РОЗДIЛ III. Невласнi iнтеграли
1.Лекцiя №9. Невласнi iнтеграли.
²Означення невласного iнтегралу першого роду.
²Властивостi невласних iнтегралiв.
²Невласнi iнтеграли вiд додатних функцiй.
²Критерiй Кошi збiжностi невласних iнтегралiв.
²Абсолютна та умовна збiжностi невласних iнтегралiв.
²Ознаки Абеля i Дiрiхле.
²Невласнi iнтеграли II роду.
1.1. Означення |
невласного |
iнтегралу першого роду. Розглянемо |
функцiю |
|
f : [a; +1) ! R, яка iнтегровна на вiдрiзку [a; A] для кожного A 2 [a; +1). |
|
|||
Означення 1.1. |
A |
|
|
|
lim f(x)dx |
|
|
||
i позначається |
Границя A!+1 Ra |
|
називається невласним iнтегралом першого роду |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
Z |
f(x)dx: |
(1) |
|
|
a |
|
|
Якщо ця границя скiнченна, то iнтеграл (1) називається збiжним i дорiвнює значенню цiєї границi, тобто
+1 A
Za |
f |
x |
dx |
|
lim f(x)dx: |
( |
) |
|
= |
A!+1 Za |
Якщо ж границя не iснує або нескiнченна, то iнтеграл (1) називається розбiжним.
Аналогiчно, |
Z |
( ) = |
A!¡1 Z |
|
|||
|
|
||||||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
f x dx |
|
lim |
|
f(x)dx; |
|
¡1 |
|
|
A |
|
||
+1 |
|
|
A |
|
|
0 |
|
Z |
f(x)dx |
|
lim |
|
f(x)dx |
|
lim f(x)dx; |
|
= A!+1 Z |
|
+ B!¡1 Z |
||||
¡1 |
|
|
|
0 |
|
|
B |
причому +R1f(x)dx збiжний, якщо збiжний кожний з iнтегралiв в правiй частинi останньої
рiвностi. |
¡1 |
||
|
|
||
Приклади. |
|||
(1) |
Z1 |
|
x® , ® > 0; |
|
+1 |
dx |
|
(2) |
Z |
|
1 + x2 . |
+1
dx
¡1
1
2
1.2. Властивостi невласного iнтеграла.
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
(1) Нехай функцiя f(x) неперервна на [0; +1), iнтеграл |
Za |
f(x)dx збiжний i F (x) – |
||||||
первiсна для f(x) на [a; +1). Тодi |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
f(x)dx = |
lim f(x)dx = |
lim |
F (x) A = |
lim |
F (A) |
|
F (a); |
|
Za |
A!+1 Za |
A!+1 |
ja |
A!+1 |
|
¡ |
|
|
тобто має мiсце формула Ньютона-Лейбнiца для невласних iнтегралiв:
Z+1
f(x)dx = F (x)j+a 1:
a
R |
A |
[a; + ) |
R |
|
+1 |
|
|
+1 |
|
(2) Iнтеграл |
|
f(x)dx збiжний тодi i тiльки тодi, коли iнтеграл |
|
|
a |
|
2 |
1 . |
A |
довiльного |
|
|
||
Z |
Доведення. Справдi, |
Z |
Z |
Z |
|
Z |
B |
||||
+1 |
|
A |
B |
A |
|
f(x)dx збiжний для
Z+1
f(x)dx = lim |
f(x)dx = |
f(x)dx + |
lim |
f(x)dx = |
f(x)dx + f(x)dx: |
||||||
B!+1 |
a |
|
|
|
|
|
B!+1 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
A |
|
a |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¤ |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) Якщо iнтеграл |
Ra |
f(x)dx збiжний, то |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f(x)dx = 0: |
|
|
||
|
|
|
|
|
A!+1 ZA |
|
|
|
|
|
|
Доведення. |
|
Za |
f(x)dx = |
Za |
f(x)dx + ZA |
f(x)dx: |
|
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
+1 |
|
A |
|
+1 |
|
|
|||
Спрямуємо A ! +1: |
( ) = Za |
|
|
A!+1 ZA |
|
|
|||||
|
Za |
|
|
|
|
|
|||||
|
+1 |
|
|
+1 |
|
|
+1 |
|
|||
|
|
f x dx |
|
f(x)dx + lim |
|
f(x)dx: |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¤ |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
(4) Якщо iнтеграл |
Ra |
f(x)dx збiжний, то iнтеграл |
Ra |
c ¢ f(x)dx збiжний, причому |
|||||||
|
|
|
|
Z |
c ¢ f(x)dx = c |
Z f(x)dx: |
|
||||
|
|
|
|
+1 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Якщо iнтеграли |
+1 |
+1 |
|
+1 |
|
|
|
|
f(x)dx |
g(x)dx |
(f(x) |
|
g(x))dx |
|
||
(5) |
жний, причому |
Ra |
та Ra |
Za |
збiжнi, то iнтеграл Ra |
§ |
|
збi- |
|
|
Za (f(x) § g(x))dx = |
f(x)dx § Za g(x)dx: |
|
|
|
||
|
|
+1 |
|
+1 |
+1 |
|
|
|
1.3. Невласнi iнтеграли вiд додатних функцiй. Нехай f(x) ¸ 0 для всiх x 2 [a; +1). Для кожного A 2 [a; +1) покладемо
|
|
©(A) = Za |
f(x)dx: |
|
|
|
|
A |
|
|
|
Тодi для a · A · B маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
©(B) ¡ ©(A) = ZA |
f(x)dx ¸ 0; |
|
|
|
©(A) зростаюча. Врахувавши, що lim ©(A) = |
+1 |
|||
|
f(x)dx, ми одержимо, |
||||
тобто функцiя |
+1 |
|
|
A!+1 |
Ra |
що збiжнiсть iнтеграла |
f(x)dx зводиться до iснування скiнченної границi монотонної |
||||
функцiї, що рiвносильно Raобмеженостi зверху цiєї функцiї. |
|
||||
Теорема 1.2 (Ознака порiвняння у формi нерiвностей). Нехай 0 · f(x) · g(x) для всiх
x |
|
[A; + |
|
), де A |
|
[0; + ). Тодi iз збiжностi iнтеграла |
+1g(x)dx випливає збiжнiсть |
|||||||||||||||
|
2 |
|
1+1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
+1 |
|
|
|
Ra |
+1 |
|
|
|
|
|
||
iнтеграла |
Ra |
f(x)dx, а з розбiжностi Ra |
f(x)dx випливає розбiжнiсть Ra |
g(x)dx. |
|
|
|
|||||||||||||||
Доведення. |
|
² Для всiх B 2 [A; +1) покладемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (B) = ZA |
f(x)dx; |
G(B) = ZA |
g(x)dx: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Функцiї F i G зростають, причому F (B) · G(B). Згiдно з властивiстю (2) з пун- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
кту 9.2, якщо iнтеграл |
g(x)dx збiжний, то i iнтеграл |
g(x)dx збiжний. Тому |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
G(B) |
|
a |
|
|
|
F (B) |
A |
|
|
[A; + |
|
) |
|
|||
|
|
функцiя |
|
R |
|
|
|
R |
|
|
1 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
обмежена зверху. Тодi функцiя |
|
|
обмежена зверху на |
|
|
||||||||||||
|
|
Оскiльки F зростає, то iснує границя |
|
|
|
+1 |
f(x)dx, тобто iнтеграл |
|||||||||||||||
|
|
lim |
F (B) |
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B + |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
f(x)dx збiжний. Застосувавши властивiсть (2) з пункту 9.2, ми одержимо, що |
||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iнтеграл |
R1f(x)dx збiжний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a
4
|
|
+1 |
|
|
|
+1 |
|
Нехай iнтеграл |
f(x)dx |
|
Припустимо, що iнтеграл |
g(x)dx збiжний. |
|
² |
|
Ra |
розбiжний. |
|
+1 |
Ra |
|
Тодi згiдно з щойно доведеним, iнтеграл |
f(x)dx повинен бути збiжним. Супере- |
||||
|
чнiсть. |
|
|
|
Ra |
|
¤
Теорема 1.3 (Ознака порiвняння у граничнiй формi). Нехай f(x) ¸ 0 i g(x) ¸ 0 для всiх
x |
2 [ |
a; |
+1). Позначимо |
K |
lim f(x) |
. Тодi |
|
|
|
|
|
|
= x!+1 g(x) |
|
|
||||
|
(1) |
якщо K < +1, то |
|
|
|
|
|||
|
|
|
+1 |
|
|
+1 |
|||
|
|
|
Za |
|
g(x)dx ¡ збiжний ) |
Za |
f(x)dx ¡ збiжний; |
||
|
(2) |
якщо K > 0, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
+1 |
|||
|
|
|
Za |
|
f(x)dx ¡ збiжний ) |
Za |
g(x)dx; ¡ збiжний |
||
|
(3) |
якщо 0 < K < +1, то |
|
|
|
||||
|
|
|
+1 |
|
|
|
+1 |
||
|
|
|
Za |
g(x)dx ¡ збiжний , |
Za |
f(x)dx ¡ збiжний; |
|||
Доведення. (1) Нехай K < +1. Тодi iснує таке число A 2 [a; +1), що f(x) < K + 1 g(x)
для всiх x 2 [A; +1), звiдки f(x) · (K + 1)g(x). З властивостi (4) пункту 9.2
+R1
випливає, що iнтеграл (K + 1)g(x)dx збiжний. За ознакою порiвняння у формi
a
+1
|
нерiвностей, iнтеграл |
Ra |
f(x)dx збiжний. |
|
||||||||||||
|
|
g(x) |
|
1 |
< + |
|
||||||||||
(2) |
Нехай |
K > |
0. Тодi |
lim |
|
= |
|
|
1. Згiдно з (1) iз збiжностi iнтеграла |
|||||||
|
|
|
x!+1 f(x) |
K |
|
|||||||||||
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
f(x)dx випливає збiжнiсть iнтеграла |
g(x)dx. |
|||||||||||||
(3) |
a |
|
|
|
|
|
з (2) i (1). |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
ВипливаєR |
|
|
|
|
|
|
R |
¤ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклади: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
+1p |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(1) |
Z1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(2) |
Z |
xp1 + x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx
1
5
1.4. Критерiй Кошi збiжностi невласних iнтегралiв.
Теорема 1.4. Невласний iнтеграл +R1f(x)dx збiжний тодi i тiльки тодi, коли для до-
a
вiльного " > 0 iснує таке A0 2 [a; +1), що для довiльних A0; A00 2 [A0; +1) виконується нерiвнiсть
ZA00
jf(x)dxj < ":
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доведення. Нехай |
|
|
A |
f(x)dx. Згiдно з |
критерiєм Кошi iснує |
скiнченна грани- |
||||||||||||||||
F (A) |
= |
|||||||||||||||||||||
ця |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
збiжний (досить взяти послiдовнiсть (An)n1=1, таку, що |
|||||||||||
|
lim |
F (A), тобто iнтегралR |
||||||||||||||||||||
A |
|
A!+1 |
|
|
A |
|
|
+iy |
|
|
|
|
|
|
|
(F (A |
))1 |
|
|
|
||
|
2 |
[a; + ) |
|
n ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
|
1 |
i |
|
|
. Тодi послiдовнiсть |
|
n |
n=1 фундаментальна, звiдки випливає |
||||||||||||
iснування I = lim F (An). За означенням |
lim F (A) = I). |
|
|
¤ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
A!1 |
|
|
|
|
|
|||
1.5. Абсолютна та умовна збiжнiсть невласного iнтеграла. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Теорема 1.5. |
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
f(x) |
dx |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Ra |
|
|
|
|
|
f(x)dx |
|
|||||||||
жний. |
|
|
Нехай iнтеграл |
j |
j |
|
збiжний. Тодi iнтеграл |
Ra |
|
також збi- |
||||||||||||
Доведення. Нехай |
" > |
0. За |
критерiєм |
Кошi |
iсную число A0 |
2 [a; +1), таке, що |
||||||||||||||||
A00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j AR0 |
f(x)dxj < " для всiх A0; A00 |
2 [A0; +1). Нехай A0 < A0 < A00. Тодi |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j ZA00f(x)dxj · ZA00jf(x)jdx < ": |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, iнтеграл |
Ra |
f(x)dx збiжний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
¤ |
|||||||||||
Зауважимо, що обернене твердження, взагалi кажучи, не вiрне.
Означення 1.6. Iнтеграл +R1f(x)dx називається абсолютно збiжним, якщо збiжний iн-
a
теграл +R1jf(x)jdx.
a |
+1 |
+1 |
Якщо ж iнтеграл |
a |
jf(x)jdx розбiжний, а iнтеграл |
a |
f(x)dx збiжний, то вiн називає- |
||
ться умовно |
збiжним. |
|
R |
|
||
|
|
R |
|
|
||
|
+1 |
|
|
|
|
|
Приклад: Z1 |
cos x |
dx. |
|
|
||
|
|
|
||||
1 + x2 |
|
|
||||
1.6. Ознаки Абеля i Дiрiхле збiжностi невласних iнтегралiв. Розглянемо iнтеграл
Z f(x)g(x)dx: |
(¤) |
+1 |
|
a
6
Теорема 1.7 (Ознака Дiрiхле). Нехай функцiї f i g задовольняють умови
(1)функцiя g(x) монотонна на [a; +1);
(2)lim g(x) = 0;
x!+1
(3) iснує таке число C > 0, що для довiльного A 2 [a; +1) виконується нерiвнiсть
ZA
jf(x)dxj < C:
a
Тодi iнтеграл (¤) збiжний.
Теорема 1.8 (Ознака Абеля). Нехай функцiї f i g задовольняють умови
(1)функцiя g(x) монотонна на [a; +1);
(2)функцiя g(x) обмежена на [a; +1) числом C;
(3)iнтеграл +R1f(x)dx збiжний.
a
Тодi iнтеграл (¤) збiжний.
Доведення. Проведемо у випадку, коли функцiя f неперервна на [a; +1) i g – неперервно диференцiйовна на [a; +1). Вважатимемо, для певностi, що g зростає, тобто g0(x) ¸ 0.
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Позначимо F (A) = |
f(x)dx. Оскiльки f неперервна, то F 0(x) = |
f(x) для всiх x |
2 |
||||||||||||||||||||||
[a; + ) |
. Нехай |
A0; A00 |
Ra[a; + ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
1 . Тодi |
|
|
|
|
|
|
|
AA000 |
|
|
F (x)g0 |
(x)dx¯ |
|
||||||||||
|
¯ |
|
f(x)g(x)dx¯ = |
¯ |
|
|
|
g(x)d(F (x))¯ = ¯g(x)F (x) |
|
|
|
||||||||||||||
|
¯Z |
|
|
¯ |
¯Z |
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
j |
|
¡ Z |
|
|
¯ · |
|
|||||
|
|
A00 |
|
|
¯ |
|
A00 |
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
A00 |
|
|
¯ |
|
|||
|
¯A0 |
|
|
¯A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|||||||||
|
¯ |
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
¯ |
¯ |
|
|
|
¯ |
¯ |
A¯00 |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
· |
¯ |
g(x)F (x)jAA000 |
¯ |
+ Z |
jF (x)jg0(x)dx: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
² Ознака Дiрiхле. За умовою (3) jF (x)j < C. Виберемо число A0 так, щоб |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jg(x)j < |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
для всiх x 2 [A0; +1). Тодi для всiх A0; A00 2 [A0; +1) (A0 < A00) маємо |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
¯ |
A00f(x)g(x)dx¯ |
|
|
|
g(A00)F (A00) |
|
|
g(A0)F (A0) |
+ |
A00 |
|
F (x) |
g0(x)dx |
|
|
||||||||
|
|
¯Z |
|
¯ |
· j |
|
|
|
¡ |
|
|
|
j |
|
Z |
j |
j |
|
|
· |
|
||||
|
|
¯A0 |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· jg(A00)j ¢ C + jg(A0)j ¢ C + C Z |
g0(x)dx = |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= jg(A00)j ¢ C + jg(A0)j ¢ C + Cjg(A00) ¡ g(A0)j · 2Cjg(A00)j + 2Cjg(A0)j <
< 2C(4"C + 4"C ) = ":
За критерiєм Кошi, iнтеграл (¤) збiжний.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
² Ознака Абеля. Оскiльки A |
|
|
|
|
+1 |
f(x)dx |
, то неперервна функцiя |
F |
обме- |
|||||||||||||||||
lim F (A) = |
|
|||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
[a; + |
) |
|
|
! 1 |
|
K |
a |
|
x |
|
|
[a; + ) |
|
|
|
|
|||||||||
жена на |
|
F (x) |
|
R |
|
2 |
. З iснування границь |
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 . Нехай j |
|
j · |
|
|
для всiх |
|
|
) |
1 |
||||||||||||||
lim g(x) |
i x |
lim F (x) |
випливає, що iснує |
A |
0 2 |
[a; + |
1 |
, таке, що |
|
|
||||||||||||||||
x + |
|
! |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
! 1 |
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
jF (A00) ¡ F (A0)j < |
|
|
i jg(A00) ¡ g(A0)j < |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3C |
3K |
|
|
|||||||||||||||||||
для всiх A0; A00 2 [A0; +1). Тодi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
j ZA00f(x)g(x)dxj · jg(A00)F (A00) ¡ g(A0)F (A0)j + j ZA00F (x)dg(x)j: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|||
Зауважимо, що
jg(A00)F (A00) ¡ g(A0)F (A0)j · jg(A00)(F (A00) ¡ F (A0))j + jF (A0)jjg(A00) ¡ g(A0)j ·
· C ¢ 3"C + K ¢ 3"K = 23":
Крiм того,
ZA00
j F (x)dg(x)j · Kjg(A00) ¡ g(A0)j < K ¢ 3"K = 3":
A0
Отже,
ZA00
jf(x)g(x)dxj < 23" + 3" = ":
A0
За критерiєм Кошi, iнтеграл (¤) збiжний.
¤
1.7. Невласний iнтеграл II роду. Нехай функцiя f iнтегровна на кожному вiдрiзку [a; c] для всiх c 2 [a; b], але не є обмеженою в околi точки b.
c
Означення 1.9. Границя |
lim f(x)dx називається невласним iнтегралом II роду вiд |
|
|
c!b¡0 Ra |
b |
функцiї f на вiдрiзку [a; b] |
i позначається f(x)dx. Якщо ця границя скiнченна, то iн- |
|
R
a
теграл називається збiжним, якщо ж ця границя не iснує або нескiнченна, то iнтеграл називається розбiжним. Число b називається особливою точкою.
Аналогiчно вводяться поняття невласного iнтеграла Rb f(x)dx з особливою точкою a чи
a
здвома особливими точками.
Приклади.
|
1 |
|
|
|
|
(1) |
Z0 |
|
dx |
; |
|
|
|
|
|||
|
x® |
||||
|
Z |
b |
|
dx |
|
|
|
|
|||
(2) |
|
|
. |
||
|
(x ¡ a)® |
||||
a