2.1.2. Етап 1: відокремлення коренів

Відокремлення коренів – вста-новлення „тісних” проміжків, кожен з яких вміщує тільки один корінь. Най-більш наочно про демонструвати цей етап можливо графічно. Враховуючи, що дійсні корені рівняння (1.1) – це точки перетину графіка функції F(х) з віссю абсцис, досить побудувати графік F(х) і відмітити на осі OX відрізки, кожен з яких вміщує по одному кореню.

Рис. 1.1. Графічний спосіб відокремлення коренів.

Побудову графіка вдається значно спростити, якщо замінити рівняння (1.1) рівносильним йому рівнянням F₁(х)= F₂(х). В цьому випадку будують графіки функцій F₁(х) та F₂(х), потім на вісі OX відмічають відрізки, що вміщують абсциси точок перетину цих графіків.

Рис. 1.2. Варіанти розв’язання рівняння при заміні функції рівносильними функціями F₁(х) та F₂(х) на проміжку [ 1, 3 ].

Зустрічаються випадки, коли не тільки на першому етапі – при виділенні проміжків, що вміщують корені рівняння, а і при подальшому розв’язанні рівняння розрахунки проводять не за основною функцією F₁(x), а за наближеною до неї функцією F₂(x) (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Реальна функція F₁(x) та її наближений аналог-функція F₂(x).

При написанні програми, яка виконує відокремлення коренів графічний спосіб не є зручним, тому застосовують найпростіший алгоритм відокремлення коренів: проміжок, на якому відшукуються розв’язки, ділять рівномірно на невеликі відрізки, на кінцях кожного відрізку розраховують значення функції, якщо функція на кінцях відрізку змінює знак – відрізок містить корінь. Величина відрізків поділу залежить від коефіцієнта гладкості функції.

Для відділення коренів можемо скористатися теоремою:

Якщо функція у = F(х) неперервна на інтервалі [a,b] і якщо F(а) та F(b) мають протилежні знаки, тобто F(а) F(b) < 0, то F(х) має хоча б один дійсний корінь на інтервалі [a,b]. Якщо при цьому F(х) має першу похідну, що не змінює знак на інтервалі [a,b], то корінь єдиний.

2.1.3. Етап 2: уточнення коренів.

2.1.3.1. Метод половинного ділення.

Припустимо, що рівняння (1.1) має на відрізку [a, b] єдиний корінь. Функція F(x) на цьому відрізку неперервна. Поділимо відрізок [a, b] точкою навпіл (рис. 1.4). Якщо F(c)  0, то вибираємо відрізок [a, с] чи [с, b], на якому функція змінює знак, тобто F(а) F(с) < 0 чи F(с) F(b) < 0. Для подальших поділів використовуємо цей відрізок. На кожному кроці процесу половинного ділення відрізок зменшується вдвоє.

Рис. 1.4. Знаходження кореня рівняння методом половинного ділення.

Ітераційний процес продовжуємо, поки довжина відрізка не стане менше заданої точності :

|a – b| <  (1.6)

2.1.3.2. Метод хорд.

Даний метод ґрунтується на лінійній інтерполяції функції F(x)=0 по двом значенням, що мають протилежні по знаку значення функції F(a) та F(b). Метод хорд швидше збігається до розв‘язку навіть при досить малих значеннях . Потрібно знайти корінь рівняння F(x)=0 на проміжку [a; b], і якщо відомо, що F(x) неперервна на [a; b] і F(a)∙F(b) < 0. Крім того, перша F'(x) і друга F''(x) похідні функції F(x) зберігають на проміжку [a; b] свій знак. Замінимо функцію F(x) лінійною функцією, яка проходить через вузлові точки (a , F(a)) і (b , F(b)) :

 (1.7)

Лінійна функція P(x) на кінцях відрізку [a; b] приймає такі ж значення, як і функція F(x)=0.

Рис. 1.5. Знаходження кореня за методом хорд.

В якості першого наближення при знаходженні кореня функції F(x)=0 візьмемо точне значення кореня функції P(x)=0, тобто х₁, яке розрахуємо з рівняння:

 (1.8)

При подальшому дослідженні відрізків [a; х₁] та [х₁; b], виберемо той, на якому функція змінює знак. З рис. 1.5 бачимо, що таким відрізком є [a; х₁] . Для вибраного відрізка побудуємо лінійне наближення функції за формулою 1.7, виконаємо розрахунки кореня для лінійного наближення за формулою 1.8. Розрахунки припинимо, коли .