Підпростори лінійного простору. Їх сума та перетин.

Означення лінійного простору.

Нехай задано лінійний просторі . розглянемо не порожню підмножинуелементів простору.

Означення 1. підмножина називаєтьсялінійним підпростором лінійного простору , якщо:

1)

2)

Оскільки , то всі аксіоми лінійного простору дляU будуть виконуватись.

Приклади підпросторів:

1. – містить лише нульові елементи із;

–весь простір.

– це приклади тривіальних підпросторів.

2. – лінійний простір геометричних векторів із.

U – множина векторів, що лежать у деякій площині, котра проходить через початок координат.

3. – множина лінійного простіру матрицьп-го порядку з дійсними елементами.

–множина всіх симетричних матриць п-го порядку є дійсними елементами – є підпростором.

А симетр.

­– симетр.

–симетр. – лінійний простір.

Зауваження: Оскільки простір сам є лінійним простором, то для нього модна вводити аналогічні поняття бази і розмірності.

Очевидно, що підпростір U п-вимірного простору є скінченновимірним, бо його база не може містити векторів більше, ніж в базі самого простору. Отже,

Перетин (переріз) лінійних підпросторів.

Твердження 1. Перетин лінійних підпросторів простору є також лінійним підпростором у.

Тобто, якщо – лінійні підпростори, то

(доведення самостійно) – випливає з озн. підпростору і перетину множини.

Виникає питання: як можна будувати підпростори, їх перетин, маючи елементи даного простору .

Розглянемо систему векторів

і розглянемо все можливі лінійні комбінації цих векторів:

(1)

Твердження 2: Так побудована множина

є підпростором простору .

Дов. Нехай

, тому

–підпростір.

Множина вигляду (1) називається лінійною оболонкою векторів і позначають

або

Отже,

(2) ==

Неважко перевірити, що

(3)

Зауваження: Якщо – база простору, то

Сума підпросторів лінійного простору.

Нехай – підпростори лінійного простору.

Означення 2: Сумою підпросторів називається така множина

яка складається з тих векторів із , які хоча б одним способом можна зобразити у вигляді суми одного вектора з, а іншого –з з.

(4)

Приклад:

Нехай – вектори, що лежать на,– вектори, що лежать на;

Очевидно, що

Зауваження: Підпростори імістяться в підпросторі:

Твердження 3. Сума підпросторів іє підпростором простору: якщо

Дов.

–підпростір.

Зауваження: можна ввести, за індукцією, суму (перетин) довільної кількості лінійних підпросторів.

Теорема про зв’язок між розмінностями суми і перерізу лінійних підпросторів.

Теорема:

Дов. Введемо позначення:

Тоді – доведемо.

Нехай – база простору(1)

Її можна доповнити векторами.

з так, щоб отримати базу простору.

,– база (2)

(оскільки і, бо належать їх перетину)

Аналогічно, доповнимо систему (1) до бази простору :

,(3)

Розглянемо систему векторів:

,,(4)

Виникає питання: чи буде (4) базою в (бо в ній є векторів рівно)

Для доведення теореми потрібно довести два фактори:

1. система (4) – лінійно залежна;

2. треба показати, що а лінійно виражається через (4).

Доводимо це:

1) Розглянемо лінійну комбінацію векторів системи (4): (5)

Потрібно переконатися, що

Перепишемо (5) ц іншому вигляді:

З останньої рівності , що. Отже, його можна зобразити як лінійну комбінацію векторів із:

Отже, =

Оскільки система (3) лінійно незалежна, тоді маємо:

Із (5) тоді маємо:

але (2) – теж лінійно незалежна, тому:

Отже, система (4) – лінійно незалежна.

2) – чи це так?

Розглянемо вектори

Обчислимо:

лінійно виражається через систему (4) в

Отже (4) – база простори

Тобто, в ній міст. в-в:

векторів