1.Лекцiя №5. Властивостi визначеного iнтеграла.
²Критерiй iнтегровностi.
²Класи iнтегровних функцiй.
²Властивостi iнтегровних функцiй.
²Iнтеграл по орiєнтованому промiжку.
²Властивостi iнтеграла, якi виражаються рiвностями.
1.1.Критерiй iнтегровностi.
Теорема 1.1. Для iнтегровностi функцiї f на [a; b] необхiдно i досить, щоб
lim(S(T ) ¡ S(T )) = 0:
¸!0
Доведення. Необхiднiсть. Зафiксуємо " > 0. Виберемо ± > 0 таке, що для довiльного розбиття T з ¸(T ) < ± i довiльного вибору точок »1; : : : »n виконується нерiвнiсть jI ¡ ¾(T; f)j < ", тобто I ¡ " < ¾(T; f) < I + ",
I ¡ " < f(»1)¢x1 + f(»2)¢x2 + ¢ ¢ ¢ + f(»n)¢xn < I + ":
Перейшовши послiдовно до inf при »1 2 [x0; x1], »2 2 [x1; x2],..., »n 2 [xn¡1; xn], одержимо, що
I ¡ " · m1¢x1 + m2¢x2 + ¢ ¢ ¢ + mn¢xn < I + ";
тобто
I ¡ " · S(T ) < I + ":
Аналогiчно, I ¡ " < S(T ) < I + ". Тодi
lim S(T ) = I = lim S(T ):
l!0 |
¸!0 |
Отже, lim(S(T ) ¡ S(T )) = I ¡ I = 0.
¸!0
Достатнiсть. Оскiльки згiдно з (4)
0 · I¤ ¡ I¤ · S(T ) ¡ S(T );
то I¤ = I¤. Позначимо I = I¤ = I¤ i знову ж згiдно з (4)
S(T ) · I · S(T ):
Тодi
I ¡ (S(T ) ¡ S(T )) = S(T ) ¡ (S(T ) ¡ I) · S(T ) · S(T ) ·
· S(T ) + (I ¡ S(T )) = I + (S(T ) ¡ S(T )):
Врахувавши (1) маємо
I ¡ (S(T ) ¡ S(T )) · ¾(T; f) · I + (S(T ) ¡ S(T ));
lim(S(T ) ¡ S(T )) = 0;
¸!0
lim ¾(T; f) = I:
¸!0
¤
1
2
1.2. Класи iнтегровних функцiй.
Теорема 1.2. Кожна неперервна функцiя на вiдрiзку [a; b] iнтегровна.
Доведення. Зафiксуємо " > 0. Оскiльки згiдно з теоремою Кантора функцiя f рiвномiрно неперервна на [a; b], то iснує таке ± > 0, що
(8x0; x00 |
2 [a; b])(jx0 ¡ x00j < ± |
) jf(x0) ¡ f(x00)j < |
" |
|
): |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2(b ¡ a) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Нехай T – таке розбиття, що ¸(T ) < ±. Тодi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Mi ¡ mi = sup |
|
f(x) ¡ x |
[xinfi 1;xi] f(x) = |
sup |
(f(x0) ¡ f(x00)) · |
|
" |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2(b |
¡ |
a) |
|||||||||||||||||||
x2[xi¡1;xi] |
2 |
|
¡ |
|
|
|
x0;x002[xi¡1;xi] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
¡ |
|
n |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|||||
i=1 (Mi ¡ mi)¢xi · |
|
2(b a) |
=1 ¢xi = |
2(b a) |
(b ¡ a) = |
2 |
: |
|
|
|
||||||||||||
Отже, f – iнтегровна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¤ |
|
Теорема 1.3. Кожна обмежена на вiдрiзку [a; b] |
функцiя f, яка має скiнченну кiлькiсть |
|||||||||||||||||||||
точок розриву, iнтегровна на [a; b]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема 1.4. Монотонна функцiя f на вiдрiзку [a; b] |
iнтегровна. |
|
|
|
||||||||||||||||||
Доведення. Нехай f зростає на [a; b]. Зафiксуємо " > 0. Покладемо |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
± = |
|
|
" |
> 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
f(b) ¡ f(a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Нехай T – таке розбиття, що ¸(T ) < ±. Зауважимо, що Mi ¡ mi |
= f(xi) ¡ f(xi¡1). Тодi |
|||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(Mi ¡ mi)¢xi |
< ± (Mi ¡ mi) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=±((f(x1) ¡ f(x0)) + (f(x2) ¡ f(x1)) + ¢ ¢ ¢ + (f(xn) ¡ f(xn¡1))) =
=±(f(xn) ¡ f(x0)) · ±(f(b) ¡ f(a)) = ":
¤
1.3.Властивостi iнтегровних функцiй.
(1)якщо f – iнтегровна на [a; b], то jfj i kf – iнтегровнi на [a; b].
Доведення. Нехай
Mi = |
sup |
f(x); |
mi |
= |
inf |
f(x); |
|
|
x2[xi¡1;xi] |
|
|
x2[xi¡1;xi] |
|
||
Mi0 = |
sup |
jf(x)j; |
mi0 = x |
[xinfi 1;xi] jf(x)j; |
|||
x2[xi¡1;xi] |
|
|
2 |
¡ |
|
||
Mi00 = |
sup |
(kf(x)); |
mi00 |
= |
inf |
(kf(x)); |
|
x2[xi¡1;xi] |
|
|
|
x2[xi¡1;xi] |
|||
Маємо |
|
|
|
|
|
|
|
wi00 = Mi00 ¡ mi00 = k(Mi ¡ mi) = kwi; |
|||||||
n |
|
|
n |
|
|
|
|
Xi |
|
|
X |
|
|
|
|
wi00¢xi = k wi¢xi ! 0 при ¸ ! 0: |
|||||||
=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
3
Оскiльки jf(x0)j ¡ jf(x00)j · jf(x0) ¡ f(x00)j, то wi0 · wi, де wi0 = Mi0 ¡ m0i. Тому
n |
n |
n |
Xi |
X |
X |
wi0¢xi · |
wi¢xi ) |
wi0¢xi ! 0 при ¸ ! 0: |
=1 |
i=1 |
i=1 |
Отже, jfj – iнтегровна. |
|
¤ |
(2)нехай f i g – iнтегровнi на [a; b]. Тодi f § g, f ¢ g – iнтегровнi.
Доведення. Iнтегровнiсть суми i рiзницi випливає з нерiвностей
wf+g · wf + wg i wf¡g · wf + wg:
Для доведення iнтегровностi добутку зауважимо, що jf(x)j · K i jg(x)j · K. Тодi f(x00)g(x00) ¡ f(x0)g(x0) = (f(x00) ¡ f(x0))g(x00) + (g(x00) ¡ g(x0))f(x0):
Тому
wf¢g · wf ¢ K + wg ¢ K = (wf + wg) ¢ K ! 0 при ¸ ! 0:
¤
(3) якщо f – iнтегровна на [a; b] i [c; d] µ [a; b], то f – iнтегровна на [c; d].
Доведення. Довiльне розбиття T1 вiдрiзка [c; d] можна доповнити до розбиття T2 вiдрiзка [a; b] з ¸(T1) = ¸(T2). ¤
(4)якщо f – iнтегровна на [a; c] i на [c; b], то f – iнтегровна на [a; b].
Доведення. Нехай jf(x)j · K,
T : a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xk · c · xk+1 < ¢ ¢ ¢ < xn = b;
T1 : a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xk = c; T2 : c · xk+1 < ¢ ¢ ¢ < xn = b; ¸(T1); ¸(T2) · (T );
S(T ) ¡ S(T ) · (S1(T ) ¡ S1(T )) + (S2(T ) ¡ S2(T )) + ¸ ¢ K ! 0 при ¸ ! 0:
¤
1.4. Iнтеграл по орiєнтованому промiжку. Пiд орiєнтованим вiдрiзком [a; b] розумiють множину всiх x, якi задовольняють нерiвнiсть a · x · b або b · x · a, i впорядкованi вiд a до b (тобто, в порядку зростання, якщо a < b, i в порядку спадання, якщо a > b).
Таким чином, ми розрiзняємо промiжки [a; b] i [b; a]: вони збiгаються за своїм складом (як числовi множини), але вiдрiзняються за напрямленiстю.
Означення визначеного iнтеграла, яке ми дали ранiше, стосується орiєнтованого промiжку [a; b], де a < b. Розглянемо випадок, коли a > b. Нехай
T : a = x0 > x1 > x2 > ¢ ¢ ¢ > xn¡1 > xn = b:
Для кожного i = 1; : : : ; n виберемо точку »i, xi · »i · xi¡1, i розглянемо iнтегральну суму
|
n |
|
Xi |
¾(T; f) = |
f(»i)¢xi; |
|
=1 |
де ¢xi = xi ¡ xi¡1, ¸ = max ¾(T; f) – параметр розбиття T ,
¸!0
Z b
f(x)dx = lim ¾(T; f):
a¸!0
З означення випливають наступнi властивостi:
4
(1) функцiя f, яка iнтегровна на [a; b], є iнтегровною на [b; a], причому
Zb Za
f(x)dx = ¡ f(x)dx;
ab
Za
(2)f(x)dx = 0.
a
1.5.Властивостi iнтеграла, якi виражаються рiвностями.
(1)Нехай f(x) iнтегровна на найбiльшому з промiжкiв [a; b], [a; c] i [c; b]. Тодi f(x) iнтегровна на двох iнших промiжках i
Zb |
Zc |
Zb |
f(x)dx = |
f(x)dx + |
f(x)dx: |
a |
a |
c |
Zb
a
Доведення. Iнтегровнiсть випливає з властивостi (3) пункта 4.7.
Рiвнiсть iнтегралiв доведемо у випадку a < c < b. Нехай |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
T : a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn = c < xn+1 < ¢ ¢ ¢ < ¢ ¢ ¢ < xm = b; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
T1 : a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn = c; T2 : c < xn+1 < ¢ ¢ ¢ < ¢ ¢ ¢ < xm = b; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
» |
[x |
i¡1 |
; x |
]; |
1 |
· |
i |
· |
m; |
|
¸ |
1 |
= max ¢x |
; |
¸ |
2 |
= |
max |
¢x |
; |
|
||||||||||
|
|
i 2 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
1 |
i n |
i |
|
|
|
|
|
n+1 |
i |
m |
i |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · |
|
|
2g |
|
|
|
|
|
|
· · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
= |
max ¢x |
|
= max ¸ |
; ¸ |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
i m |
|
i |
|
f 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тодi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
f x |
dx |
lim ¾(T; f) = lim |
|
|
|
f(» |
)¢x |
|
= lim |
|
|
f(» |
)¢x |
|
+ |
|
f(» )¢x |
= |
|||||||||||||||
( ) |
|
= ¸!0 |
|
|
|
|
¸!0 |
|
=1 |
|
k |
|
|
|
k |
¸!0 Ãk=1 |
|
|
|
k |
|
|
k |
k=n+1 |
|
k |
k! |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xk |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
||||
c b
|
lim ¾(T |
; f) + lim ¾(T |
; f) = |
f(x)dx + f(x)dx: |
||
= |
¸1!0 |
1 |
¸2!0 |
2 |
Za |
Zc |
¤
(2) Якщо f iнтегровна на [a; b] i k 6= 0, то kf iнтегровна на [a; b], причому
Zb Zb
kf(x) = k f(x)dx:
aa
Доведення. Легко бачити, що ¾(T; kf) = k¾(T; f). Залишилось спрямувати ¸ до
нуля. |
¤ |
(3) Якщо f; g iнтегровнi на [a; b], то f § g iнтегровнi на [a; b], причому |
|
Za b (f(x) § g(x))dx = Za b f(x)dx § Za b g(x)dx: |
|
Доведення. Аналогiчно ¾(T; f § g) = ¾(T; f) § ¾(T; g) i ¸ ! 0. |
¤ |