Застосування поняття дискримінанта до дослідження системи двох алгебраїчних рівнянь з двома змінними.

Нехай маємо систему двох рівнянь з двома змінними:

(7)

де f та g – многочлени від двох змінних над полем Р.

потрібно розв’язати систему (7).

Перепишемо кожен із многочленів за спадними степенями однієї зі змінних, наприклад за степенями х. Тоді коефіцієнти будуть залежати від іншої змінної (у):

(8)

Оскільки система (7) має розв’язки, то результант

У даному випадку є многочленом віду. Таким чином, (9).

Висновок: Для того, щоб знайти розв’язки системи (7), обчислимо спочатку результант

.

Потім шукаємо корені рівняння .

Знайдені значення у підставимо в систему рівнянь. Отримаємо стільки різних систем, скільки коренів у рівнянь .

Розв’язуємо отримані системи рівнянь у кожному випадку. Виписуємо відповідні пари розв’язків.

Наступна теорема дає відповідь на питання, якого степеня буде многочлен

Теорема: якщо многочлени імають відповідно степені n та s за сукупністю змінних, то степінь многочленна

–є нульовим многочленом.

Приклади:

1) Розв’язати систему рівнянь:

Запишемо цю систему за спадними степенями змінної х:

Відповідь:

2) З’ясувати, чи має розв’язки система рівнянь:

система має розв’язки.

17