Результант двох многочленів.

Розглянемо ще одне застосування симетричних многочленів.

Нехай задано два многочленна від змінної над полем Р:

Розглянемо наступну задачу:

З'ясувати, при якій умові ці многочлени мають спільні корені, або, іншими словами: розв'язати систему алгебраїчних рівнянь:

Нехай

–корені многочлена ;

–корені многочлена .

Розглянемо всеможливі різниці

і добуток

Якщо розглядати цей добуток як многочлен відносно змінних абовідносно змінних, то цей многочлен буде симетричним відносно зміннихта відносно змінних. (тобто симетричний відносно двох систем змінних:і).

Наприклад:

Нехай – корені;

–корені .

Розглянемо добуток:

–це симетричний многочлен відносно двох систем змінних і

Вираз:

(1)

Називають результатом двох многочленів і

Зауваження 1.

(2)

Зауваження 2: Результат можна записати по-іншому:

Оскільки , то

Таким чином,

(3)

або

(4)

Має місце наступна

Теорема 1: Для того, щоб многочлени імали спільний корінь, необхідно і досить, щоб їх результат дорівнював нулю.

Доведення.

І. Необхідність.

Нехай імають спільний корінь, тобто нехайпри деякомута. Тоді в (1) одна з різниць = 0, а тому

ІІ. Достатність.

Нехай . Скористаємось формулою (3):

, де – корені

Якщо , то, а це означає, що хоч один з множників = 0. Нехай– корінь многочленнамногочлениімають спільний корінь.

Якщо ж , а, то розглянемоі використаємо формулу (4):

многочлен імають спільний корінь.

Теорему доведено.

Формули (1) і (3), (4) дають вираження результат через корені многочленів і.

Але корені многочленів не завжди легко знаходяться. Тому потрібно знайти інше вираження результанта, а саме через коефіцієнт многочленів.

Це можна зробити, оскільки є симетричним многочленом відносно двох систем змінних.

і

Його можна виразити через елементарні симетричні многочлени:

А нам відомий зв’язок між елементарними многочленами і коефіцієнтами цих многочленів:

Отже, таке вираження можливе.

Розглянемо визначник порядку:

Має місце

Теорема 2. Результант двох многочленів ідорівнює визначнику, тобто.

(без доведення)

Доведення цієї теореми є в підручнику, але воно є дуже громіздким і займає багато часу.

Приклад.

1) Виписати результант двох многочленів

Якщо , то многочлени не мають спільних коренів.

Якщо , то многочлени мають спільні корені.

2) З’ясувати, чи має розв’язки система рівнянь:

Виписуємо результант многочленів, які стоять у лівій частині системи:

Отже, система рівнянь сумісна.

Дискримінант многочленна n-го степеня.

Розглянемо многочлен від х над полем Р:

Нехай – корені цього многочленна.

Означення 1. Дискримінантом многочленна називається вираз:

(5)

Для прикладу, розглянемо квадратне рівняння:

–корені цього рівняння; п=2

Тобто отримали звичний для нас дискримінант квадратного рівняння.

Теорема 3. Дискримінант многочленна п-го степеня (над полем Р) дорівнює

тобто

(6)

Доведення. Розкладемо многочлен на лінійні множники:

Обчислимо похідну цього многочлена:

Наприклад,

Отже, при

, (всі інші доданки дорівнюють 0)

Тоді з (3) випливає, що:

В цей добуток для довільних i та j входять два множники:

та ,

які відрізняються знаком:

Таких пар i та j, які задовольняють умову

буде

Тому можна записати, що

Теорему доведено.

Теорема 4. Многочлен тоді й тільки тоді має кратні корені, коли його дискримінант = 0

Ця теорема, безпосередньо, випливає з теореми 3.