1. Лекцiя №7. Застосування визначеного iнтеграла до обчислення довжини кривої.
²Спрямна дуга, довжина дуги.
²Обчислення довжини дуги.
²Довжина дуги, заданої явною формулою чи в полярних координатах.
²Довжина просторової дуги.
|
^ |
1.1. Спрямна дуга, довжина дуги. Нехай задано незамкнену криву AB, яка задається |
|
параметрично |
|
|
x = Ã(t); |
|
½ y = '(t); t 2 [®; ¯]; |
де ' i à – неперервнi функцiї, причому рiзним значенням t вiдповiдають рiзнi значення параметра.
Розглянемо розбиття
T : ® = t0 < t1 < ¢ ¢ ¢ < tn¡1 < tn = ¯:
Позначимо
Mi = ('(ti); Ã(ti)); i = 0; 1; : : : ; n:
Послiдовно з’єднаємо точки A = M0, M1,...,Mn = B, одержимо ламану i позначимо через P (T ) її периметр, а через ¸ – найбiльшу з довжин вiдрiзкiв Mi¡1Mi.
^
Означення 1.1. Крива AB називається спрямною, якщо iснує скiнченна границя
s = lim P (T );
¸!0
^
причому ця границя називається довжиною кривої AB.
Зауваження 1.2. Нехай ¸0 = max ¢ti = max (ti ¡ ti¡1). З допомогою леми Больцано-
1·i·n 1·i·n
Вейєрштрасса i теореми Кантора можна показати, що
¸ ! 0 , ¸0 ! 0:
Тому в означеннi 1 можна розглядати границю при |
¸0 ! 0, тобто |
|||
(8" > 0)(9± > 0)(8T )(¸0 < ± |
) |
jP (T ) ¡ sj < "): |
||
|
|
|
|
|
Властивостi спрямних кривих: |
|
|
|
|
^ |
^ |
^ |
|
^ |
(1) Якщо крива AB спрямна i C 2AB, то AC i AB спрямнi, причому
^^ ^
s(AB) = s(AC) + s(CB):
1
2
^ ^ |
^ |
(2) Якщо кривi AB i BC спрямнi, то крива AC спрямна, причому
^^ ^
s(AB) + s(BC) = s(AC):
Розглянемо тепер випадок замкненої кривої `. Вiзьмемо довiльнi точки A та B на цiй
^ ^ ^ ^
кривiй. Отримаємо двi кривi AB та BA. Якщо кривi AB та BA спрямнi, то крива ` спрямна, причому
^^
s(`) = s(AB) + s(BA):
Використовуючи адитивнiсть довжини дуги легко переконатися, що спрямнiсть ` не залежить вiд вибору точок A та B.
1.2. Обчислення довжини дуги, заданої параметрично. Нехай крива `, яка не є замкненою, задається параметрично
|
x = '(t); |
|
|
|
|
½ y = Ã(t); t 2 [®; ¯]; |
|
|
|
де ' i à – неперервно диференцiйовнi функцiї. Нехай |
|
|
|
|
T : ® = t0 < t1 < ¢ ¢ ¢ < tn = ¯; xi = '(ti); yi = Ã(ti); Mi = (xi; yi); |
||||
|
= q |
|
: |
|
|
|
¢xi2 + ¢yi2 |
||
jMi¡1Mij = (xi ¡ xi¡1)2 + (yi ¡ yi¡1)2 |
||||
Згiдно з теоремою Лаґранжа,p |
|
|
|
|
¢xi = '(ti) ¡ '(ti¡1) = '0(¿i)(ti ¡ ti¡1) = '0(ci)¢ti;
де ci 2 [ti¡1; ti].
Аналогiчно знайдуться точки d0i 2 [ti¡1; ti] такi, що ¢yi = Ã0(di)¢ti. Тодi
n |
n |
||
Xi |
Xp |
|
|
P (T ) = jMi¡1Mij = |
|
('0(ci))2 + (Ã0(di))2¢ti = |
|
=1 |
i=1 |
||
Xn p
=('0(ci))2 + (Ã0(ci))2¢ti+
|
+ i=1 ³ |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
¡ ('0(ci))2 + (Ã0(ci))2´¢ti = ¾1 + ¾2: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
('0(ci))2 + (Ã0(di))2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Оскiльки ¾1 – iнтегральна сума функцiї |
|
|
|
|
|
|
|
|
, яка неперервна, а значить, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
(' |
(t))2 + (Ã |
(t))2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
iнтегровна на вiдрiзку [®; ¯]. Тому |
¯ |
|
p |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 + (Ã |
(t))2dt: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim ¾ |
|
= |
( |
' |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¸0!0 |
|
1 |
|
Z |
|
|
( )) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Розглянемо ¾2. Оскiльки для a; b; b1 ¸ 0 виконується нерiвнiсть |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jb2 ¡ b12j |
|
|
|
jb ¡ b1j(b + b1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ b12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a2 |
+ b2 |
|
a2 |
j |
= |
|
|
|
|
· |
= |
b |
¡ |
b1 |
j |
; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
pa2 + b2 + a2 + b12 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
j |
|
¡ q |
|
|
|
|
|
|
(b + b1) |
j |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
то |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
j¾2j · |
Xi |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
j ('0(ci))2 + (Ã0(ci))2 ¡ ('0(ci))2 + (Ã0(di))2j¢ti · |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
· Xn jÃ0(ci) ¡ Ã0(di)j¢ti:
i=1
Функцiя Ã0(t) неперервна, а значить, рiвномiрно неперервна на [®; ¯], тому для довiльного |
|||||||||||||||||||||||||||||||
" > 0 iснує таке ± > 0, що jÃ0(t0) ¡ Ã0(t00)j < |
|
|
|
" |
|
при jt0 |
¡ t00j < ±. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
¯ |
¡ |
® |
|
|
|
Ã0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Нехай |
¸0 |
|
|
|
. Тодi оскiльки |
|
|
i 2 |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
ij · |
|
|
· |
¸0 |
|
. Тому j |
|
|
¡ |
|||||
< ± |
c |
; d |
[t |
; t ] |
|
|
c |
d |
¢t |
i |
< ± |
(c |
) |
||||||||||||||||||
|
|
" |
|
|
i |
|
i¡1 |
|
|
i |
, то j i |
|
|
|
|
|
i |
|
|||||||||||||
Ã0(di)j < |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
¯ |
¡ |
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
j¾2j · |
" |
|
¢ti = |
|
" |
(¯ ¡ ®) = ": |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
¯ ® |
|
¯ |
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, lim ¾2 = 0. Таким чином, lim P (T ) = lim ¾1. Тому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
¸0!0 |
|
|
|
|
|
¸0!0 |
|
|
|
|
|
¸0!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Z¯ p
s = ('0(t))2 + (Ã0(t))2dt:
®
1.3.Довжина дуги, заданої явною формулою чи в полярних координатах.
²Нехай крива задається явно, тобто y = f(x), де x 2 [a; b] i f неперервно диференцiйовна. Параметризуємо криву наступним чином
½ x = t;
y = f(t); t 2 [a; b]:
Тодi
Zb p
s = 1 + (f0(x))2dx:
a
²Нехай крива ` задається в полярних координатах r = r('), де ' 2 [®; ¯] i r – неперервно диференцiйовна функцiя. Параметризуємо криву `, використовуючи вiдомий зв’язок мiж системами координат:
½x = r cos '; y = r sin ':
Отже, |
|
|
|
|
|
x = r(') cos '; |
|||
Тодi |
½ y = r(') sin ': |
|||
x0(') = r0(') cos ' ¡ r(') sin '; |
||||
|
||||
|
y0(') = r0(') sin ' + r(') cos '; |
|||
|
(x0('))2 + (y0('))2 = (r0('))2 + (r('))2: |
|||
Маємо |
|
|
|
|
|
s = Z¯ p |
|
d': |
|
|
(r('))2 + (r0('))2 |
|||
®
4
^
1.4. Довжина просторової дуги. Нехай в просторi задана просторова крива AB:
|
|
|
|
|
|
|
x = Ã(t); |
|
|
|
|
|
|
|
8 y = '(t); |
|
' |
|
à |
|
 |
|
< z = Â(t); t 2 [®; ¯]; |
де |
|
, |
|
i |
|
– неперервно |
: |
Аналогiчно вводиться поняття спрямної кривої i доводиться наступна формула для об-
^
числення її довжини s(AB):
Z¯ p
s = ('0(t))2 + (Ã0(t))2 + (Â0(t))2dt:
®