шпора ( матрицам)

1)Означення матрець, типи матрець.

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпчиків. Їх позначають великими літерами A,B,C і т.д.

Типи матрець:

1. Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші нулю називається одиничною матрецею.

2. Якщо всі елементи матриці, що знаходяться по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця назівається трикутною.

3. Якщо візначник відмінний від нуля, то матриця називається неособливою або невиродженою.

4. Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця особліва або вироджена.

2)Дії над матрицями.

Сума матриць це матриця С такого самого розміру як А і В eлементи якої є сумою відповідних елементів

Різниця матриць це матриця С такого самого розміру як А і В eлементи якої є різницею відповідних елементів

Добуток матриць на число К це це так сама матриця але кожний елемент помножений на К.

Добуток матриць –це матриця С яка має стільки рядків скільки А і стільки стовпчиків скільки В..

Суми матрець і добутку матрець виконуються рівності:

1. A+B=B+A; 2. aA=Aa 3. a(A+B)=aA+aB 4. (a+b)A=aA+bA 5. a(bA)=(ab)A

3) Сума матриць.

Це матриця С =А+В ,кожен член якох дорівнює

Сумі відповідних членів с1=а1+в1.

Можна додавати коли матриці мають однаковий

Розмір.

4)Поняття матриці.Транспортування.

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпчиків. Їх позначають великими літерами A,B,C і т.д.

Транспортування матриць це зміна місцями рядків і стовпчиків…тобто перевертаємо її.

5)Множення матриць.

Добуток матриць –це матриця С яка має стільки рядків скільки А і стільки стовпчиків скільки В..

Множення двох матриць має сенс лише тоді, коли число стовпчиків першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці.

Множення відбувається рядок на стовпчик.

(AB)C = A(BC)

(A + B)C = AC + BC

C(A + B) = CA + CB

6)Оберненна матриця.

Матриця називається оберненною матрицею для квадратної, невиродженної А, якщо виконується співвідношення: .

Оберенні матриці існують для квадратних не особливих матриць. Алгоритм

1)визначник 2) Мінори(алгебраїчні доповнення 3) перевернути рядки і стопчикии 4) 1/отриманий визначник і помножити на «3»

7)Визначники першого, другого та третього порядку.

Визначником другого порядку називається вираз вигляду:

Визначником третього порядку називається вираз вигляду:

Властивоті визначника.

Властивість 1: Визначник не змінюється при транспортуванні.

Властивість 2: Якщо один із рядків визначника складається з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.

Властивість 3: Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то йго знак змінюється на протилежний.

Властивість 4: Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5: Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то і визначник помножиться на С.

Властивість 6: Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7: Якщо всі елементи будь якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то визначник бкде дорівнювати сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок в першому визначнику і другий доданок в другому визначнику.

Властивість 8: Визначник не змінюється, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи будь-якого іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.

8)Визначник н-го порядку.

Означення: Визначником n–ого порядку називається число, яке дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка, або стовпчика на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

Визначник матриці А позначається так:

9)Мінори та алгебраїчні доповнення.

Мінором M(i,j) – визначник на 1 порядок нижче

За визначник А який утворюється

викреслюванням і рядка j стовпчика,на перетині яких знаходиться а(i,j)

Алгебраїчне доповнення – це мінор M(i,j) з знаком + якщо i+j парне і з знаком – якщо i-j непарна

12)Матричний метод

X=A^(-1)*B

|a11 a12 a13| | x1 | | b1|

|a21 a22 a23| | x2 | = | b2|

|a31 a32 a33| | x3 | | b3 |

11)Правило Крамера.

Якщо головний визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, системи n-лінійних рівнянь з n-невідомими відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розв’язок (сумісна і визначена), який знаходиться за формулами:

, , ...,.