2.1. Розв‘язання функціональних рівнянь з однією змінною.

2.1.1. Постановка задачі

Важливу задачу прикладного аналізу представляє розв’язок функціональних рівнянь з однією змінною, які застосовуються при описі математичних моделей у фізиці, механіці, економіці та інших науках та прикладних галузях.

У загальному вигляді функціональне рівняння записується у вигляді:

(1.1)

де F(х) визначена і неперервна на скінченому чи нескінченному інтервалі [a,b].

Число називається коренемr кратності, якщо воно задовольняє рівнянням:

(1.2)

Однократний корінь називається простим.

Два рівняння F(х) та G(х) називаються рівносильними, якщо будь-який розв’язок кожного з них є розв’язком і для другого.

Функціональні рівняння поділяються на алгебраїчні, якщо функція є алгебраїчною (наприклад: ), та трансцендентні, якщо функція вміщує логарифмічні, тригонометричні та інші неалгебраїчні функції (наприклад:). Алгебраїчні рівняння поділяються на лінійні й нелінійні. У лінійних рівняннях змінна має лише перший ступінь, а у нелінійних – змінна представлена у другій чи вищих ступенях.

Шляхом алгебраїчних перетворень із будь-якого алгебраїчного рівняння можна отримати рівняння в канонічній формі:

(1.3)

де n – степінь алгебраїчного рівняння.

Кожне алгебраїчне рівняння має хоча б один дійсний корінь чи пару комплексних.

При зведенні алгебраїчного рівняння до канонічної форми отримаємо ті ж корені, що і для початкового рівняння, але при цьому можуть з’явитися і сторонні корені. Наприклад:

(1.4)

Якщо функція F(х) не є алгебраїчною, то рівняння (1.1) називається трансцендентним. Наприклад:

(1.5)

В деяких випадках розв’язування трансцендентних рівнянь зводиться до розв’язання алгебраїчних.

Більшість функціональних рівнянь з однією змінною не розв’язуються точними методами шляхом аналітичних перетворень. До того ж, більшість функціональних рівнянь є математичними моделями певних об‘єктів чи явищ, вказати точні параметри (коефіцієнти) яких неможливо. Тому на практиці для їх розв’язання застосовують чисельні методи, більшість з яких є наближеними і дозволяє знайти розв‘язок з певною наперед заданою точністю. У теорії чисельних методів розв’язати рівняння – значить встановити, чи має воно корені на вказаному проміжку, з‘ясувати кількість коренів, відшукати значення всіх виявлених коренів із заданою точністю, тобто корені мають знаходитися у -околі від точного розв‘язку.

Задача чисельного знаходження дійсних і комплексних коренів рівняння зазвичай складається з двох етапів:

• відокремлення коренів – знаходження достатньо малих околів у заданій області, в кожному з яких знаходиться тільки один корінь.

• уточнення коренів – обчислення коренів із заданим ступенем точності () в деякому околі.

Для знаходження дійсних коренів рівняння (1.1) застосовуються наступні чисельні методи:

• метод половинного ділення (бісекції);

• метод хорд;

• метод січних;

• метод дотичних (Ньютона);

• комбінований метод;

• метод Рибакова, знаходження всіх дійсних коренів;

• метод Ейткена-Стеффенсона;

• метод зворотної квадратичної інтерполяції-екстраполяції;

• метод порозрядного наближення;

• метод простої ітерації.

При застосуванні вищенаведених методів важливо забезпечити збіжність їх до розв’язку. По швидкості збіжності до розв‘язку розрізняють:

- методи поступового обмеження інтервалу пошуку кореня (методи половинного ділення), ці методи повільно сходяться до розв‘язку;

- методи апроксимації функції, які передбачають заміну початкової функції більш простою, та проведення обчислень з використанням спрощеного опису функції (метод хорд, метод Ньютона), дані методи швидше сходяться до розв‘язку.

Швидкість збіжності метода характеризує відношення , яке менше одиниці. У відношенні, дех – точне значення розв‘язку, х_k – чергове наближення до кореня. Чим менша величина даного відношення, тим швидше збігається метод до розв‘язку.