3.3. Перетворення швидкостей у релятивістській механіці

Якщо зважити на те, що компоненти швидкостей тіла в системі K визначаються як U_x = ,U_y = ,U_z = , а в системіK'  =,U'_y' =,U_z' = , а диференціалиdx = (dx' + Vdt'), dt = (dt' + Vdx/c²), dy =dy', dz = dz' та dx' = (dx - Vdt), dt' = (dt - Vdx'/c²), то пряма підстановка дає перетворення швидкостей у вигляді:

Uх=
Uy = Uy'·	U'y' = Uy·/(1 - VUx/c2)
Uz = Uz'·	U'z' = Uz·/(1 - VUxc2)

Наприклад, якщо тіло рухається із швидкістю U вздовж осі ОХ, то її перетворення через швидкість U'

у класичній механіці:

U = U' + V,

в релятивістській механіці:

U = (U+V)/(1+VU/c²).

Якщо U' = c, то U = (c+V)/(1+Vc/c²) = c, як того і вимагає постулат Ейнштейна.

3.4. Інтервал між подіями та його інваріантність

Якщо відомі координати двох подій x₁, y₁, z₁, t₁ i x₂, y₂, z₂, t₁, то величина

s₁₂=

називається інтервалом між цими подіями. Інтервал між двома близькими подіями

ds=, де dl²=dx²+dy²+dz².

Інтервал s₁₂ між двома подіями однаковий за величиною в усіх інерційних системах відліку (інваріантність s₁₂). Розглянемо це питання докладніше.

Інтервал у рухомій системі відліку К' буде s'²=c²t'₁₂² -l'², l²=x₁₂²+ y₁₂²+z₁₂². Проведемо очевидні послідовні перетворення співвідношення c²t₁₂'-x₁₂'² із врахуванням перетворень Лоренця:

c²t₁₂'-x₁₂'² = c²²(t₁₂ - V x₁₂/c²)² - ²(x₁₂ - Vt₁₂)² =

c²²(t₁₂² + V² x₁₂² /c⁴ - 2 t₁₂ x₁₂V/c²) - ²(x₁₂² + V²t₁₂² - 2 x₁₂Vt₁₂) =

c²²(t₁₂²+ x₁₂²V² /c⁴ ) - ²(x₁₂²+V²t₁₂² ) = ²[c²t₁₂²+ x₁₂²V² /c²- x₁₂² -V²t₁₂²]=

[ t₁₂²(c²-V²)- x₁₂²(1- V² /c²)]= c² t₁₂² - x₁₂².

Остаточно маємо:

s'²=c²t'₁₂² -l'² = s² = c²t₁₂² -l² = inv.

Часоподібний інтервал. Якщо s₁₂² 0, то інтервал s₁₂ називається часоподібним, і для нього існує така система відліку K', в якій дві події відбуваються в одній точці простору x₁' = x₂', y₁' = y₂', z₁' = z₂', а час, що пройшов між ними t₁₂' = s₁₂/c.

Простороподібний інтервал. Якщо s₁₂² <0, то інтервал s₁₂ називається простороподібним, і для нього не існує система відліку K', в якій дві події відбуваються в одній точці простору, але існують системи відліку, в яких вони відбуваються одночасно.

3.5. Власний час

Власний час '  це час, який вимірюється годинником, що рухається разом з системою K'. Проміжок часу  між двома подіями в нерухомій системі відліку К за допомогою перетворень Лоренця можна записати через проміжок часу ' у системі K':

' = · .

Дійсно, якщо подія тривалістю ' = t₂' - t₁' відбувається в системі K' у точці з координатою х', то тривалість події у системі K буде рівна  = t₂ - t₁ = (t₂' + Vx'/c²) - (t₁' +Vx'/c²) = ',  = . Звідси видно, що'<. Наприклад, якщо власний час життя нестабільної елементарної частинки становить'=10^-16 с, то у нерухомій системі відліку (реєстраційній камері) час життя буде  = 10^-16·/і приV=0.99c = 10^-16/0.14 = 7.089·10^-16c. При V=0.999c  = 22.37·10^-16c.

3.6. Власна довжина

Власна довжина  це лінійний розмір L₀ тіла в тій системі відліку, де воно знаходиться в стані спокою. Довжина L₀ нерухомого тіла, виміряна в системі K' у напрямку її руху відносно системи K із швидкістю V у момент часу t₁=t₂=t, більша довжини тіла L, що виміряна в системі K.

Дійсно,

L₀ = x₂' - x₁' = (x₂ - Vt) - (x₁ - Vt) = (x₂ - x₁) = L,  = ,

L = L₀ .

Звідси видно, що L < L₀.

3.7. Основне рівняння релятивістської динаміки

3.7.1. Релятивістська маса

Наведемо без доведення вираз для маси тіла, що залежить від швидкості тіла, так називаної релятивістської маси

. (1)

У цьому виразі m₀- маса спокою, тобто маса нерухомого тіла,- відношення швидкості тілаVдо швидкості світла у вакуумі с.

3.7.2. Релятивістський імпульс

Імпульс визначається як добуток релятивістської маси на швидкість тіла

. (2)

3.7.3. Основне рівняння динаміки

Основне рівняння динаміки має вигляд такий як і в класичній динаміці, коли воно записується через імпульс

, (3)

де - релятивістський імпульс (2).

Підставимо в (3) вираз (2) і проведемо диференціювання

,,. (4)

У (4) поряд з доданком стоїть доданок, залежний у неявному вигляді від часу. Цей доданок становиться рівним 0 тоді коли вектор сили перпендикулярний швидкості. У цьому випадку сила є поперечною і під її дією змінюється лише напрямок швидкості і. При цьому вектор прискорення співпадає за напрямком з вектором сили. Таке співпадання буде і при паралельності векторів сили та швидкості.