РОЗДIЛ II. Визначений iнтеграл
1.Лекцiя №4. Суми Дарбу та їх властивостi.
²Задача про площу криволiнiйної трапецiї.
²Означення визначеного iнтеграла.
²Необхiдна умова iнтегровностi.
²Суми Дарбу та їх властивостi.
1.1.Задача про площу криволiнiйної трапецiї. Нехай задана криволiнiйна трапецiя ABCD, обмежена лiнiями x = a, x = b, y = 0 i y = f(x). Виникає питання про площу S цiєї трапецiї.
Розiб’ємо вiдрiзок [a; b] на меншi вiдрiзки:
a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn¡1 < xn = b:
Прямi x = x1, x = x2,..., x = xn¡1 розбивають трапецiю ABCD на n менших трапецiй.
Для i = 1; : : : ; n трапецiю з основою [xi¡1; xi] замiнимо на прямокутник [xi¡1; xi] £ [0; yi], де yi = f(xi). Площа i-ої трапецiї приблизно дорiвнює площi прямокутника, тобто Si =
(xi ¡ xi¡1) ¢ yi = ¢xi ¢ f(xi). Тодi
Xn
S ¼ f(xi)¢xi:
i=1
Похибка цiєї формули прямуватиме до нуля, якщо довжини всiх вiдрiзкiв [xi¡1; xi] прямують до нуля. Позначимо
¸ = max ¢xi:
1·i·n
Тодi
|
n |
|
Xi |
S = lim |
f(xi)¢xi: |
¸!0 |
=1 |
1.2. Означення визначеного iнтеграла. Розглянемо функцiю f, визначену на вiдрiзку [a; b]. Нехай
T : a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xn¡1 < xn = b
довiльне розбиття вiдрiзка [a; b]. Для кожного i = 1; 2; : : : ; n на вiдрiзку [xi¡1; xi] виберемо точку »i. Позначимо ¢xi = xi ¡ xi¡1. Сума
Xn
¾(T; f) = f(»i)¢xi
i=1
1
2
називається iнтегральною сумою функцiї f для розбиття T . Ця сума дорiвнює площi схiдчастої фiгури. Число
¸ = max ¢xi
1·i·n
називається параметром розбиття T .
Означення 1.1. Функцiя f називається iнтегровною на вiдрiзку [a; b], якщо iснує скiнченна границя
I = lim ¾(T; f);
¸!0
а значення цiєї границi називається визначеним iнтегралом вiд функцiї f на вiдрiзку [a; b] i позначається
Zb
f(x)dx;
a
тобто
I = lim ¾(T; f) ´ (8" > 0)(9± > 0)(8 розбиття T i довiльного вибору точок »i)
¸!0
(¸(T ) < ± ) j¾(T; f) ¡ Ij < "):
Геометричний змiст: визначений iнтеграл вiд функцiї f на вiдрiзку [a; b] дорiвнює площi криволiнiйної трапецiї, обмеженої лiнiями x = a, x = b, y = 0 i y = f(x), причому площа фiгури, яка знаходиться нижче вiсi Ox, береться зi знаком ”-”.
1.3. Необхiдна умова iнтегровностi.
Теорема 1.2. Кожна iнтегровна на вiдрiзку [a; b] функцiя обмежена на цьому вiдрiзку.
Доведення. Для " = 1 знайдемо таке ± > 0, що для довiльного розбиття T з ¸(T ) < ± i
довiльного вибору точок »i виконується нерiвнiсть j¾(T; f) ¡ Ij < 1, де Rb f(x)dx.
a
Нехай T0 : a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn¡1 < xn = b – довiльне розбиття з ¸(T0) < ±. Покажемо, що f обмежена на кожному вiдрiзку [xi¡1; xi]. Нехай x – довiльна точка з
вiдрiзка [x0; x1]. Зафiксуємо точки »2 2 [x1; x2], »3 2 [x2; x3],..., »n 2 [xn¡1; xn]. Розглянемо
iнтегральну суму
Xn
S1 = ¾(T0; f) = f(x) ¢ ¢x1 + f(»i)¢xi:
i=2
Маємо jS1 ¡ Ij < 1, тобто I ¡ 1 < S1 < I + 1,
|
|
|
n |
|
|
|
|
I ¡ 1 < f(x)¢x1 + |
Xi |
|
|
||
|
f(»i)¢xi < I + 1; |
|
||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
I ¡ 1 ¡ i=2 f(»i)¢xi |
|
I + 1 ¡ |
=2 f(»i)¢xi |
|
|
m1 = |
P |
< f(x) < |
|
iP |
= M1: |
|
¢x1 |
|
¢x1 |
||||
|
|
|
|
|
||
Отже, m1 · f(x) · M2 для кожного x 2 [x0; x1], тобто функцiя f обмежена на [x0; x1]. Аналогiчно показуємо, що f обмежена на кожному з вiдрiзкiв [x1; x2],..., [xn¡1; xn], тобто
iснують такi числа m2; : : : ; mn i M2; : : : ; Mn, що
m2 · f(x) · M2 8 x 2 [x1; x2];
: : :
mn · f(x) · Mn 8 x 2 [xn¡1; xn]:
3
Покладемо
m = minfm1; m2; : : : ; mng i M = maxfM1; M2; : : : ; Mng:
Тодi
m · f(x) · M 8x 2 [a; b]:
¤
1.4. Суми Дарбу та їх властивостi. Нехай функцiя f iнтегровна (i обмежена) на [a; b].
Вiзьмемо довiльне розбиття a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xn¡1 < xn = b. Для кожного i = 1; 2; : : : ; n покладемо
mi = inf |
f(x); |
Mi = |
sup f(x): |
||
|
|
xi¡1·x·xi |
xi¡1·x·xi |
||
Суми |
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
n |
|
|
Xi |
|
i S(T ) = |
X |
S(T ) = |
Mi¢xi |
mi¢xi |
|||
=1 |
|
|
i=1 |
||
називаються верхньою i нижньою iнтегральною сумою вiдповiдно, або верхньою i нижньою сумою Дарбу.
Властивостi сум Дарбу.
(1) Нехай T – довiльне розбиття вiдрiзка [a; b] i довiльним чином виберемо точки »i 2 [xi¡1; xi]. Тодi
S(T ) · ¾(T; f) · S(T ):
Доведення. Оскiльки »i 2 [xi¡1; xi], то mi · f(»i) · Mi, тобто |
|
mi¢xi · f(»i)¢xi · Mi¢xi: |
¤ |
Просумувавши по i вiд 1 до n, одержимо потрiбну нерiвнiсть. |
(2)Нехай T1 µ T2 – розбиття вiдрiзка [a; b]. Тодi S(T1) · S(T2) i S(T1) ¸ S(T2).
Доведення. Нехай
T1 : a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xn¡1 < xn = b;
T2 : a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xk < z < xk+1 < ¢ ¢ ¢ < xn = b;
тобто T2 = T1 t fzg. Оскiльки [xk; z] µ [xk; xk+1] i [z; xk+1] µ [xk; xk+1], то
m0 |
|
|
inf |
f(x) |
¸ x |
|
|
|
inf |
f(x) = m |
|
|
|
k+1 = x |
2 |
[xk;z] |
|
2 |
[xk;xk+1] |
k+1 |
|
||||||
та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m00 |
= x |
|
inf |
f(x) |
¸ x |
|
|
inf |
f(x) = m |
k+1 |
: |
||
k+1 |
2 |
[z;xk+1] |
2 |
[xk;xk+1] |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Врахувавши, що всi решта доданкiв в сумах S(T1) та S(T2) однаковi, i |
|||||||||||||
mk0 +1(z ¡ xk) + mk00+1(xk+1 ¡ z) ¸ mk+1(z ¡ xk + xk+1 ¡ z) = mk+1¢xk+1; |
|
||
одержимо, що S(T2) ¸ S(T1). |
|
||
Нехай T2 = T1 t fz1; z2; : : : ; zkg. Тодi згiдно з щойно доведеним маємо |
|
||
S(T1) · S(T1 t fz1g) · S(T1 t fz1; z2g) · ¢ ¢ ¢ · S(T1 t fz1; : : : ; zkg) = S(T2): |
¤ |
||
Аналогiчно для верхнiх сум Дарбу. |
|||
(3) Нехай T1 i T2 – довiльнi розбиття вiдрiзка [a; b]. Тодi |
|
||
|
|
|
|
S(T1) · S(T2): |
|
||
4
Доведення. Позначимо T = T1 [ T2. Тодi згiдно з (2) i (1)
S(T1) · S(T ) · S(T ) · S(T2):
¤
Розглянемо множини
A = fS(T ) : T ¡ розбиття [a; b]g; A = fS(T ) : T ¡ розбиття [a; b]g:
Згiдно з (3) множина A обмежена зверху, а множина B обмежена знизу. Покладемо
|
|
= sup A = sup S(T ); |
I¤ = inf B = inf |
|
(T ): |
I |
¤ |
S |
|||
|
T |
T |
|||
|
|
|
|
|
|
Тодi I¤ та I¤ називаються нижнiм i верхнiм iнтегралами Дарбу.
(4) Для довiльного розбиття T мають мiсце нерiвностi
S(T ) · I¤ · I¤ · S(T ):
Доведення. Очевидно, що S(T ) · I¤ i I¤ · S(T ). Згiдно з (3) маємо, що S(T1) ·
S(T2), sup S(T1) · sup S(T2), I¤ · S(T2). Тому
T1 T1
I¤ · inf S(T2) = I¤:
T2
¤