Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
4
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
236.59 Кб
Скачать

РОЗДIЛ III. Невласнi iнтеграли

1.Лекцiя №9. Невласнi iнтеграли.

²Означення невласного iнтегралу першого роду.

²Властивостi невласних iнтегралiв.

²Невласнi iнтеграли вiд додатних функцiй.

²Критерiй Кошi збiжностi невласних iнтегралiв.

²Абсолютна та умовна збiжностi невласних iнтегралiв.

²Ознаки Абеля i Дiрiхле.

²Невласнi iнтеграли II роду.

1.1. Означення

невласного

iнтегралу першого роду. Розглянемо

функцiю

f : [a; +1) ! R, яка iнтегровна на вiдрiзку [a; A] для кожного A 2 [a; +1).

 

Означення 1.1.

A

 

 

 

lim f(x)dx

 

 

i позначається

Границя A!+1 Ra

 

називається невласним iнтегралом першого роду

 

 

+1

 

 

 

Z

f(x)dx:

(1)

 

 

a

 

 

Якщо ця границя скiнченна, то iнтеграл (1) називається збiжним i дорiвнює значенню цiєї границi, тобто

+1 A

Za

f

x

dx

 

lim f(x)dx:

(

)

 

=

A!+1 Za

Якщо ж границя не iснує або нескiнченна, то iнтеграл (1) називається розбiжним.

Аналогiчно,

Z

( ) =

A!¡1 Z

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

f x dx

 

lim

 

f(x)dx;

 

¡1

 

 

A

 

+1

 

 

A

 

 

0

Z

f(x)dx

 

lim

 

f(x)dx

 

lim f(x)dx;

 

= A!+1 Z

 

+ B!¡1 Z

¡1

 

 

 

0

 

 

B

причому +R1f(x)dx збiжний, якщо збiжний кожний з iнтегралiв в правiй частинi останньої

рiвностi.

¡1

 

 

Приклади.

(1)

Z1

 

x® , ® > 0;

 

+1

dx

(2)

Z

 

1 + x2 .

+1

dx

¡1

1

2

1.2. Властивостi невласного iнтеграла.

 

 

 

 

 

+1

 

 

(1) Нехай функцiя f(x) неперервна на [0; +1), iнтеграл

Za

f(x)dx збiжний i F (x) –

первiсна для f(x) на [a; +1). Тодi

 

 

 

 

 

 

 

+1

A

 

 

 

 

 

 

 

f(x)dx =

lim f(x)dx =

lim

F (x) A =

lim

F (A)

 

F (a);

Za

A!+1 Za

A!+1

ja

A!+1

 

¡

 

тобто має мiсце формула Ньютона-Лейбнiца для невласних iнтегралiв:

Z+1

f(x)dx = F (x)j+a 1:

a

R

A

[a; + )

R

+1

 

 

+1

(2) Iнтеграл

 

f(x)dx збiжний тодi i тiльки тодi, коли iнтеграл

 

a

 

2

1 .

A

довiльного

 

 

Z

Доведення. Справдi,

Z

Z

Z

Z

B

+1

 

A

B

A

f(x)dx збiжний для

Z+1

f(x)dx = lim

f(x)dx =

f(x)dx +

lim

f(x)dx =

f(x)dx + f(x)dx:

B!+1

a

 

 

 

 

 

B!+1

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

A

 

a

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¤

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3) Якщо iнтеграл

Ra

f(x)dx збiжний, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

f(x)dx = 0:

 

 

 

 

 

 

 

A!+1 ZA

 

 

 

 

 

Доведення.

 

Za

f(x)dx =

Za

f(x)dx + ZA

f(x)dx:

 

 

 

 

 

 

+1

 

A

 

+1

 

 

Спрямуємо A ! +1:

( ) = Za

 

 

A!+1 ZA

 

 

 

Za

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

+1

 

 

+1

 

 

 

f x dx

 

f(x)dx + lim

 

f(x)dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¤

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

(4) Якщо iнтеграл

Ra

f(x)dx збiжний, то iнтеграл

Ra

c ¢ f(x)dx збiжний, причому

 

 

 

 

Z

c ¢ f(x)dx = c

Z f(x)dx:

 

 

 

 

 

+1

 

 

+1

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Якщо iнтеграли

+1

+1

 

+1

 

 

 

 

f(x)dx

g(x)dx

(f(x)

 

g(x))dx

 

(5)

жний, причому

Ra

та Ra

Za

збiжнi, то iнтеграл Ra

§

 

збi-

 

 

Za (f(x) § g(x))dx =

f(x)dx § Za g(x)dx:

 

 

 

 

 

+1

 

+1

+1

 

 

 

1.3. Невласнi iнтеграли вiд додатних функцiй. Нехай f(x) ¸ 0 для всiх x 2 [a; +1). Для кожного A 2 [a; +1) покладемо

 

 

©(A) = Za

f(x)dx:

 

 

 

A

 

 

 

Тодi для a · A · B маємо

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

©(B) ¡ ©(A) = ZA

f(x)dx ¸ 0;

 

 

©(A) зростаюча. Врахувавши, що lim ©(A) =

+1

 

f(x)dx, ми одержимо,

тобто функцiя

+1

 

 

A!+1

Ra

що збiжнiсть iнтеграла

f(x)dx зводиться до iснування скiнченної границi монотонної

функцiї, що рiвносильно Raобмеженостi зверху цiєї функцiї.

 

Теорема 1.2 (Ознака порiвняння у формi нерiвностей). Нехай 0 · f(x) · g(x) для всiх

x

 

[A; +

 

), де A

 

[0; + ). Тодi iз збiжностi iнтеграла

+1g(x)dx випливає збiжнiсть

 

2

 

1+1

 

 

2

 

1

 

+1

 

 

 

Ra

+1

 

 

 

 

 

iнтеграла

Ra

f(x)dx, а з розбiжностi Ra

f(x)dx випливає розбiжнiсть Ra

g(x)dx.

 

 

 

Доведення.

 

² Для всiх B 2 [A; +1) покладемо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (B) = ZA

f(x)dx;

G(B) = ZA

g(x)dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

Функцiї F i G зростають, причому F (B) · G(B). Згiдно з властивiстю (2) з пун-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

кту 9.2, якщо iнтеграл

g(x)dx збiжний, то i iнтеграл

g(x)dx збiжний. Тому

 

 

 

 

 

 

G(B)

 

a

 

 

 

F (B)

A

 

 

[A; +

 

)

 

 

 

функцiя

 

R

 

 

 

R

 

 

1

.

 

 

 

 

 

обмежена зверху. Тодi функцiя

 

 

обмежена зверху на

 

 

 

 

Оскiльки F зростає, то iснує границя

 

 

 

+1

f(x)dx, тобто iнтеграл

 

 

lim

F (B)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B +

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)dx збiжний. Застосувавши властивiсть (2) з пункту 9.2, ми одержимо, що

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iнтеграл

R1f(x)dx збiжний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

4

 

 

+1

 

 

 

+1

 

Нехай iнтеграл

f(x)dx

 

Припустимо, що iнтеграл

g(x)dx збiжний.

²

 

Ra

розбiжний.

 

+1

Ra

 

Тодi згiдно з щойно доведеним, iнтеграл

f(x)dx повинен бути збiжним. Супере-

 

чнiсть.

 

 

 

Ra

 

¤

Теорема 1.3 (Ознака порiвняння у граничнiй формi). Нехай f(x) ¸ 0 i g(x) ¸ 0 для всiх

x

2 [

a;

+1). Позначимо

K

lim f(x)

. Тодi

 

 

 

 

 

= x!+1 g(x)

 

 

 

(1)

якщо K < +1, то

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

+1

 

 

 

Za

 

g(x)dx ¡ збiжний )

Za

f(x)dx ¡ збiжний;

 

(2)

якщо K > 0, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

+1

 

 

 

Za

 

f(x)dx ¡ збiжний )

Za

g(x)dx; ¡ збiжний

 

(3)

якщо 0 < K < +1, то

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

+1

 

 

 

Za

g(x)dx ¡ збiжний ,

Za

f(x)dx ¡ збiжний;

Доведення. (1) Нехай K < +1. Тодi iснує таке число A 2 [a; +1), що f(x) < K + 1 g(x)

для всiх x 2 [A; +1), звiдки f(x) · (K + 1)g(x). З властивостi (4) пункту 9.2

+R1

випливає, що iнтеграл (K + 1)g(x)dx збiжний. За ознакою порiвняння у формi

a

+1

 

нерiвностей, iнтеграл

Ra

f(x)dx збiжний.

 

 

 

g(x)

 

1

< +

 

(2)

Нехай

K >

0. Тодi

lim

 

=

 

 

1. Згiдно з (1) iз збiжностi iнтеграла

 

 

 

x!+1 f(x)

K

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

f(x)dx випливає збiжнiсть iнтеграла

g(x)dx.

(3)

a

 

 

 

 

 

з (2) i (1).

 

 

 

 

 

 

a

 

ВипливаєR

 

 

 

 

 

 

R

¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклади:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1p

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

Z1

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

Z

xp1 + x2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

1

5

1.4. Критерiй Кошi збiжностi невласних iнтегралiв.

Теорема 1.4. Невласний iнтеграл +R1f(x)dx збiжний тодi i тiльки тодi, коли для до-

a

вiльного " > 0 iснує таке A0 2 [a; +1), що для довiльних A0; A00 2 [A0; +1) виконується нерiвнiсть

ZA00

jf(x)dxj < ":

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A0

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення. Нехай

 

 

A

f(x)dx. Згiдно з

критерiєм Кошi iснує

скiнченна грани-

F (A)

=

ця

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

збiжний (досить взяти послiдовнiсть (An)n1=1, таку, що

 

lim

F (A), тобто iнтегралR

A

 

A!+1

 

 

A

 

 

+iy

 

 

 

 

 

 

 

(F (A

))1

 

 

 

 

2

[a; + )

 

n !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

1

i

 

 

. Тодi послiдовнiсть

 

n

n=1 фундаментальна, звiдки випливає

iснування I = lim F (An). За означенням

lim F (A) = I).

 

 

¤

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

A!1

 

 

 

 

 

1.5. Абсолютна та умовна збiжнiсть невласного iнтеграла.

 

 

 

Теорема 1.5.

 

 

 

 

 

 

+1

 

f(x)

dx

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

Ra

 

 

 

 

 

f(x)dx

 

жний.

 

 

Нехай iнтеграл

j

j

 

збiжний. Тодi iнтеграл

Ra

 

також збi-

Доведення. Нехай

" >

0. За

критерiєм

Кошi

iсную число A0

2 [a; +1), таке, що

A00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j AR0

f(x)dxj < " для всiх A0; A00

2 [A0; +1). Нехай A0 < A0 < A00. Тодi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j ZA00f(x)dxj · ZA00jf(x)jdx < ":

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A0

 

 

 

 

A0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, iнтеграл

Ra

f(x)dx збiжний.

 

 

 

 

 

 

 

 

¤

Зауважимо, що обернене твердження, взагалi кажучи, не вiрне.

Означення 1.6. Iнтеграл +R1f(x)dx називається абсолютно збiжним, якщо збiжний iн-

a

теграл +R1jf(x)jdx.

a

+1

+1

Якщо ж iнтеграл

a

jf(x)jdx розбiжний, а iнтеграл

a

f(x)dx збiжний, то вiн називає-

ться умовно

збiжним.

 

R

 

 

 

R

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

Приклад: Z1

cos x

dx.

 

 

 

 

 

1 + x2

 

 

1.6. Ознаки Абеля i Дiрiхле збiжностi невласних iнтегралiв. Розглянемо iнтеграл

Z f(x)g(x)dx:

(¤)

+1

 

a

6

Теорема 1.7 (Ознака Дiрiхле). Нехай функцiї f i g задовольняють умови

(1)функцiя g(x) монотонна на [a; +1);

(2)lim g(x) = 0;

x!+1

(3) iснує таке число C > 0, що для довiльного A 2 [a; +1) виконується нерiвнiсть

ZA

jf(x)dxj < C:

a

Тодi iнтеграл (¤) збiжний.

Теорема 1.8 (Ознака Абеля). Нехай функцiї f i g задовольняють умови

(1)функцiя g(x) монотонна на [a; +1);

(2)функцiя g(x) обмежена на [a; +1) числом C;

(3)iнтеграл +R1f(x)dx збiжний.

a

Тодi iнтеграл (¤) збiжний.

Доведення. Проведемо у випадку, коли функцiя f неперервна на [a; +1) i g – неперервно диференцiйовна на [a; +1). Вважатимемо, для певностi, що g зростає, тобто g0(x) ¸ 0.

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Позначимо F (A) =

f(x)dx. Оскiльки f неперервна, то F 0(x) =

f(x) для всiх x

2

[a; + )

. Нехай

A0; A00

Ra[a; + )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1 . Тодi

 

 

 

 

 

 

 

AA000

 

 

F (x)g0

(x)dx¯

 

 

¯

 

f(x)g(x)dx¯ =

¯

 

 

 

g(x)d(F (x))¯ = ¯g(x)F (x)

 

 

 

 

¯Z

 

 

¯

¯Z

 

 

 

 

 

¯

¯

 

j

 

¡ Z

 

 

¯ ·

 

 

 

A00

 

 

¯

 

A00

 

 

 

¯

¯

 

 

 

 

 

A00

 

 

¯

 

 

¯A0

 

 

¯A0

 

 

 

 

 

 

 

 

A0

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

¯

 

 

 

 

 

 

¯

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

¯

¯

 

 

 

 

 

 

¯

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

¯

¯

¯

 

 

 

¯

¯

A¯00

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

¯

g(x)F (x)jAA000

¯

+ Z

jF (x)jg0(x)dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

² Ознака Дiрiхле. За умовою (3) jF (x)j < C. Виберемо число A0 так, щоб

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jg(x)j <

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для всiх x 2 [A0; +1). Тодi для всiх A0; A00 2 [A0; +1) (A0 < A00) маємо

 

 

 

¯

A00f(x)g(x)dx¯

 

 

 

g(A00)F (A00)

 

 

g(A0)F (A0)

+

A00

 

F (x)

g0(x)dx

 

 

 

 

¯Z

 

¯

· j

 

 

 

¡

 

 

 

j

 

Z

j

j

 

 

·

 

 

 

¯A0

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A0

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

· jg(A00)j ¢ C + jg(A0)j ¢ C + C Z

g0(x)dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= jg(A00)j ¢ C + jg(A0)j ¢ C + Cjg(A00) ¡ g(A0)j · 2Cjg(A00)j + 2Cjg(A0)j <

< 2C(4"C + 4"C ) = ":

За критерiєм Кошi, iнтеграл (¤) збiжний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

² Ознака Абеля. Оскiльки A

 

 

 

 

+1

f(x)dx

, то неперервна функцiя

F

обме-

lim F (A) =

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[a; +

)

 

 

! 1

 

K

a

 

x

 

 

[a; + )

 

 

 

 

жена на

 

F (x)

 

R

 

2

. З iснування границь

 

 

 

1 . Нехай j

 

j ·

 

 

для всiх

 

 

)

1

lim g(x)

i x

lim F (x)

випливає, що iснує

A

0 2

[a; +

1

, таке, що

 

 

x +

 

!

+

1

 

 

 

 

 

 

 

! 1

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jF (A00) ¡ F (A0)j <

 

 

i jg(A00) ¡ g(A0)j <

 

 

 

 

 

 

 

 

3C

3K

 

 

для всiх A0; A00 2 [A0; +1). Тодi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j ZA00f(x)g(x)dxj · jg(A00)F (A00) ¡ g(A0)F (A0)j + j ZA00F (x)dg(x)j:

 

 

A0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A0

 

 

 

 

Зауважимо, що

jg(A00)F (A00) ¡ g(A0)F (A0)j · jg(A00)(F (A00) ¡ F (A0))j + jF (A0)jjg(A00) ¡ g(A0)j ·

· C ¢ 3"C + K ¢ 3"K = 23":

Крiм того,

ZA00

j F (x)dg(x)j · Kjg(A00) ¡ g(A0)j < K ¢ 3"K = 3":

A0

Отже,

ZA00

jf(x)g(x)dxj < 23" + 3" = ":

A0

За критерiєм Кошi, iнтеграл (¤) збiжний.

¤

1.7. Невласний iнтеграл II роду. Нехай функцiя f iнтегровна на кожному вiдрiзку [a; c] для всiх c 2 [a; b], але не є обмеженою в околi точки b.

c

Означення 1.9. Границя

lim f(x)dx називається невласним iнтегралом II роду вiд

 

c!b¡0 Ra

b

функцiї f на вiдрiзку [a; b]

i позначається f(x)dx. Якщо ця границя скiнченна, то iн-

R

a

теграл називається збiжним, якщо ж ця границя не iснує або нескiнченна, то iнтеграл називається розбiжним. Число b називається особливою точкою.

Аналогiчно вводяться поняття невласного iнтеграла Rb f(x)dx з особливою точкою a чи

a

здвома особливими точками.

Приклади.

 

1

 

 

 

(1)

Z0

 

dx

;

 

 

 

 

 

x®

 

Z

b

 

dx

 

 

 

(2)

 

 

.

 

(x ¡ a)®

a

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке ІІ модуль