Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
4
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
213.22 Кб
Скачать

1.Лекцiя №5. Властивостi визначеного iнтеграла.

²Критерiй iнтегровностi.

²Класи iнтегровних функцiй.

²Властивостi iнтегровних функцiй.

²Iнтеграл по орiєнтованому промiжку.

²Властивостi iнтеграла, якi виражаються рiвностями.

1.1.Критерiй iнтегровностi.

Теорема 1.1. Для iнтегровностi функцiї f на [a; b] необхiдно i досить, щоб

lim(S(T ) ¡ S(T )) = 0:

¸!0

Доведення. Необхiднiсть. Зафiксуємо " > 0. Виберемо ± > 0 таке, що для довiльного розбиття T з ¸(T ) < ± i довiльного вибору точок »1; : : : »n виконується нерiвнiсть jI ¡ ¾(T; f)j < ", тобто I ¡ " < ¾(T; f) < I + ",

I ¡ " < f(»1x1 + f(»2x2 + ¢ ¢ ¢ + f(»nxn < I + ":

Перейшовши послiдовно до inf при »1 2 [x0; x1], »2 2 [x1; x2],..., »n 2 [x1; xn], одержимо, що

I ¡ " · m1¢x1 + m2¢x2 + ¢ ¢ ¢ + mn¢xn < I + ";

тобто

I ¡ " · S(T ) < I + ":

Аналогiчно, I ¡ " < S(T ) < I + ". Тодi

lim S(T ) = I = lim S(T ):

l!0

¸!0

Отже, lim(S(T ) ¡ S(T )) = I ¡ I = 0.

¸!0

Достатнiсть. Оскiльки згiдно з (4)

0 · I¤ ¡ I¤ · S(T ) ¡ S(T );

то I¤ = I¤. Позначимо I = I¤ = I¤ i знову ж згiдно з (4)

S(T ) · I · S(T ):

Тодi

I ¡ (S(T ) ¡ S(T )) = S(T ) ¡ (S(T ) ¡ I) · S(T ) · S(T ) ·

· S(T ) + (I ¡ S(T )) = I + (S(T ) ¡ S(T )):

Врахувавши (1) маємо

I ¡ (S(T ) ¡ S(T )) · ¾(T; f) · I + (S(T ) ¡ S(T ));

lim(S(T ) ¡ S(T )) = 0;

¸!0

lim ¾(T; f) = I:

¸!0

¤

1

2

1.2. Класи iнтегровних функцiй.

Теорема 1.2. Кожна неперервна функцiя на вiдрiзку [a; b] iнтегровна.

Доведення. Зафiксуємо " > 0. Оскiльки згiдно з теоремою Кантора функцiя f рiвномiрно неперервна на [a; b], то iснує таке ± > 0, що

(8x0; x00

2 [a; b])(jx0 ¡ x00j < ±

) jf(x0) ¡ f(x00)j <

"

 

):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(b ¡ a)

 

 

 

Нехай T – таке розбиття, що ¸(T ) < ±. Тодi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mi ¡ mi = sup

 

f(x) ¡ x

[xinfi 1;xi] f(x) =

sup

(f(x0) ¡ f(x00)) ·

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

2(b

¡

a)

x2[x1;xi]

2

 

¡

 

 

 

x0;x002[x1;xi]

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

¡

 

n

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

Xi

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

i=1 (Mi ¡ mixi ·

 

2(b a)

=1 ¢xi =

2(b a)

(b ¡ a) =

2

:

 

 

 

Отже, f – iнтегровна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¤

Теорема 1.3. Кожна обмежена на вiдрiзку [a; b]

функцiя f, яка має скiнченну кiлькiсть

точок розриву, iнтегровна на [a; b].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 1.4. Монотонна функцiя f на вiдрiзку [a; b]

iнтегровна.

 

 

 

Доведення. Нехай f зростає на [a; b]. Зафiксуємо " > 0. Покладемо

 

 

 

 

 

 

 

± =

 

 

"

> 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(b) ¡ f(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай T – таке розбиття, що ¸(T ) < ±. Зауважимо, що Mi ¡ mi

= f(xi) ¡ f(x1). Тодi

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xi

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Mi ¡ mixi

< ± (Mi ¡ mi) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=±((f(x1) ¡ f(x0)) + (f(x2) ¡ f(x1)) + ¢ ¢ ¢ + (f(xn) ¡ f(x1))) =

=±(f(xn) ¡ f(x0)) · ±(f(b) ¡ f(a)) = ":

¤

1.3.Властивостi iнтегровних функцiй.

(1)якщо f – iнтегровна на [a; b], то jfj i kf – iнтегровнi на [a; b].

Доведення. Нехай

Mi =

sup

f(x);

mi

=

inf

f(x);

 

x2[x1;xi]

 

 

x2[x1;xi]

 

Mi0 =

sup

jf(x)j;

mi0 = x

[xinfi 1;xi] jf(x)j;

x2[x1;xi]

 

 

2

¡

 

Mi00 =

sup

(kf(x));

mi00

=

inf

(kf(x));

x2[x1;xi]

 

 

 

x2[x1;xi]

Маємо

 

 

 

 

 

 

 

wi00 = Mi00 ¡ mi00 = k(Mi ¡ mi) = kwi;

n

 

 

n

 

 

 

 

Xi

 

 

X

 

 

 

 

wi00¢xi = k wi¢xi ! 0 при ¸ ! 0:

=1

 

 

i=1

 

 

 

 

3

Оскiльки jf(x0)j ¡ jf(x00)j · jf(x0) ¡ f(x00)j, то wi0 · wi, де wi0 = Mi0 ¡ m0i. Тому

n

n

n

Xi

X

X

wi0¢xi ·

wi¢xi )

wi0¢xi ! 0 при ¸ ! 0:

=1

i=1

i=1

Отже, jfj – iнтегровна.

 

¤

(2)нехай f i g – iнтегровнi на [a; b]. Тодi f § g, f ¢ g – iнтегровнi.

Доведення. Iнтегровнiсть суми i рiзницi випливає з нерiвностей

wf+g · wf + wg i wf¡g · wf + wg:

Для доведення iнтегровностi добутку зауважимо, що jf(x)j · K i jg(x)j · K. Тодi f(x00)g(x00) ¡ f(x0)g(x0) = (f(x00) ¡ f(x0))g(x00) + (g(x00) ¡ g(x0))f(x0):

Тому

wf¢g · wf ¢ K + wg ¢ K = (wf + wg) ¢ K ! 0 при ¸ ! 0:

¤

(3) якщо f – iнтегровна на [a; b] i [c; d] µ [a; b], то f – iнтегровна на [c; d].

Доведення. Довiльне розбиття T1 вiдрiзка [c; d] можна доповнити до розбиття T2 вiдрiзка [a; b] з ¸(T1) = ¸(T2). ¤

(4)якщо f – iнтегровна на [a; c] i на [c; b], то f – iнтегровна на [a; b].

Доведення. Нехай jf(x)j · K,

T : a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xk · c · xk+1 < ¢ ¢ ¢ < xn = b;

T1 : a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xk = c; T2 : c · xk+1 < ¢ ¢ ¢ < xn = b; ¸(T1); ¸(T2) · (T );

S(T ) ¡ S(T ) · (S1(T ) ¡ S1(T )) + (S2(T ) ¡ S2(T )) + ¸ ¢ K ! 0 при ¸ ! 0:

¤

1.4. Iнтеграл по орiєнтованому промiжку. Пiд орiєнтованим вiдрiзком [a; b] розумiють множину всiх x, якi задовольняють нерiвнiсть a · x · b або b · x · a, i впорядкованi вiд a до b (тобто, в порядку зростання, якщо a < b, i в порядку спадання, якщо a > b).

Таким чином, ми розрiзняємо промiжки [a; b] i [b; a]: вони збiгаються за своїм складом (як числовi множини), але вiдрiзняються за напрямленiстю.

Означення визначеного iнтеграла, яке ми дали ранiше, стосується орiєнтованого промiжку [a; b], де a < b. Розглянемо випадок, коли a > b. Нехай

T : a = x0 > x1 > x2 > ¢ ¢ ¢ > x1 > xn = b:

Для кожного i = 1; : : : ; n виберемо точку »i, xi · »i · x1, i розглянемо iнтегральну суму

 

n

 

Xi

¾(T; f) =

f(»ixi;

 

=1

де ¢xi = xi ¡ x1, ¸ = max ¾(T; f) – параметр розбиття T ,

¸!0

Z b

f(x)dx = lim ¾(T; f):

a¸!0

З означення випливають наступнi властивостi:

4

(1) функцiя f, яка iнтегровна на [a; b], є iнтегровною на [b; a], причому

Zb Za

f(x)dx = ¡ f(x)dx;

ab

Za

(2)f(x)dx = 0.

a

1.5.Властивостi iнтеграла, якi виражаються рiвностями.

(1)Нехай f(x) iнтегровна на найбiльшому з промiжкiв [a; b], [a; c] i [c; b]. Тодi f(x) iнтегровна на двох iнших промiжках i

Zb

Zc

Zb

f(x)dx =

f(x)dx +

f(x)dx:

a

a

c

Zb

a

Доведення. Iнтегровнiсть випливає з властивостi (3) пункта 4.7.

Рiвнiсть iнтегралiв доведемо у випадку a < c < b. Нехай

 

 

 

 

 

 

T : a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn = c < xn+1 < ¢ ¢ ¢ < ¢ ¢ ¢ < xm = b;

 

T1 : a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn = c; T2 : c < xn+1 < ¢ ¢ ¢ < ¢ ¢ ¢ < xm = b;

 

 

 

»

[x

1

; x

];

1

·

i

·

m;

 

¸

1

= max ¢x

;

¸

2

=

max

¢x

;

 

 

 

i 2

 

i

 

 

 

 

 

 

1

i n

i

 

 

 

 

 

n+1

i

m

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

· ·

 

 

2g

 

 

 

 

 

 

· ·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¸

=

max ¢x

 

= max ¸

; ¸

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

i m

 

i

 

f 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тодi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

· ·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

f x

dx

lim ¾(T; f) = lim

 

 

 

f(»

x

 

= lim

 

 

f(»

x

 

+

 

f(» x

=

( )

 

= ¸!0

 

 

 

 

¸!0

 

=1

 

k

 

 

 

k

¸!0 Ãk=1

 

 

 

k

 

 

k

k=n+1

 

k

k!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xk

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

c b

 

lim ¾(T

; f) + lim ¾(T

; f) =

f(x)dx + f(x)dx:

=

¸1!0

1

¸2!0

2

Za

Zc

¤

(2) Якщо f iнтегровна на [a; b] i k 6= 0, то kf iнтегровна на [a; b], причому

Zb Zb

kf(x) = k f(x)dx:

aa

Доведення. Легко бачити, що ¾(T; kf) = (T; f). Залишилось спрямувати ¸ до

нуля.

¤

(3) Якщо f; g iнтегровнi на [a; b], то f § g iнтегровнi на [a; b], причому

 

Za b (f(x) § g(x))dx = Za b f(x)dx § Za b g(x)dx:

 

Доведення. Аналогiчно ¾(T; f § g) = ¾(T; f) § ¾(T; g) i ¸ ! 0.

¤

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке ІІ модуль