- •Лінійний простір. Аксіоматика. Ізоморфізм.
- •Скінченновимірні лінійні простори. Базис. Розмірність простору. Перетворення базису.
- •Підпростори лінійного простору. Їх сума та перетин.
- •Перетин (переріз) лінійних підпросторів.
- •Сума підпросторів лінійного простору.
- •Теорема про зв’язок між розмінностями суми і перерізу лінійних підпросторів.
- •Лінійні оператори. Їх властивості
- •Область значень та ядро лінійного оператора.
- •Власні значення і власні вектори лінійного оператора.
Скінченновимірні лінійні простори. Базис. Розмірність простору. Перетворення базису.
Означення скінченновимірного лінійного простору.
Означення 1: Лінійно незалежну систему векторів лінійного простору V будемо називати максимальною лінійно незалежною, якщо після приєднання вона перетвоюється в лінійно залежну.
Слід зауважити, що не в кожному лінійному просторі є максимальна лінійно незалежна система векторів.
Прикладом простору, у якому немає максимально лінійно незалежної системи векторів є простір всіх многочленів з коефіцієнтами з поля Р.
(бо якщо припустити, що – теж лінійно залежна система многочленів)
Означення 2: Лінійний простір називається скінченновимірним, якщо він має хоча б одну максимальну лінійну незалежну систему векторів.
Якщо такої системи не існує, то він називається нескінченновимірним.
Ми будемо вивчати тільки скінченновимірні простори.
Нескінченновимірні простори будете вивчати в курсі функціонального аналізу.
Доведемо наступну теорему.
Теорема: Якщо в лінійному просторі V існує максимальна лінійно незалежна система з п ізоморфний п-вимірному просторі векторів –рядків.
Дов. Нехай V – лінійний простір, в якому є максимальна лінійно незалежна система векторів, які складаються з п векторів:
.
Розглянемо . Система векторів
–лінійно залежна числатакі, що, причому хоч один з коефіцієнтів.
Якщо хоч один , то є безліч наборів такого типу. Тоді можна вибрати.
Наприклад . Тодіде(1)
Таким чином, розглянемо відповідність:
(2)
З’ясуємо, чи буде ця відповідність взаємно однозначним. Припустимо, що існує ще один (інший) образ елемента при відповідностіf:
(3) – так ми визначили відображення f.
Віднімемо (1) – (3):
Згідно з умовою, система елементів –лінійно незалежна. Тому всі коефіцієнти = 0.
Це означає, що так вибране відображення (2) є взаємно однозначним.
Покажемо, що f – ізоморфізм. Для цього розглянемо довільний елемент тоді:
Перевіримо аксіоми ізоморфізму:
1) виконується.
2) – виконується.
Це доводить, що відображення f є ізоморфним.
Отже, даний простір V ізоморфний п-вимірному векторному простору векторів –рядків.
На основі властивості з ізоморфізму можна зробити висновок:
При ізоморфній відповідності лінійних просторів максимальна лінійно незалежна система векторів простору V відображається в максимальну лінійно незалежну систему векторів простору і навпаки.
Нам з І семестру відомо, що всі максимально лінійно незалежного простору векторів т-вимірного простору векторів –рядків мають по п векторів, тому і всі максимальні системи елементів задано простору V мають по п векторів.
Базис і розмірність скінченновимірного простору.
Означення 3: Будь-яку максимальну лінійно незалежну систему елементів скінченновимірного векторного простору називають базою (базисом) цього простору.
Домовимося базу п-вимірного простору V позначати:
Якщо в одному і тому ж просторі розглянути декілька баз , то всі вони мають однакову кількість векторів.
Доведення цього аналогічне доведення такого є факту для п-вимірного простору .
Означення 4: Кількість векторів, що входять в будь-яку базу скінченновимірного лінійного простору V називають розмірністю або цього простору і позначають
Повернемося до попередніх прикладів (попередня тема П.2.)
1) , база:,
3) , база:
4)
5) нескінченновимірний – бо максимально лінійно незалежної системи векторів немає.
Правильними є наступні твердження:
Твердження 1: У просторі V, що має розмірність п, кожна лінійно незалежна система з п елементів утворює базис.
Твердження 2: У п-вимірному просторі кожна лінійно незалежна система п векторів є базисом цього простору.
Твердження 3: Будь-який лінійний простір V розмірності п ізоморфний простору
Твердження 4: Всі лінійні простори, які мають однакову розмірність, ізоморфні між собою.
І навпаки, якщо простори та такі, щото.
Оскільки, всі простори розмірності п ізоморфні до , то вони ізоморфні між собою. Має місце і навпаки.
Координати вектора в заданому базисі.
Нехай V – простір розмірності п. Будемо його позначати (щоб зафіксувати розмірність).
Розглянемо приклад бази у :
Нехай – довільний елемент цього простору. Як уже зазначали, вектора можна розкласти за векторами цієї бази:
, причому числа визначник однозначно для даного базису
Означення 5: Координати елемента відносно базисуназивається коефіцієнти розкладу цього елемента по даному базису.
Позначається:
Приклад:
1) У дійсному лінійному просторі векторів координати векторау базі
а)
такі:
б) у базі
такі:
2) розкладемо многочлен із простору многочленів степеняпо базису
Зв’язок між базисами.
У прикладі 1) бачимо, що координати одного і того ж вектора відрізняються залежно від того, який базис було вибрано.
Розглянемо дійсний простір розмірностіп.
Розглянемо два різні базиси цього простору:
–базис (1)
–базис (2)
Оскільки елемент , то їх можна розкласти за елементами базису
(3)
,
З коефіцієнтів розкладу складемо матрицю
(4)
Матрицю Т називають матрицею переходу від бази до
3) можна записати скорочено, враховуючи позначення:
, де Т – перехід від до
Очевидно, порядок матриці Т завжди буде збільшуватися з розмірністю простору V.
Матриця переходу Т невироджена.
В протилежному випадку рядки матриці Т були б лінійно залежними, а це не означало би, що вектори лінійно залежними, що суперечить умові, що вони утворюють базу.
Формули (3), ,називаютьформулами зв’язку між базами або формулами перетворення баз (1) і (2).
Аналогічно вектори бази можна виразити через вектори:
(5)
Тут Q –матриця переходу від бази до бази. У її рядках стоять коефіцієнти розкладу векторів базипо векторах бази.
Приклад: у дійсному лінійному просторі многочленів від х степеня з дійсними коефіцієнтами. Знайти матрицю переходу від базидо бази
Розв’язання: потрібно знайти коефіцієнти розкладу векторів через вектори:
Отже, – матриця переходу віддо.
.
З’ясуємо, чи існує зв’язок між матрицями Т і Q.
Для цього в 5) замість підставити вираз із:
Аналогічно:
Висновок: Матриці переходу від бази доє взаємно оберненими.
П.5. Зв’язок між координатами вектора в різних базисах.
Нехай лінійному просторі задано дві бази:
–базис (1)
–базис (2)
Між якими існує зв’язок
(3)
де Т – матриця переходу від до.
Розглянемо довільний вектор його можна розкласти за цими базами:
(4)
(5)
Тоді – координати вектораа в базисі (старий базис),– координати вектораа в базисі (новий базис).
Знайдемо зв’язок між цими координатами, враховуючи зв’язок між базами:
Отже, можна записати:
Оскільки вектори – лінійно незалежні, то така рівність векторів рівносильна рівності відповідних координат:
(6)
Остання рівність записується в матричному вигляді:
або, скорочено:
(7)
чи
(8)
де – переходить від до
формули (7) і (8) задають закони перетворення координат одного і того ж вектора в різниз базах.
Приклад: Вектор і
вектори ізадано в базі.
Розв’язання: у базі
Скористаємось формулами (8):
Отже,