1. Лекцiя №8. Застосування визначеного iнтеграла до обчислення площ та об’ємiв.
²Квадровнi фiгури, площi квадровних фiгур.
²Площа криволiнiйної трапецiї.
²Площа криволiнiйного сектора.
²Кубовнi тiла. Об’єми кубовних тiл.
²Площi поверхонь обертання.
1.1.Квадровнi фiгури, площi квадровних фiгур. Нехай P – плоска фiгура, обмежена контуром K. Позначимо через A сукупнiсть всiх многокутникiв, якi повнiстю мiстяться в P , а через B сукупнiсть всiх многокутникiв, якi мiстять P . Зрозумiло, що S(A) · S(B) для всiх A 2 A та B 2 B.
Означення 1.1. Число S¤ = sup S(A) називається внутрiшньою площею фiгури P , а
A2A
число S¤ = inf S(B) називається зовнiшньою площею фiгури P .
B2B
Означення 1.2. Фiгура P називається квадровною, якщо S¤ = S¤, а число S = S¤ = S¤ називається площею фiгури P .
Твердження 1.3. Фiгура P квадровна тодi i тiльки тодi, коли для довiльного " > 0 iснують такi многокутники A 2 A та B 2 B, що
S(B) ¡ S(A) < ":
Доведення. Необхiднiсть. Нехай S = S¤ = S¤ i " > 0. Виберемо многокутники A 2 A та B 2 B так, щоб S(A) > S¤ ¡ 2" i S(B) < S¤ + 2". Тодi
S(B) ¡ S(A) < S + |
" |
|
¡ (S ¡ |
" |
) = ": |
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
|||||
Достатнiсть. Якщо S(B) ¡ S(A) < ", то S¤ ¡ S¤ |
< ". Спрямувавши " до нуля, ми |
|||||
одержимо, що S¤ ¡ S¤ · 0, звiдки S¤ = S¤. |
|
|
|
¤ |
||
Твердження 1.4 (властивiсть адитивностi). Нехай фiгура P розбита на двi фiгури P1 i P2. Якщо хоча б двi з цих фiгур квадровнi, то третя також квадровна, причому
S(P ) = S(P1) + S(P2):
Доведення. Нехай фiгури P1 i P2 квадровнi, причому A1 i A2 – системи всiх многокутникiв, якi мiстяться в P1 i P2 вiдповiдно, а B1 i B2 – системи всiх многокутникiв, якi мiстять P1 i P2 вiдповiдно.
Зафiксуємо " > 0. Вiзьмемо такi многокутники Ai 2 Ai та Bi 2 Bi, i = 1; 2, що
"
S(Bi) ¡ S(Ai) < 2;
i = 1; 2. Покладемо
A = A1 [ A2; B = B1 [ B2:
Зауважимо, що многокутники A1 i A2 не перетинаються. Зрозумiло, що A 2 A i B 2 B. Тодi
S(A) = S(A1) + S(A2); S(B) · S(B1) + S(B2): |
|
||||||
Звiдси випливає, що |
|
|
|
|
|
|
|
S(B) ¡ S(A) · S(B1) + S(B2) ¡ S(A1) ¡ S(A2) < |
" |
+ |
" |
|
= ": |
||
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
||||||
Таким чином, фiгура P квадровна.
1
2
Залишилось показати, що S(P ) = S(P1) + S(P2). Справдi, оскiльки
S(A1) + S(A2) · S(P1) + S(P2) · S(B1) + S(B2);
i
S(A1) + S(A2) = S(A) · S(P ) · S(B) · S(B1) + S(B2);
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
jS(P1) + S(P2) ¡ S(P )j < ": |
|
|
|
|
|
|
|
|
¤ |
|||
Спрямувавши " ! 0, ми одержимо, що S(P ) = S(P1) + S(P2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Твердження 1.5. Нехай P – така фiгура, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(8" > 0)(9P1; P2 ¡ квадровнi)(P1 µ P µ P2 i jS(P1) ¡ S(P2)j < "): |
||||||||||||
Тодi P – квадровна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доведення. Виберемо многокутник"A µ P1, такий, що S"(P1) ¡ S(A) |
< |
3" |
i многокутник |
|||||||||
B ¶ P2, такий, що S(B) ¡ S(P2) < 3 , де S(P2) ¡ S(P1) < 3 . Тодi A µ P µ B i |
||||||||||||
" |
|
" |
|
" |
|
" |
|
|
" |
|
||
jS(A) ¡ S(B)j = S(B) ¡ S(A) < S(P2) + |
|
¡ S(P1) + |
|
< |
|
+ |
|
|
|
+ |
|
= ": |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
3 |
|||||||
¤
1.2. Площа криволiнiйної трапецiї.
² Розглянемо криволiнiйну трапецiю ABCD, яка обмежена лiнiями x = a, x = b, y = 0, y = f(x), де f(x) – iнтегровна на [a; b] функцiя, причому f(x) ¸ 0 для всiх x 2 [a; b]. Нехай
T : a = x0 < x1
mi = inf
x2[xi¡1;xi]
< x2 < ¢ ¢ ¢ < xn¡1 < xn ¡ b;
f(x); Mi = sup f(x):
x2[xi¡1;xi]
Розглянемо двi фiгури
n |
n |
[ |
i[ |
P1 = |
[xi¡1; xi] £ [0; mk]; P2 = [xi¡1; xi] £ [0; Mi]: |
i=1 |
=1 |
Фiгури P1 i P2 квадровнi як скiнченнi об’єднання прямокутникiв, причому
P1 µ ABCD µ P2:
Згiдно з властивiстю адитивностi площi,
n |
n |
||
Xi |
X |
|
|
S(P1) = |
mi¢xi = S; S(P2) = Mi¢xi = S: |
||
=1 |
i=1 |
||
3
Згiдно з критерiєм iнтегровностi, для довiльного " > 0 iснує таке розбиття T , що jS ¡ Sj < ", звiдки з критерiю квадровностi випливає, що ABCD – квадровна фiгура, причому
S · S(ABCD) · S:
Спрямувавши ¸ ! 0, одержимо
Zb
S(ABCD) = f(x)dx:
a
²Розглянемо трапецiю ABCD, яка обмежена лiнiями x = a, x = b, y = f(x) зверху i y = g(x) знизу, причому f i g – iнтегровнi на [a; b].
Нехай f(x) ¸ g(x) ¸ 0 для всiх x 2 [a; b]. Тодi згiдно з властивiстю адитивностi площi,
Zb Zb Zb
S(ABCD) = S(KLCD) ¡ S(KLBA) = f(x)dx ¡ g(x)dx = (f(x) ¡ g(x))dx:
a a a
Нехай g(x) не обов’язково невiд’ємна. Оскiльки g iнтегровна, то iснує таке C > 0,
що g(x) + C ¸ 0 для всiх x 2 [a; b]. Розглянемо g1(x) = g(x) + C, f1(x) = f(x) + C. Матимемо, що f1(x) ¸ g1(x) ¸ 0 i
Zb Zb
S(ABCD) = (f1(x) ¡ g1(x))dx = (f(x) ¡ g(x))dx:
a a
Отже,
Zb
S(ABCD) = (f(x) ¡ g(x))dx:
a
1.3. Площа криволiнiйного сектора. Нехай криволiнiйний сектор AOB обмежений прямими OA, OB та iнтегровною кривою r = r('). Нехай ' = ®, ' = ¯ – рiвняння променiв OA i OB. Розглянемо розбиття
T : ® = '0 < '1 < ¢ ¢ ¢ < 'n = ¯:
Позначимо |
|
mi = inf r('); |
Mi = sup r('): |
'i¡1·'·'i |
'i¡1·'·'i |
4
Розглянемо фiгури
n |
n |
[ |
i[ |
P1 = ['i¡1; 'i] £ [0; mi]; P2 = |
['i¡1; 'i] £ [0; Mi]; |
i=1 |
=1 |
тобто фiгура P1 складається з кругових секторiв з радiусами mi, де кут змiнюється вiд 'i¡1 до 'i, а P2 складається з кругових секторiв з радiусами Mi. Згiдно з побудовою,
P1 µ P µ P2:
Оскiльки площа кругового сектора дорiвнює 12 R2¢', то
S(P1) = |
1 |
n |
mi2¢'i; S(P2) = |
1 |
n |
Mi2¢'i; |
|
X |
|
Xi |
|||
2 |
2 |
|
||||
i=1 |
=1 |
|
||||
тобто S(P1) i S(P2) – це верхня i нижня суми Дарбу для функцiї 12 r2(') на вiдрiзку [®; ¯]. Аналогiчно як для криволiнiйної трапецiї, використавши критерiй iнтегровностi i критерiй квадровностi, одержимо, що фiгура AOB квадровна, причому
S(P1) · S(AOB) · S(P2):
Спрямувавши в останнiй нерiвностi ¸ ! 0, ми одержимо, що
Z¯
S(AOB) = 12 r2(')d':
®
1.4. Кубовнi тiла. Об’єми кубовних тiл. Аналогiчно, як для квадровних фiгур, почнемо з многогранникiв – тiл, обмежених площинами. Їх об’єми обчисляються за вiдомими формулами.
Нехай T – деяке тiло. Через A позначимо сукупнiсть всiх многогранникiв, якi мiстяться в T , а через B – систему всiх многогранникiв, якi мiстять T . Зрозумiло, що V (A) · V (B) для всiх A 2 A та всiх B 2 B.
Означення 1.6. Число V¤ = sup V (A) називається внутрiшнiм об’ємом тiла T , а число
A2A
V ¤ = inf V (B) називається зовнiшнiм об’ємом тiла T .
B2B
Означення 1.7. Тiло T називається кубовним, якщо V¤ = V ¤. При цьому число V (T ) = V ¤ = V¤ називається об’ємом тiла T .
Властивостi кубовних тiл:
(1) Тiло T кубовне тодi i тiльки тодi, коли (8" > 0)(9A 2 A)(9B 2 B)(V (B)¡V (A) < ").
5
(2) Якщо T = T1 tT2, причому хоча б два тiла кубовнi, то третє тiло кубовне, причому
V (T ) = V (T1) + V (T2).
(3)Якщо (8" > 0)(9T1; T2 ¡ кубовнi)(T1 µ T µ T2 i V (T2) ¡ V (T1) < "), то тiло T кубовне.
(4)Якщо P – квадровна плоска фiгура, T = P £ [0; H] (цилiндр). Тодi тiло T кубовне, причому V (T ) = S(P ) ¢ H.
Нехай тiло T проектується на вiсь Ox на вiдрiзок [a; b]. Для кожного x 2 [a; b] позначимо через S(x) площу перерiзу тiла T площиною, що проходить через точку x i перпендикулярна до вiсi Ox.
Якщо функцiя S(x) неперервна на [a; b], то
Zb
V (T ) = S(x)dx:
a
Зокрема, якщо тiло T є тiлом обертання кривої y = f(x), a |
· |
x |
· |
b, навколо вiсi Ox, то |
S(x) = ¼f2(x) (мал. 2). Тодi |
|
|
||
V (T ) = ¼ Zb f2(x)dx: |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
1.5. Площi поверхонь обертання. Нехай крива y = f(x), x 2 [a; b], обертається навколо Ox. Тодi площа Q поверхнi обертання обчисляється за формулою
Q = 2¼ Zb f(x) |
|
|
|
|
|
1 + (f0 |
(x))2dx: |
||
a |
p |
|
|
|