Скінченновимірні лінійні простори. Базис. Розмірність простору. Перетворення базису.

Означення скінченновимірного лінійного простору.

Означення 1: Лінійно незалежну систему векторів лінійного простору V будемо називати максимальною лінійно незалежною, якщо після приєднання вона перетвоюється в лінійно залежну.

Слід зауважити, що не в кожному лінійному просторі є максимальна лінійно незалежна система векторів.

Прикладом простору, у якому немає максимально лінійно незалежної системи векторів є простір всіх многочленів з коефіцієнтами з поля Р.

(бо якщо припустити, що – теж лінійно залежна система многочленів)

Означення 2: Лінійний простір називається скінченновимірним, якщо він має хоча б одну максимальну лінійну незалежну систему векторів.

Якщо такої системи не існує, то він називається нескінченновимірним.

Ми будемо вивчати тільки скінченновимірні простори.

Нескінченновимірні простори будете вивчати в курсі функціонального аналізу.

Доведемо наступну теорему.

Теорема: Якщо в лінійному просторі V існує максимальна лінійно незалежна система з п ізоморфний п-вимірному просторі векторів –рядків.

Дов. Нехай V – лінійний простір, в якому є максимальна лінійно незалежна система векторів, які складаються з п векторів:

.

Розглянемо . Система векторів

–лінійно залежна числатакі, що, причому хоч один з коефіцієнтів.

Якщо хоч один , то є безліч наборів такого типу. Тоді можна вибрати.

Наприклад . Тодіде(1)

Таким чином, розглянемо відповідність:

(2)

З’ясуємо, чи буде ця відповідність взаємно однозначним. Припустимо, що існує ще один (інший) образ елемента при відповідностіf:

(3) – так ми визначили відображення f.

Віднімемо (1) – (3):

Згідно з умовою, система елементів –лінійно незалежна. Тому всі коефіцієнти = 0.

Це означає, що так вибране відображення (2) є взаємно однозначним.

Покажемо, що f – ізоморфізм. Для цього розглянемо довільний елемент тоді:

Перевіримо аксіоми ізоморфізму:

1) виконується.

2) – виконується.

Це доводить, що відображення f є ізоморфним.

Отже, даний простір V ізоморфний п-вимірному векторному простору векторів –рядків.

На основі властивості з ізоморфізму можна зробити висновок:

При ізоморфній відповідності лінійних просторів максимальна лінійно незалежна система векторів простору V відображається в максимальну лінійно незалежну систему векторів простору і навпаки.

Нам з І семестру відомо, що всі максимально лінійно незалежного простору векторів т-вимірного простору векторів –рядків мають по п векторів, тому і всі максимальні системи елементів задано простору V мають по п векторів.

Базис і розмірність скінченновимірного простору.

Означення 3: Будь-яку максимальну лінійно незалежну систему елементів скінченновимірного векторного простору називають базою (базисом) цього простору.

Домовимося базу п-вимірного простору V позначати:

Якщо в одному і тому ж просторі розглянути декілька баз , то всі вони мають однакову кількість векторів.

Доведення цього аналогічне доведення такого є факту для п-вимірного простору .

Означення 4: Кількість векторів, що входять в будь-яку базу скінченновимірного лінійного простору V називають розмірністю або цього простору і позначають

Повернемося до попередніх прикладів (попередня тема П.2.)

1) , база:,

3) , база:

4)

5) нескінченновимірний – бо максимально лінійно незалежної системи векторів немає.

Правильними є наступні твердження:

Твердження 1: У просторі V, що має розмірність п, кожна лінійно незалежна система з п елементів утворює базис.

Твердження 2: У п-вимірному просторі кожна лінійно незалежна система п векторів є базисом цього простору.

Твердження 3: Будь-який лінійний простір V розмірності п ізоморфний простору

Твердження 4: Всі лінійні простори, які мають однакову розмірність, ізоморфні між собою.

І навпаки, якщо простори та такі, щото.

Оскільки, всі простори розмірності п ізоморфні до , то вони ізоморфні між собою. Має місце і навпаки.

Координати вектора в заданому базисі.

Нехай V – простір розмірності п. Будемо його позначати (щоб зафіксувати розмірність).

Розглянемо приклад бази у :

Нехай – довільний елемент цього простору. Як уже зазначали, вектора можна розкласти за векторами цієї бази:

, причому числа визначник однозначно для даного базису

Означення 5: Координати елемента відносно базисуназивається коефіцієнти розкладу цього елемента по даному базису.

Позначається:

Приклад:

1) У дійсному лінійному просторі векторів координати векторау базі

а)

такі:

б) у базі

такі:

2) розкладемо многочлен із простору многочленів степеняпо базису

Зв’язок між базисами.

У прикладі 1) бачимо, що координати одного і того ж вектора відрізняються залежно від того, який базис було вибрано.

Розглянемо дійсний простір розмірностіп.

Розглянемо два різні базиси цього простору:

–базис (1)

–базис (2)

Оскільки елемент , то їх можна розкласти за елементами базису

(3)

,

З коефіцієнтів розкладу складемо матрицю

(4)

Матрицю Т називають матрицею переходу від бази до

3) можна записати скорочено, враховуючи позначення:

, де Т – перехід від до

Очевидно, порядок матриці Т завжди буде збільшуватися з розмірністю простору V.

Матриця переходу Т невироджена.

В протилежному випадку рядки матриці Т були б лінійно залежними, а це не означало би, що вектори лінійно залежними, що суперечить умові, що вони утворюють базу.

Формули (3), ,називаютьформулами зв’язку між базами або формулами перетворення баз (1) і (2).

Аналогічно вектори бази можна виразити через вектори:

(5)

Тут Q –матриця переходу від бази до бази. У її рядках стоять коефіцієнти розкладу векторів базипо векторах бази.

Приклад: у дійсному лінійному просторі многочленів від х степеня з дійсними коефіцієнтами. Знайти матрицю переходу від базидо бази

Розв’язання: потрібно знайти коефіцієнти розкладу векторів через вектори:

Отже, – матриця переходу віддо.

.

З’ясуємо, чи існує зв’язок між матрицями Т і Q.

Для цього в 5) замість підставити вираз із:

Аналогічно:

Висновок: Матриці переходу від бази доє взаємно оберненими.

П.5. Зв’язок між координатами вектора в різних базисах.

Нехай лінійному просторі задано дві бази:

–базис (1)

–базис (2)

Між якими існує зв’язок

(3)

де Т – матриця переходу від до.

Розглянемо довільний вектор його можна розкласти за цими базами:

(4)

(5)

Тоді – координати вектораа в базисі (старий базис),– координати вектораа в базисі (новий базис).

Знайдемо зв’язок між цими координатами, враховуючи зв’язок між базами:

Отже, можна записати:

Оскільки вектори – лінійно незалежні, то така рівність векторів рівносильна рівності відповідних координат:

(6)

Остання рівність записується в матричному вигляді:

або, скорочено:

(7)

чи

(8)

де – переходить від до

формули (7) і (8) задають закони перетворення координат одного і того ж вектора в різниз базах.

Приклад: Вектор і

вектори ізадано в базі.

Розв’язання: у базі

Скористаємось формулами (8):

Отже,