5. Проблема розміру системи. Переваги та недоліки модельного обмеження великих систем.

Суттєвим обмеження при описі систем з великою кількістю частинок є скінчений розмір системи. Під великими розуміють системи, які містять мільйони частинок (наприклад системи на атомному рівні). У великих системах обчислення характеристик важливе для термодинамічної границі, коли кількість частинок прямує до нескінченності. Проте комп’ютерні експерименти дозволяють моделювати системи малого розміру порівняно з термодинамічною границею, тому стають можливими ефекти скінченності розмірів системи. Для їх зменшення використовуються граничні умови, що, зрозуміло, змінює ряд властивостей системи.

Однак, скінченність розмірів системи має і позитивні моменти, оскільки вона дозволяє обчислювати флуктуації термодинамічних параметрів (вони помітні саме для малих систем).

Варто відмітити, що не завжди кількість описаних ступенів вільності обмежує доступний об’єм пам’яті. Адже для кожного ступеню вільності використовується чисельний алгоритм, тому іноді час проведення комп’ютерного експерименту для надто великих систем стає недосяжним (місяці і роки роботи програми). У такому випадку теж варто обмежувати систему, використовуючи граничні умови.

6. Проблеми обмеження розмірів системи. Граничні умови з фіксованими стінками.

Практичну цінність при моделюванні газів, рідин, твердих тіл мають дослідження систем, що складаються з великої кількості частинок порядку . Але можливості сучасних ЕОМ не дозволяють описати таку кількість частинок, а тим більше застосувати для неї чисельний алгоритм (неможливо уявити таку швидкодіючу обчислювальну машину, яка за реальний час проведення машинного експерименту могла б зробити достатню кількість кроків в часі, щоб отримати достовірний результат, адже на кожному кроці необхідно виконати чисельний алгоритм для кожної частинки системи). Можна запропонувати провести моделювання макроскопічної системи помістивши частинки в резервуар зфіксованими стінками: якщо частинка перетинає стінку, то її нова координата визначається дзеркальною симетрією старої координати відносно стінки, а її складова швидкості, перпендикулярна до стінки, змінює лише напрям на протилежний (рис). На жаль, це не є вирішенням проблеми з двох основних причин: 1) енергія системи не залишається постійною, оскільки при відбиванні від жорсткої стінки потенціальна енергія (положення частинки) змінюється без будь-яких змін кінетичної (); 2) частка частинок поблизу стінок в макросистемі мізерно мала, в той час як у мікросистемі (обраний резервуар) одного порядку з загальною кількістю частинок. Наприклад, якщо уявити куб (елемент кристалічної решітки), ребро якого складається з 10 маленьких кубиків (примітивних комірок), то на поверхні міститься 488 кубиків, всього в кубі - 1000, отже, майже половиною описаних кубиків потрібно знехтувати.

7. Періодичні граничні умови.

Одним зі способів мінімізувати поверхневі ефекти і більш точно змоделювати властивості макроскопічної системи є використання періодичних граничних умов Борна-Кармана. Спочатку розглянемо одновимірну модель, що містить частинок. Уявимо, що на місці-ої частинки знаходиться перша частинка, на місці-ої друга частинка і т.д. Таким чином, отримуємо систему, що містить нескінченну кількість частинок, в кожної з яких є сусіди ліворуч і праворуч, і водночас, оскільки частинки повторюються з періодом, то розрахунки достатньо проводити лише длячастинок. Інакше, використання періодичних граничних умов еквівалентно звертанню в кільце (стик по жорстких стінках).

У випадку двовимірної моделі можна уявити прямокутник, у якого протилежні сторони з’єднані так, що він перетворюється в поверхню тора – якщо частинка перетинає сторону, то вона входить з протилежної сторони. Отже, для моделювання у -вимірному просторі періодичні граничні умови необхідно використовувати окремо для кожної осі.