3.8. Енергія тіла

В релятивістській механіці крім постулатів Ейнштейна виконуються закони збереження імпульсу, моменту імпульсу, закон збереження енергії але не виконується закон збереження маси тіла. Наприклад, при розпадах ядра на складові частинки їх сумарна маса може бути меншою або більшою маси тіла. Це пов'язано з тим, що такі розпади можуть відбуватися з виділенням або поглинанням ядром енергії.

Робота сили по переміщенню вільної частинки, як і в класичній механіці йде на приріст її кінетичної енергіїT, тобто А=dT. Для знаходження Т, зробимо ряд послідовних очевидних перетворень:

,

, dT=A,

,

В той же час

,,,

. (1)

Знайдемо диференціал від (1), вважаючи, що m та V змінюються з часом та виконаємо елементарні перетворення

. (2)

Маса тіла зростає від маси спокою до релятивістської масиm, тому у (2) можна виконати інтегрування у межах цих мас

. (3)

Покладемо в (3) . У класичній механіці кінетична енергія та потенціальна енергія складають повну механічну енергію тіла. В релятивістській механіці також визначають повну механічну енергію тіла, яка є сумою енергії та потенціальної енергії тіла у силовому полі.

3.8. Зв'язок енергії та імпульсу

Знайдемо значення та доведемо незмінність у різних системах відліку, тобто інваріантність, виразу E²-p²c². Для цього проведемо ряд послідовних очевидних перетворень:

, (1)

що й треба було довести.

Звідси установимо зв'язок енергії та імпульсу тіла

. (2)

Знайдемо зв'язок імпульсу та кінетичної енергії Т тіла:

,

,

. (3)

3.9. Зв'язок маси та енергії спокою

Зв'язок маси та енергії спокою, що задається виразом Е₀ = m₀c² указує, що сумарна маса взаємодіючих частинок, на противагу класичній механіці, не зберігається. Наприклад, при абсолютно не пружному ударі двох однакових частинок із масами m₀, що рухаються одна назустріч іншій, утвориться нова нерухома частинка з масою М. Енергії частинок до співударяння , а після співударяння Е₀ = Мс². Згідно

закону збереження енергії Мс² = 2m₀с²/і тоді М = 2m₀/> 2m, тобто маса утвореної частинки більше сумарної маси двох однакових, з яких вона утворилася. Це сталося тому, що кінетична енергія частинок перетворилася в еквівалентну кількість енергії спокою, що й призвело до зростання маси на m = E₀/c².

Іншим прикладом є взаємозв'язок між енергією зв'язку Е_зв нуклонів (протонів та нейтронів) у ядрі та різницею (дефектом) мас m між масою ядра і сумарною масою нуклонів ядра E_зв = mc².

3.10. Імпульс та маса фотона

Як відомо, частинками електромагнітного поля частоти  є фотони з енергією  = ћ і нульовою масою спокою. Такі частинки рухаються із швидкістю світла с, тобто така частинка є суто релятивістською. Використовуючи зв'язок енергії та імпульсу, знайдемо імпульс фотона

р = =ћk,

де k  хвильове число.

Релятивістська маса фотона

m = .

3.11. Контрольні питання

1. Сформулюйте загальний принцип відносності Ейнштейна.

2. Сформулюйте постулати спеціальної теорії відносності Ейнштейна.

3. Які питання розглядає спеціальна теорія відносності?

4. Знайдіть перетворення Лоренца для координат.

5. Виведіть перетворення Лоренца для швидкостей.

6. Дайте визначення інтервалу, часоподібному та простороподібному інтервалам.

7. Доведіть інваріантність інтервалу.

8. Дайте визначення власної довжини.

9. Дайте визначення власного часу.

10. Рокажіть про парадокс "близнюків".

11. Дайте поняття маси спокою та релятивістської маси. Який їх взаємозв'язок?

12. Який вигляд має імпульс частинки в релятивістській механіці?

13. Наведіть основне рівняння руху в релятивістській динаміці.

14. Коли прискорення та сила співпадають за напрямком.

15. Виведіть формулу кінетичної енергії релятивістської частинки.

16. Що таке повна та енергія спокою частинки?

17. Закон взаємозв'язку маси і повної енергії.

18. Як змінюється маса тіла при зміні його повної енергії? Наведіть при­клади.

19. Наведіть зв'язок енергії та імпульсу тіла.

23. Розрахуйте релятивістську масу та імпульс фотона.