§ 4. Вільне падіння тіл. Прискорення вільного падіння

Вільне падіння тіл. Прискорення вільного падіння тіл. Таблиця кінематичних рівнянь. Падіння тіл у повітрі. Приклади розв’язування задач.

Вільне падіння тіл. Яскравим прикладом рівноприскореного руху є вільне падіння тіл – рух із постійним прискоренням. Під час падінні будь-якого тіла на землю зі стану спокою його швидкість зростає. Прискорення, надаване тілу земною кулею, спрямоване вертикально вниз. Якщо тіло кинути вгору з деякою початковою швидкістю, то воно з часом падає на землю, спочатку зменшуючи швидкість до нуля у верхній точці траєкторії і падатиме, збільшуючи швидкість.

Тривалий час вважали, що Земля надає різним за масою тілам різні прискорення: важчі тіла падають швидше, легші – падають із меншою швидкістю – з меншим прискоренням. Прості спостереження ніби підтверджують це.

Справді, легка пушинка, перо птаха чи папірець падають значно повільніше, ніж камінь чи залізна кулю. Саме тому з часів видатного мислителя античності Арістотеля (жив у ІV ст. до н.е.) вважалося, що прискорення, надаване Землею тілу залежить від його маси.

Тільки Галілео Галілею (1564 – 1642) вдалося дослідним шляхом довести, що насправді це не так. Треба було враховувати опір повітря, бо воно спотворює картину вільного падіння тіл, яку можна було б спостерігати за відсутності земної атмосфери. Спостерігаючи падіння різних тіл (гарматне ядро, мушкетна куля тощо) із знаменитої похилої Пізанської вежі (мал. 1.35), Галілей довів, що земна куля надає всім тілам одного і того ж прискорення.

Через відсутність тоді точних годинників Галілей не мав змоги вимірювати досить точно малі інтервали часу падіння тіл. Учений здогадався, що падіння можна «уповільнити», скочуючи кульки з похилого жолоба. Кут нахилу жолоба поступово збільшували і вимірювали час (мал. 1.36). Було встановлено, що значення прискорення збільшується, але із зростанням кута нахилу жолоба залишається сталим для кожного випадку нахилу і не залежить від маси тіл. Далі було зроблено висновок: якщо кут нахилу довести до 90°, (тобто до вертикального положення жолоба), то сталість прискорення не зміниться, бо не з’являться ніякі чинники, які б впливали на характер руху тіла. Отже було доведено: земна куля надає всім без виключення тілам одне і те саме прискорення. Якщо опір повітря відсутній, то поблизу поверхні Землі прискорення падаючого тіла стале. Цей факт уперше був встановлений Галілеєм.

Простим і переконливим є дослід із так званою трубкою Ньютона (мал. 1.37).

У досить широку скляну трубку завдовжки 1 м і запаяну з одного кінця вміщують три різні предмети, наприклад, свинцеву дробинку, шматок корка та пір’їну. Другий кінець трубки закривають пробкою з краном. Якщо тепер трубку повернути так, щоб ці тіла падали, то швидше за всіх впаде свинцева дробинка, за нею корок і, нарешті, плавно впаде пір’їна (мал. 1.37, а). Потім насосом відкачують повітря з трубки (мал. 1.37, б) і повторюють дослід. Тепер ці тіла знову падають і досягають трубки одночасно (мал. 1.37, в).

Рух тіла під впливом лише земного тяжіння називають вільним падінням.

Відповідно і прискорення, яке надає земна куля всім тілам, називають прискоренням вільного падіння.

Прискорення вільного падіння. Його модуль позначають літерою g (першою літерою латинського gravitas – тяжіння). Вектор прискорення g напрямлений по вертикалі вниз. Коли тіло падає, його швидкість зростає, бо напрями векторів швидкості і прискорення співпадають. Швидкість тіла, кинутого з певною швидкістю вертикально вгору, з часом зменшується, бо прискорення напрямлене вертикально вниз.

Прискорення вільного падіння дещо змінюється залежно від географічної широти місця на поверхні Землі. Так, на екваторі g = 9,78 м/с², на полюсах Землі g = 9,83 м/с². Ця різниця значень зумовлена обертанням Землі навколо своєї осі. Для Києва вимірювання дають таке значення прискорення вільного падіння: g ≈ 9,81 м/с². Для розв’язування багатьох задач можна вважати, що прискорення вільного падіння поблизу поверхні Землі дорівнює 9,81 м/с² або й 10 м/с².

На Місяці нема атмосфери, тому астронавти спостерігали синхронне падіння предметів, що відбувалось з однаковим прискоренням.

Прискорення вільного падіння на Місяці приблизно у 6 разів менше, ніж на Землі:

g _m = 1,6 м/с²

Таблиця кінематичних рівнянь. Оскільки вільне падіння і рух тіла, кинутого вертикально вгору, є рівноприскореними, то всі кінематичні рівняння такого руху, розглянуті раніше, справедливі і для цих випадків. Запишемо їх до порівняльної таблиці (табл. 2), обравши для запису вісь Y (мал. 1.38) та врахувавши, що прискоренню а відповідає g, а переміщенню S – висота h. Тож, врахувавши знаки проекцій, одержимо:

Таблиця 2

Кінематичне рівняння	Тіло падає з висоти h	Тіло кинуте вертикально вгору
	V = Vo + gt	V = Vo – gt
.	Час падіння , при Vo = 0	Час підйому
	Швидкість під час падіння	Висота підйому

Падіння тіл у повітрі. У повітрі тіла падають інакше, ніж у вакуумі. На тіло, що падає у повітрі, діє сила опору повітря. На початку вільного падіння в повітрі тіло падає з прискоренням вільного падіння, оскільки сила опору повітря надзвичайно мала і нею можна знехтувати. Коли сила опору повітря зі зростанням швидкості тіла стає рівною силі тяжіння, прискорення тіла стає рівним нулю. Поблизу Землі тіла, що падають із великої висоти, мають сталу швидкість.

Легкі тіла з великою площею поверхні (сніжинки, листя дерев) через короткий проміжок часу починають рухатись у повітрі рівномірно з невеликою швидкістю.

Приклади розв’язування задач.

Задача 1.

Визначити глибину колодязя, якщо вільно опущений у нього камінь досяг поверхні води за 2 с. Яку швидкість матиме цей камінь в момент зіткнення з поверхнею води?

t = 2 с Розв’язування.

h – ?

V_t – ?

Пов’яжемо систему координат із поверхнею Землі, спрямувавши вісь координат Y до дна колодязя. Відстань h дорівнюватиме:

, або .

Швидкість V_t = gt = 9,8 м/с² ∙ 2 с = 19,6 м/с.

Задача 2. Тіло кинуто вертикально вгору зі швидкістю 20 м/с. Визначити висоту та час його підйому. Опором повітря знехтувати.

V₀ = 20 м/с

h – ?

t – ?

Пов’яжемо систему координат Υ з поверхнею Землі. Висота підйому тіла вгору дорівнюватиме

.

Кінцева швидкість підйому вгору v дорівнюватиме V = 0. Час підйому можна знайти за формулою кінцевої швидкості:

V = V_o – gt, звідки V_o = gt, а час t дорівнює /

Висота підйому дорівнюватиме:

.

? Запитання для самоперевірки

1. Що називають вільним падінням тіл?

2. Чи однаковим буде час вільного падіння з однієї і тієї самої висоти?

3. Чому дорівнює прискорення вільного падіння на поверхні Землі?

4. Запишіть формули, що пов’язують величини h, g, v, t, які характеризують вільне падіння.

5. Галілей давав можливість кулям різної маси вільно падати з Пізанської вежі заввишки майже 48 м. Кулі досягали поверхні Землі майже одночасно приблизно за 3,1 с. Яке значення прискорення вільного падіння куль одержав Галілей?