінні, з -залежна

Множина значень сукупність ксіх можливих значень залежної зміни.

Графік функції- з=ху,якщо функція лінійна графік площина.А при довільному графіком є деяка площина.

Фукція н зміниних-це правило за яким сукупність (х1,х2,х3,хн) ставится у відповідність зєР.

39.Границя функцій багатьох змінних.

Число B називається границею функції z=f(x,y) при x→x0,y→y0 , якщо для будь-якого E>0 існує число

таке, що при виконанні нерівності

0<(x-x0)^2+(y-y0)^2<^2виконується нерівність

|f(x,y)-B|<E і позначається

40.Неперервність ФБЗ.

Функція ф(х,у) називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Функція f(х,у) називається неперервною в точці (х0,у0) якщо:

1) (х0,у0)єΩ

2)існує скінчена границя функції

3)границя в т. х0 дорівнює значенню функції в цій точці.

Якщо ф(х) і г(х) неперервні в т х0 тоді неперервна їх сума різниця добуток і частка

41.Частинні похідні першого і вищих порядків

Частина похідна 1 порядку-границя відношення частинного приросту функцій до відповідного приросту аргумента.

Частині похідні вищих порядків беруться від ч.п. на 1 порядок менше.

42.Диференціал декількох змінних

Функція z=f(x,y) називається диференційовною у точці (х0,у0) , якщо її повний приріст можна подати у вигляді:

,де А,В числа , альфа и бета нескінченні малі про х,у→0

Головна лінійна частина приросту функції, тобто називається повним диференціалом функції (точніше першим диференціалом) двох змінних f(x,y) у точці (x0,y0) і позначається dz

dz=

43.Диференнціали вищих порядків

Диференціал н-го порядку це диференціал від н-1 порядку .

44.Екстремимум двох змінних.

Необхідна умова

Якщо диференційована функція досягає екстремуму в точці Мо то в цій точці (df/dxk)(Mo)=0

Кє{1,….,n} .За таких умов Мо можна називати стаціонарною точкою…це точки в яких функція не диференційована.

Достатні умови

A=f”xx(x0,y0) B=f”xy(x0,y0) C=f”yy(x0,y0)

Якщо АС-В^2>0 то функція в цій точці має екстремимум,і якщо А>0 то локальний мін.

АС-В^2<0 то екстремимуму не має

АС-В^2=0 може бути може не бути.

45.Умовний екстремимум.

Рівняння (х;у) назив рівнянням зв’язку, т. (х₀;у₀) є Е назив т. Умовного строгого максимуму ф-ції u=f(x;y). Відносно рівн зв’язку, якщо існує такий окіл т. (х₀;у₀), для всіх точок якого (х;у)  (х₀;у₀), що задовольняють рівняння зв’язку, вірна нерівність: f(x;y)  f(x₀;y₀).

z = f(x;y) (x;y) = 0

F(x,y,) = f(x;y) + (x;y)

.