Область значень та ядро лінійного оператора.

Область значень лінійного оператора.

Нехай – лінійний оператор.

Означення 1: Областю значення (або образом) лінійного оператора називається множина образів усіх елементів просторупри дії оператора.

Область значень лінійного оператора позначають:

Твердження 1: Область значень лінійного оператора є підпросторм простору .

Дов. Нехай , тоді

–підпростір .

Кожен підпростір має свою розмірність.

Означення 2: Розмірність області значення лінійного оператора називаєтьсярангом лінійного оператора.

Тобто

Теорема 1: Ранг лінійного оператора простору дорівнює рангу матриці А цього оператора в деякому базисі.

Дов. Нехай – лінійний простір;

–база цього простору.

–лінійний оператор.

Розглянемо . Тоді

Оскільки , то

Простір породжується векторами.

Тому базою простору буде довільна лінійно незалежна максимальна підсистема системи цих елементів.

Тому з попереднього відомо, що

–елементи матриці А оператора в базі.

Звідси

Ядро лінійного оператора.

Означення 3: Ядром лінійного оператора називається сукупність всіх тих елементів з простору, які при діїперетворюється в 0 (нульовий елемент простору).

Ядро лінійного оператора позначають або

Твердження 2: Ядро лінійного оператора є лінійним підпростором простору .

Доведення самостійно.

Означення 4: Розмірність ядра лінійного оператора називаєтьсядефектом лінійного оператора.

Приклад: –простір геометричних векторів простору, що виходять з початку координат.

–проектування векторів простору на вісь .

–лінійний оператор ­(доводили подібне).

Побудуємо ядро і область значень цього оператора:

–сукупність векторів, що проектуються в нульовий вектор – це всі вектори площини .

–це вектори вісі .

Отже,

Теорема рангу і зв’язок між рангом і дефектом лінійного оператора.

Теорема 2: Сума рангу і дефекта лінійного простору дорівнює розмірності

Дов. Позначимо

.

Треба довести, що

Нехай – лінійний оператор, база ядра якого міститьd векторів.

Нехай – база ядра

Доповнимо цю базу векторами з просторудо бази простору.

Тобто

–база .

Розглянемо

Для цього покажемо, що довільний вектор належить доU, бо вектора зU належить до .

Дійсно, нехай , тоді, такий, що.

Оскільки (*)

, отже

Залишилося довести, що . Для цього треба довести, що система векторів– лінійно незалежна. Будемо доводити від супротивного.

Припустимо, що числа(одночасно не всі =0) такі, що

(**)

Розглянемо вектор (***)

Очевидно, що

Знайдемо його образ: в силу (**)

Це означає, що (****)

Записи (***) і (****) означають, що для елемента існує два різні розклади по базі простору, що суперечить єдності розкладу вектора по базі.

Отже, припущення невірне і вектори:

–лінійно незалежні. Тому їх можна прийняти за базу у

Отже,

Зауваження: Різницю між порядком квадратичної матриці та її рангом називають дефектом матриці.

Отже, дефект лінійного оператора дорівнює дефекту його матриці.

Нехай , тоді.

Не вироджений лінійний оператор.

Означення: Лінійний оператор просторуназиваєтьсяне виродженим, якщо його ранг дорівнює розмірності простору:

У протилежному випадку оператор називається не виродженим.

Для не вироджених лінійних операторів справедливі наступні твердження.

Твердження 1: .

Твердження 2: – дефект не виродженого лінійного оператора =0.

Твердження 3: Якщо – лінійний не вироджений оператор, то різним векторам відповідають різні образи:

Дов. Припустимо, що і, але

, але , але, згідно з твердженням 2 для не виродженого лінійного оператора.

Отже, – суперечність.

Твердження 4: Не вироджений лінійний оператор простору є взаємно однозначним відображенням цього простору на себе.

Твердження 5: Для невиродженого лінійного оператора існує обернений оператор , який також є лінійним.

Дов. Нехай

1)

2) – лінійний оператор простору

Зауваження: Кожне з цих можна прийняти за означенням невиродженого лінійного оператора.

Тоді решта тверджень випливають з нього.

Твердження 6: При дії невиродженого оператора лінійно незалежні вектори відображаються в лінійній залежності.

Самостійно

Дов. Нехай – лінійно незалежна система векторів:

, де .

Оскільки, – не вироджена, топри. Коефіцієнти – ті ж самі:.

Отже, система – лінійно незалежна.

Висновок: Лінійний не вироджений оператор переводить будь-яку базу просторув деяку іншу базу цього простору.