2.1.3.3. Метод січних
Метод
січних подібний до методу хорд, тільки
точки (х0
, F(х0))
і (х1
, F(х1))
взяті з одного боку від кореня рівняння
F(x)=0.
Геометрична ін-терпретація методу
пред-ставлена на рис.1.6.
В якості початко-вого наближення обира-ємо точки (х0 , f(x0)) та (х1, f(x1)) .
Рис. 1.6. Знаходження кореня за методом січних.
Через точки (х0
, f(x0))
та (х1
, f(x1))
проводимо січну до графіку функції,
яка перетинає вісь ох
в точці (х2, 0).
Перевіряємо виконання умови
,
якщо вона не виконується, проводимо
січну через точки (х1
, f(x1))
та (х2
, f(x2)),
знаходимо точку перетину січної з віссю
ох (точка
(х3, 0))
і перевіряємо виконання чергової умови
,
і так до виконання умови виходу з
ітераційного процесу.
Для математичного опису методу січних отримаємо формулу прямої, що проходить через дві точки (х0 , f(x0)) та (х1 , f(x1)) :
(1.9)
Враховуючи, що f(xn+1) = 0 отримаємо загальну формулу для методу січних:
(1.10)
Метод січних має досить високу збіжність до розв‘язку у випадку, коли F(x)=0 - гладка функція, але в процесі розв’язання деяких рівнянь швидкість збіжності може знижатись (наприклад, на ділянках функції, близьких до функції х = const).
2.1.3.4. Метод дотичних (Ньютона)
Метод
дотичних базується на заміні функціїF(x)=0
у точці
початкового наближення х0
дотичною, яка при перетині з віссю ох
в точці (х1, 0)
дає перше наближення. У цьому методі
Ньютон замість інтерполяції використав
екстраполяцію, що знаходиться за
допомогою дотичної у визначеній точці.
Геометрична інтерпретація методу
дотичних (Ньютона) показана на рис. 1.7.
В якості початкового наближення обираємо
абсцису х0
=
b.
У точці (х0 , f(x0))
про-водимо
дотичну до графіку функції, яка перетинає
вісь ох
в точці (х1, 0).
Рис. 1.7. Знаходження кореня за методом дотичних.
Перевіряємо
виконання умови
,
якщо вона не виконується, проводимо
дотичну в точці (х1
, f(x1)),
знаходимо точку перетину дотичної з
віссю ох
(точка
(х2, 0))
і перевіряємо виконання чергової умови
,
і так до виконання умови виходу з
ітераційного процесу.
Для математичного опису методу дотичних отримаємо формулу дотичної, що проведена в точці (х0 , f(x0)) і має кутовий коефіцієнт f'(x0):
(1.11)
У точці перетину цієї дотичної з віссю ох (точка (х1, 0)) y = 0, тому формулу 1.11 можемо записати у вигляді:
(1.12)
Для загального випадку формулу Ньютона можемо записати у вигляді:
(1.13)
Метод дотичних (Ньютона) має високу збіжність до розв‘язку, але час виконання ітерації дещо збільшується за рахунок необхідності обчислення похідної f'(xk).
2.1.3.5 Метод простої ітерації
Замінимо рівняння F(x)=0 рівносильним рівнянням:
x=f(x) (1.14)
Припустимо w – корінь рівняння, а x0 – отримане будь-яким способом нульове наближення до кореня w. Підставимо x0 в праву частину рівняння (1.14), отримаємо x1=f(x0); x2=f(x1); … ; xn=f(xn-1). Цю числову послідовність називають послідовністю наближень чи ітераційною послідовністю. Послідовність наближень може бути збіжною чи розбіжною.
Теорема: ітераційна послідовність буде збіжною при будь-якому початковому значенні з інтервалу x0[a; b], якщо для рівняння x=f(x), що має єдиний розв’язок на проміжку [a, b], виконуються умови:
f(x) визначена і диференційована на [a, b];
f(x) визначена для всіх x[a, b];
існує таке дійсне q, що
для всіхx[a;
b].
Умови теорема є достатніми, але не являються необхідними, тому і при їх невиконанні ітераційна послідовність може виявитися збіжною до розв‘язку.
Швидкість збіжності характеризується нерівністю (умова Ліпшиця):
(1.15)
Умовою припинення
ітерацій є
.
Для забезпечення
умови збіжності ітераційного процесу
проведемо перетворення рівняння
до ітераційного вигляду:
x
= x
- mF(x) (1.16)
З умов виконання
третьої умови теореми припустимо, що
,
тоді
f`(x)= 1 – mF'(x) < 1 (1.17)
достатньо підібрати значення m так, щоб для всіх x[a, b] значення добутку mF'(x) < 1. Тобто m = 1/(max(F'(x))) для x[a, b].