Шпора на інтеграл

46. Поняття первісної .Невизначений інтеграл.

-Первісною y=f(x) на X називається така F(x), що для будь якого хєХ виконується рівність (F(x))’=f(x)

-Невизначенний інтеграл функції f(x) на проміжку Х називається сукупність усіх первісних цієї функції.

47. Властивості невизначеного інтеграла

Властивості, що випливають із означення невизн. інт:

І. похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній ф-ії:

ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

ІІІ.

Властивості, що відображають основні правила інтегрування:

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла.

V. Невизн. інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують.

49. Метод заміни

Мета – перетворити інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.

Теорема. Якщо f(x) – неперервна, а x=(t) має неперервну похідну, то:

Наслідок.

49.2. Інтегрування частинам у визначеному інтегралі

Якщо функціяU i V неперервні на Х та диференційовані на цьому проміжку то

50. Інтегрування раціональних ф-ій

Означення: Раціональний дріб правильний, якщо степінь многочлена в чисельнику менший степеня многочлена в знаменнику, тобто n<m. Якщо ж nm, то дріб неправильний.

Методика інтегрування раціональних ф-ій:

1. Якщо підінтегральна ф-ія – неправильний раціональний дріб, то за допомогою ділення його розкладають на суму многочлена і правильного раціонального дробу.

2. Знаменник правильного раціон. дробу розкладають на множники. По вигляду знаменника, правильний раціон. дріб представляють у вигляді найпростіших дробів, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

3. Інтегрують цілу частину і найпростіші дроби.

52. Інтегрування тригонометричних функцій

Інтеграл вигляду sinⁿxcos^mxdx у випадку коли одне з чисел додатнє і непарне відчеплюють один множник від непарного степеня і виражають парний степінь за допомогою формули основною тригонометричної.

В інтегралах sin²ⁿxcos^2mxdx рекомендується скористатися формулами зниження степеня.

53. Поняття визначеного інтеграла

Означення: Якщо існує скінченна границя інтегральних сум S_n при _і­­0 і не залежить ні від способу розбиття [a;b] на частини х_і, ні від вибору точок _і, то ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] і позначається:

За означенням, визначений інтеграл – число, яке залежить від типу ф-ії f(x) та проміжку [a;b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування.

Ф-ія, для якої на інтервалі існує визначений інтеграл називається інтегровною.

54.Обчислення визначених інтегралів.Формула Ньютона-Лейбніца.

Визначенні інтеграли можна обчислити за:

-формулою ньютона-лейбніца

-методом підстановки або заміни

-методом інтегрування частинами

Для обчислення визначеного інтеграла при умові існування первісної користуються формулою Ньютона-Лейбніца:

З цієї формули видно порядок обчислення визначеного інтегралу:

1. знайти невизначений інтеграл від даної функції;

2. в отриману первісну підставити на місце аргументу спочатку верхню, а потім нижню межу інтеграла;

3. знайти приріст первісної, тобто обчислити інтеграл

55. Невластиві інтеграли 1 роду

Якщо існує скінчена границя при b→+∞, то цю границю називають невласним інтегралом з нескінченою верхньою межею інтегрування від неперервної на інтервалі [a;+∞] функції f(x) і вважають, що

У цьому випадку інтеграл називають збіжним, а саму функцію - інтегрованою на проміжку [a;+∞]. Якщо границя рівна або зовсім не існує, то інтеграл розбіжний.

Невласні інтеграли з необмеженими межами називаються невласними інтегралами першого роду.

56. Невластиві інтеграли 2 роду

Якщо існує скінчена лівостороння границя , то цю границю називають невласним інтегралом від розривної функції на відрізку [a;b] і вважають, що

57.Застосування визначених інтегралів в економіці .