Последнее изменение: суббота 31 Январь 2004, 11:52

ЗАДАЧА 1. ПРОКЛАДКА КОММУНИКАЦИЙ

В задачи отдела логистики входят функции по оптимальному размещению различного рода коммуникаций. В различных случаях дополнительные условия размещения могут быть разными, но в большинстве ситуаций критерием оптимальности является суммарная длина размещаемых коммуникаций.

Дополнительные размышления

Такого рода задачи имеют общую смысловую модель: дана плоскость и на ней N объектов. Заданы расстояния между объектами. Соединить объекты отрезками между собой так, чтобы суммарная длина отрезков была минимальной.

Необходимые уточнения

1. Допустим, что объекты относительно малы по сравнению с расстояниями между ними. Поэтому величиной объектов можно пренебречь и изображать их в виде точек.

2. Расстояния между объектами могут быть заданы двумя способами: в натуральном виде (как число метров, километров и т.д.) или опосредованно через задание положения объекта относительно какой-либо точки отсчета. Во втором случае вводится подходящая система декартовых координат и положение i-го объекта, где i = 1, ..., N, задается парой координат (x[i],y[i]). Условие, что страна плоская, означает, что d[i,j] (расстояние от i-го объекта до j-го) задается по формуле Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов).

3. Подразумевается транзитивность связи: если i-й объект связан с j-м объектом, а j-й с k-м, то i-й связан с k-м.

4. Подразумевается или указано явно, что коммуникации могут разветвляться только на территории связываемых объектов.

5. И, наконец, на основе здравой логики можно утверждать, что в оптимальном решении не будет циклов. Если бы в минимальном решении был цикл, скажем, (i, j, k, l, i), то можно было бы убрать одно звено цикла, скажем, (j, k), причем связь между j и k сохранилась бы по другой стороне цикла, по пути (j, i, l, k). Но, убирая одно звено, мы бы уменьшили минимальный цикл, что невозможно.

 Постановка задачи

После такой конкретизации можно вводить графовую модель, в рамках которой объекты становятся вершинами, а возможные связи между ними – ребрами. Расстояния между объектами заданы в виде таблицы – она в точности совпадает с матрицей смежности, задающей произвольный граф. В терминах теории графов такая задача независимо была поставлена и решена двумя математиками: Примом (Prim)и Краскалом (Kruskal).

Постановка Прима:

Дан полный граф с N вершинам, x[i] , y[i] - координаты вершин. Длины ребер определяются по формуле Пифагора. Найти остовное дерево минимальной длины.

Постановка Краскала:

Дан граф с N вершинами, длины ребер заданы матрицей D = {d[i,j]}, где i,j = 1, ..., N. Найти остовное дерево минимальной длины.

Постановка Краскала отличается тем, что расстояния между вершинами заданы явно, т.е. являются любыми произвольными положительными числами d[i,j], i,j = 1, ..., N. В этом случае может не работать так называемое правило треугольника, согласно которому d[i,j] <= d[i,k] + d[k,j]. На плоскости, если объекты соединяются прямыми, так оно и есть (кратчайшее расстояние между объектами равно длине соединяющего их отрезка, и путь, пролегающий через третий объект, в лучшем случае будет равен длине этого отрезка – если третий объект находится на самом отрезке). Однако в реальности коммуникации прокладываются с учетом местности, и вполне может оказаться, что данное правило не работает, потому как за расстояние берется не абсолютная величина, характеризующая географическую удаленность, а длина связывающих коммуникаций. Кроме того в постановке Краскала для некоторых пар индексов возможна ситуация когда d[i,j]=бесконечности, что означает отсутствие ребра, т.е. рассматривается любой граф, а не только полный. В реальности именно так и бывает чаще всего, и среди причин этого помимо уже имеющихся каналов связи (по которым класть дополнительные коммуникации чаще всего дешевле) могут выступать ландшафтные особенности местности (водоемы, качество грунта) или административные запреты.

Обе эти задачи решаются одним алгоритмом, причем весьма примитивного характера. В литературе его часто называют «жадным». Его суть в последовательном выборе самых выгодных (в данном случае коротких) ребер. В обычной жизни и в большинстве графовых задач за такую политику приходится жестоко расплачиваться на последних шагах. Удивительно, но в задаче Прима-Краскала, которая не кажется особенно простой, жадный алгоритм дает точное оптимальное решение.

АЛГОРИТМ КРАСКАЛА

Необходимая теоретическая информация

Дерево на N вершинах имеет N-1 ребер. Т.к. решением является остов графа, значит в него тоже войдут N-1 ребер.

Основная идея

Каждое ребро надо выбирать «жадно» так, чтобы не возникали циклы. Выбранные таким образом ребра образуют искомое остовное дерево.

Возможные сложности

Как конкретно следить, чтобы новое ребро не образовывало цикла со старыми? Для ручной реализации алгоритма при небольшом количестве объектов можно обойтись визуальным наблюдением. Однако в случае если таких объектов много (более 20) или если решение отыскивается автоматизированным образом (при помощи соответствующей программы) нужен строгий алгоритм, обеспечивающий отсутствие циклов из выбираемых ребер графа.

Способы преодоления

До построения дерева окрасим каждую вершину v[i] в отличный от других цвет i. Получится N цветов. При выборе очередного ребра, скажем u(i,j), будем руководствоваться правилом: i и j должны иметь разные цвета. Когда же выбор ребра u(i,j) осуществлен, вершина j а также все вершины, окрашенные в ее цвет (т. е. ранее с ней соединенные), перекрашивается в цвет i. Таким образом, выбор вершин разного цвета обеспечивает отсутствие циклов. После выбора N-1 ребер все вершины получают один цвет.

Формальное описание алгоритма Краскала

Ввод:

Ввести матрицу расстояний D = {d[i,j]}, i,j= 1,...,N

Инициализация:

Приписать разные цвета всем вершинам: color[i]:=i;

Задать начальную длину дерева lenght:=0.

Общий шаг:

1.В цикле по k от 1 до N-1 сделать следующее:

1.1.Запустить двойной цикл: внешний по index_i от 1 до N-1, внутренний по index_j от index_i до N (обход матрицы расстояний, которая в данном случае считается симметричной, выше главной диагонали). В теле цикла найти ребро минимальной длины между вершинами разного цвета, допустим это ребро u(i,j). Запомнить номера объектов, которые связывает это ребро, как элементы двумерного массива (2 строки: начало и конец, N-1 столбцов: по 1 на каждое ребро) result[k,1]=i, result[k,2]=j.

1.2.Перекрасить вершины. Для этого присвоить new_color:=color[i]; old_color:=col[j] и в цикле по M от 1 до N выполнить: if color[M]=old_color then color[M]:=new_color.

1.3. Нарастить длину дерева: lenght:= lenght + d[i,j].

2. вернуться к п.1 (конец цикла по k)

Вывод:

Вывести массив Result[N-1,2] </i>

Варианты применения алгоритма

В данной редакции в п.1.3. вычисляется также длина остовного дерева. Если задана стоимость Cost прокладки 1 единицы коммуникаций, то помимо таблицы с номерами соединяемых объектов, можно вывести значение Cost*Length, которое и будет соответствовать минимальной стоимости коммуникаций.

Анализ сложности

Как правило, эффективность алгоритма оценивается через требуемую для его реализации память и количество операций (трудоемкость). В варианте Краскала надо хранить N2/2 расстояний. В обоих вариантах удобно хранить 2(N-1) номеров вершин, т. е. N-1 ребер ответа. Всего требуется памяти O(N2), что необременительно. Для нахождения текущего минимального ребра надо просмотреть N(N-1)/2 чисел и сделать это надо N-1 раз, так что временная сложность алгоритма O(N3). Задача поиска остовного дерева минимальной длины относится к просто и точно решаемым.