1.Лекцiя №6. Теореми про середнє. Iнтеграл зi змiнною верхньою межею.
²Властивостi iнтеграла, якi виражаються нерiвностями.
²Теореми про середнє.
²Iнтеграл зi змiнною верхньою межею.
²Формула Ньютона-Лейбнiца.
²Iнтегрування частинами у визначеному iнтегралi.
²Замiна змiнних у визначеному iнтегралi.
1.1.Властивостi iнтеграла, якi виражаються нерiвностями.
(1) Нехай f iнтегровна на [a; b], a < b, f(x) ¸ 0 для всiх x 2 [a; b]. Тодi
Zb
f(x)dx ¸ 0:
a
Доведення. Легко бачити, що ¾(T; f) ¸ 0 (оскiльки f(»i) ¸ 0, ¢xi ¸ 0). Залишилось
спрямувати ¸ до нуля. |
¤ |
(2) Нехай f iнтегровна на [a; b], a < b, f(x) > 0 для всiх x 2 [a; b]. Тодi |
|
Zb |
|
f(x)dx > 0: |
|
a |
|
Доведення. Припустимо, що Rb f(x)dx · 0. Тодi, згiдно з попередньою властивiстю,
a
Rb f(x)dx = 0. Крiм того, врахувавши властивiсть (1) з пункту 5.2, ми одержимо,
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вiдрiзка [c; d] |
|
[a; b]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f(x)dx = 0 |
|
|
|
|
|
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
що Rc |
|
|
|
|
для довiльного |
" > 0 |
|
|
|
I |
µ |
[a; b] |
, такий, що |
f(x) |
· |
" |
|||||||||||||
Покажемо, що для довiльного |
|
iснує вiдрiзок |
|
|
|
"(b |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
I |
|
|
|
|
lim S(T ) = 0 |
|
|
|
|
|
T |
|
|
S(T ) |
|
|
|
|
a) |
|
||||||
для всiх |
|
2 |
|
. Оскiльки |
¸!0 |
|
|
, то iснує розбиття |
|
, таке, що |
|
|
· |
|
¡ |
|
|
. |
|||||||||||
Припустимо, що Mk > " при k = 1; 2; : : : ; n. Тодi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xk |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(T ) = |
|
Mk¢xk > " |
¢xk = "(b ¡ a): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Виберемо вiдрiзок I1 = [a1; b1] µ [a; b] так, щоб sup f(x) · 1. Тепер виберемо I2 µ
I |
|
|
sup f(x) |
|
1 |
|
|
x2I1 |
(I |
)1 |
|
|
так, щоб |
· |
. I так далi. Отримаємо послiдовнiсть |
вкладених |
|||||||
|
1 |
x2I2 |
2 |
|
n n=1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
вiдрiзкiв. Для точки x 2 |
1 |
|
|
|
|||||||
=1 In маємо f(x) · n для всiх n 2 N. Отже, f(x) · 0. |
|||||||||||
Суперечнiсть. |
|
|
|
nT |
|
|
|
¤ |
|||
(3) Якщо f iнтегровна на [a; b], то функцiя jfj iнтегровна на [a; b], причому
Zb Zb
j f(x)dxj · jf(x)dxj:
aa
1
2
Доведення. Iнтегровнiсть функцiї jfj випливає з доведеного ранiше. Крiм того,
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Xk |
|
X |
|
|
|
j¾(T; f)j = j f(»k)¢xkj · |
|
jf(»k)j¢xk = ¾(T; jfj): |
|||||||
|
|
|
|
=1 |
|
k=1 |
|
|
|
Залишилось спрямувати ¸ до нуля. |
|
|
|
|
¤ |
||||
(4) Нехай f iнтегровна на [a; b], m · f(x) · M для всiх x 2 [a; b]. Тодi |
|||||||||
|
|
|
m(b ¡ a) · Za b f(x)dx · M(b ¡ a): |
|
|||||
Доведення. Зауважимо, що ¾(T; f) = |
|
n |
f(»k)¢xk ¸ |
n |
m¢xk = m(b ¡ a). Анало- |
||||
|
=1 |
k=1 |
|||||||
гiчно ¾(T; f) |
· |
M(b |
¡ |
a). Отже, |
kP |
|
P |
|
|
|
|
m(b ¡ a) · ¾(T; f) · M(b ¡ a): |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
¤ |
||||
Залишилось спрямувати ¸ до нуля. |
|
|
|
|
|||||
(5) Якщо f i g iнтегровнi на [a; b] i f(x) · g(x) для всiх x 2 [a; b], то
Zb Zb
f(x)dx · g(x)dx:
aa
Доведення. Випливає з властивостей (1) i (2) пункту 5.3. ¤
1.2. Теореми по середнє.
Теорема 1.1. Нехай функцiя f iнтегровна на орiєнтовному промiжку [a; b] i m · f(x) · M для всiх x 2 [a; b]. Тодi iснує таке ¹ 2 [m; M], що
Zb
f(x)dx = ¹(b ¡ a):
a
Доведення. Нехай a < b. Тодi згiдно з властивiстю (4) п.5.3 маємо, що
Zb
m(b ¡ a) · f(x)dx · M(b ¡ a):
a
Тодi
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
· |
Ra |
f(x)dx |
|
· |
M: |
|||||
|
b |
¡ |
a |
||||||||
Залишилось покласти |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ = |
|
Ra |
f(x)dx |
: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
b ¡ a |
|
|
|
||
Нехай b < a. Тодi
Zb Za
f(x)dx = ¡ f(x)dx = ¡¹(a ¡ b) = ¹(b ¡ a);
ab
3
де ¹ 2 [m; M]. |
¤ |
Геометрична iнтерпретацiя
Теорема 1.2 (Узагальнена теорема про середнє). Нехай f i g iнтегровнi на [a; b], m · f(x) · M для всiх x 2 [a; b], g(x) ¸ 0 (або g(x) · 0) для всiх x 2 [a; b]. Тодi iснує таке m 2 [m; M], що
Zb Zb
f(x)g(x)dx = ¹ g(x)dx:
a a
Доведення. Нехай g(x) ¸ 0, a < b. Тодi
mg(x) · f(x)g(x) · Mg(x)
для всiх x 2 [a; b].
Враховуючи властивостi (2) п.5.2 i (5) п.5.3, ми одержимо, що
Zb Zb Zb
m g(x)dx · f(x)g(x)dx · M g(x)dx:
a a a
Якщо Rb g(x) = 0, то твердження очевидне. Якщо ж Rb g(x)dx > 0, то залишилось подiлити
|
a |
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
на Ra |
g(x)dx i покласти |
b |
|
|
|
|
|
¹ = |
Ra |
f(x)g(x)dx |
: |
|
|
|
|
b |
|
|||
|
|
|
Ra |
g(x)dx |
¤ |
|
В iнших випадках потрiбно ще використати властивостi (1) з п.5.1 i (2) з п.5.2. |
||||||
1.3. Iнтеграл зi змiнною верхньою межею та його властивостi. Нехай функцiя f iнтегровна на [a; b]. Для кожного x 2 [a; b] покладемо
Zx
©(x) = f(t)dt (1)
a
Iнтеграл (1) називається iнтегралом зi змiнною верхньою межею.
Неперервнiсть iнтеграла зi змiнною верхньою межею
4
Теорема 1.3. Нехай функцiя f |
iнтегровна на [a; b]. Тодi © неперервна на [a; b]. |
|||||||
Доведення. Оскiльки функцiя f |
iнтегровна, то вона обмежена на [a; b], тобто iснує таке |
|||||||
M > 0, що jf(t)j · M для всiх t 2 [a; b]. Нехай x; x + h 2 [a; b]. Тодi |
||||||||
|
|
|
x+h |
|
x+h |
|
||
j©(x + h) ¡ ©(x)j = j Z f(t)dtj · Z |
jf(t)jdt · M(x + h ¡ x) = Mh: |
|||||||
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
lim Mh = 0 |
lim |
©(x + h) |
¡ |
©(x) |
j |
= 0 |
, звiдки |
|
Оскiльки h 0 |
, то h 0 j |
|
|
|
|
|||
! |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ©(x + h) = ©(x): |
|||||
|
|
|
h!0 |
|
|
|
|
|
Отже, функцiя © неперервна в точцi x. |
|
|
|
¤ |
||||
Диференцiйовнiсть iнтеграла зi змiнною верхньою межею
Теорема 1.4. Нехай функцiя f iнтегровна на [a; b] i неперервна в точцi x 2 [a; b]. Тодi функцiя © диференцiйовна в точцi x, причому
©0(x) = f(x):
Доведення. Зафiксуємо " > 0. Виберемо ± > 0 так, щоб для довiльного t 2 [a; b] jx ¡ tj < ± ) jf(x) ¡ f(t)j < ";
тобто |
|
f(x) ¡ " < f(t) < f(x) + " |
(2) |
Нехай jhj < ±. Тодi [x; x + h] µ (x ¡ ±; x + ±). Зрозумiло, що нерiвнiсть (2) виконується для всiх t 2 [x; x + h]. За теоремою про середнє iснує таке ¹ 2 [f(x) ¡ "; f(x) + "], що
Zx+h
f(t)dt = ¹ ¢ (x + h ¡ x) = ¹ ¢ h:
x
Тодi |
|
|
|
|
h ¡ |
|
|
= |
|
R |
h |
= ¹: |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+h |
|
|
|
|
|
©(x + h) |
|
©(x) |
|
|
|
f(t)dt |
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскiльки j¹ ¡ f(x)j · ", то |
¯ |
|
|
|
h ¡ |
|
|
|
|
¡ f(x)¯ |
· ": |
||||
|
©( + |
|
|
|
|
||||||||||
|
¯ |
|
x |
|
h) |
©(x) |
|
¯ |
|
|
|||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
Отже, |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
©0(x) = lim |
©(x + h) ¡ ©(x) |
= f(x): |
||||||||||||
|
|
|
|
|
h!0 |
|
|
h |
|
|
|
|
|||
¤
5
1.4. Формула Ньютона-Лейбнiца.
Теорема 1.5. Нехай функцiя f неперервна на [a; b]. Тодi
Zb
f(x)dx = F (b) ¡ F (a);
a
де F (x) – довiльна первiсна функцiя для f.
Доведення. Розглянемо функцiю ©(x) = Rx f(t)dt, де x 2 [a; b]. Згiдно з теоремою про
a
диференцiйовнiсть iнтеграла зi змiнною верхньою межею, ©0(x) = f(x), тобто © – первiсна для функцiї f на [a; b]. Нехай F (x) – довiльна первiсна. Тодi ©(x) = F (x) + C. Звiдси випливає, що
Zb
f(x)dx = ©(b) = ©(b) ¡ ©(a) = (F (b) + C) ¡ (F (a) + C) = F (b) ¡ F (a) = F (x)jba:
a
Приклади:
Z1
(1)x®dx, ® =6 ¡1;
|
0 |
|
|
|
b |
|
|
(2) |
Za |
dx |
, a; b > 0; |
|
|||
x |
|||
|
Z¼ |
|
|
(3)sin xdx;
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Z0 |
dx |
|
(4) |
|
. |
|
1 + x2 |
|||
¤
1.5. Iнтегрування частинами у визначеному iнтегралi.
Теорема 1.6. Нехай u; v – неперервно диференцiйовнi функцiї на [a; b]. Тодi
Zb Zb udv = uvjba ¡ vdu:
a a
Доведення. Функцiя uv неперервно диференцiйовна, тому згiдно з формулою НьютонаЛейбнiца маємо, що
Zb Zb Zb Zb Zb u(x)v(x)jba = (u(x)v(x))0dx = u0(x)v(x)dx + u(x)v0(x)dx = vdu + udv:
a a a a a
Звiдси
Zb Zb udv = uvjba ¡ vdu:
a a
¤
6
1.6. Замiна змiнної у невизначеному iнтегралi.
Теорема 1.7. Нехай функцiя f неперервна на [a; b], а функцiя ' задовольняє наступнi умови:
(1)' визначена i неперервна на [®; ¯] i набуває значень у вiдрiзку [a; b];
(2)'(®) = a, '(¯) = b;
(3)'0 неперервна на [®; ¯].
Тодi
Zb Z¯
f(x)dx = f('(t))'0(t)dt:
a®
Доведення. Нехай F (x) – довiльна первiсна для f(x). Тодi згiдно з формулою замiни змiнних у невизначеному iнтегралi, F ('(t)) – первiсна для функцiї f('(t)) ¢ '0(t). Тепер використаємо формулу Ньютона-Лейбнiца i одержимо
Zb Z¯
f(x)dx = F (b) ¡ F (a) = F ('(¯)) ¡ F ('(®)) = f('(t))'0(t)dt:
a ®
¤
Приклади.
(1) Якщо f – парна функцiя, то
Za Za
f(x)dx = 2 f(x)dx:
¡a 0
Доведення. Нехай t = ¡x, тодi
Z0 Za
f(x)dx = f(t)dt:
¡a 0
¤
(2) Якщо f – непарна функцiя, то
Za
f(x)dx = 0:
¡a
(3) Якщо f – T -перiодична i неперервна функцiя, то
Za+T ZT
f(x)dx = f(x)dx:
a0
Доведення.
Z |
f(x)dx = |
Z |
f(x)dx + Z |
f(x)dx + |
Z |
f(x)dx: |
a+T |
|
0 |
T |
|
a+T |
|
a |
a |
0 |
T |
7
Зробимо замiну t = x ¡ T . Тодi f(x) = f(t), dx = dt i t 2 [0; a]. Тому
Za |
f(x)dx = |
Z0 |
f(t)dt = ¡ Za |
f(x)dx: |
a+T |
|
a |
0 |
|
¤