Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
16836.rtf
Скачиваний:
57
Добавлен:
22.02.2016
Размер:
960.16 Кб
Скачать

2.4 Метод аппроксимации Фогеля

При определении опорного плана транспортной задачи методом аппроксимации Фогеля находят разность по всем столбцам и по всем строкам между двумя записанными в них минимальными тарифами. Эти разности записывают в специально отведенных для этого строке и столбце в таблице условий задачи. Среди указанных разностей выбирают минимальную. В строке (или в столбце), которой данная разность соответствует, определяют минимальная стоимость1.

Если минимальная стоимость одинакова для нескольких клеток столбца (строки), то для заполнения выбирают ту клетку, которая расположена в столбце (строке), соответствующем наибольшей разности между двумя минимальными стоимостями, находящимися в данном столбце (строке) .

2.5 Метод потенциалов как метод решения транспортной задачи

Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций. Общая схема отдельной итерации такова. По допустимому решению каждому пункту задачи сопоставляется число, называемое его предварительным потенциалом. Пунктам Аi соответствуют числа ui, пунктам Bj - числа vj. Они выбираются таким образом, чтобы их разность на k-й итерации была равна Сij - стоимости перевозки единицы продукции между пунктами Аi и Вj.

Если разность предварительных потенциалов для каждой пары пунктов Аi, Вj не превосходит Сij, то полученный план перевозок является решением задачи. В противном случае указывается способ получения нового допустимого плана, связанного с меньшими транспортными издержками. За конечное число итераций находится оптимальный план задачи1.

Этот первый точный метод решения транспортной задачи предложен в 1949 году Кантаровичем А. В. И Гавуриным М. К. по существу он является детализацией метода последовательного улучшения плана применительно к транспортной задаче. Однако в начале он был изложен вне связи с общими методами линейного программирования. Несколько позднее аналогичный алгоритм был разработан Данциом, который исходил из общей идеи линейного программирования. В американской литературе принято называть модифицированным распределительным методом. Метод потенциалов позволяет определить отправляясь от некоторого опорного плана перевозок построить решение транспортной задачи за конечное число шагов (итераций) .

Общий принцип определения оптимального плана транспортной задачи этим методом аналогичен принципу решения задачи линейного программирования симплексным методом, а именно: сначала находят опорный план транспортной задачи, а затем его последовательно улучшают до получения оптимального плана.

Составим двойственную задачу

1. ,- любые

2.

3.

Пусть есть план

Теорема (критерий оптимальности): Для того чтобы допустимый план перевозок в транспортной задаче был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа,, что

если , (6)

если . (7)

числа иназываются потенциалами пунктов отправленияи назначениясоответственно.

Сформулированная теорема позволяет построить алгоритм нахождения решения транспортной задачи. Он состоит в следующем. Пусть одним из рассмотренных выше методов найден опорный план. Для этого плана, в ко­тором базисных клеток, можно определить потенциалыитак, чтобы выполнялось условие (6). Поскольку система (2)-(4) содержит уравнений инеизвестных, то одну из них можно задать произвольно (например, приравнять к нулю). После этого изуравнений (6) определяются остальные потенциалы и для каждой из свободных клеток вы­числяются величины. Если оказалось, что, то план оп­тимален. Если же хотя бы в одной свободной клетке, то план не яв­ляется оптимальным и может быть улучшен путем переноса по циклу, соот­ветствующему данной свободной клетке.

Циклом в таблице условий транспортной задачи, называется ломаная линия, вершины которой расположены в занятых клетках таблицы, а звенья - вдоль строк и столбцов, причем в каждой вершине цикла встречается ровно два звена, одно из которых находится в строке, а другое - в столбце. Если ломанная линия, образующая цикл, пересекается, то точки самопересечения не являются вершинами1.

Процесс улучшения плана продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия (7).