Раздел 3 Динамика.

Лекция 7 Динамика материальной точки.

(2 часа, 1 семестр, 2 курс)

Вопрос 7.1 Законы динамики материальной точки

Динамические уравнения движения материальной точки устанавливают связь между координатами точки и действующими на нее силами. Эти уравнения являются следствием из основного закона динамики материальной точки: произведение массы материальной точки m на ее линейное ускорение равно геометрической сумме сил, действующих на точку,

,

где –i-ая сила, действующая на точку. Здесь и далее суммирование производится по всем значениямi.

Проецируя векторное равенство на оси декартовой системы координат, получаем динамические уравнения:

,

где a_x,a_y,a_z– проекции ускорения материальной точки на оси координат;F_xi,F_yi,F_zi– проекцииi-й силы. Проекции ускорения связаны с проекциями скорости и координатами точки следующим образом:

При естественном способе описания движения динамические уравнения движения материальной точки будут иметь вид

,

где a_,a_n,a_b– касательная, нормальная и бинормальная составляющие ускорения точки соответственно (a_b= 0). Касательное и нормальное ускорение точки определяются следующим образом:

,

где s(t) – дуговая координата точки; ρ – радиус кривизны траектории точки.

Вопрос 7.2 Задачи динамики материальной точки

Динамические уравнения движения позволяют решать две основные задачи динамики материальной точки.

Прямая задача динамики материальной точки: зная массу материальной точки, действующие на нее силы, определить параметры ее движения – ускорение, скорость, закон движения и траекторию.

Обратная задачадинамики материальной точки: при заданной массе материальной точки и законе ее движения определить силы, действующие на эту точку.

Решение задачи с применением основного закона динамики материальной точки рекомендуется осуществлять по следующей методике:

1 Сделать рисунок, изображая рассматриваемое тело в произвольном положении. Указать векторы сил, действующих на тело. Начала векторов сил разместить в центре тяжести тела, принимаемого за материальную точку.

2 Выбрать оси координат. При этом:

• Если точка движется прямолинейно, то одну из осей декартовой системы координат целесообразно направить по движению точки.

• Если точка движется по известной криволинейной траектории, то целесообразно выбрать естественные оси. Первую ось (касательную) направляют по направлению скорости точки. Вторую ось (главную нормаль) – к центру кривизны траектории. Ось бинормаль – перпендикулярно плоскости траектории.

• Если траектория движения неизвестна, то выбирают декартовы оси так, чтобы они составляли известные или легко определяемые углы с векторами сил, действующих на точку. Начало отсчета помещают в начальное положение точки.

3 Проецируя векторы сил на оси координат, составить динамические уравнения движения.

4 Решить полученные уравнения и определить искомые величины.

Вопрос 7.3 Теоремы динамики материальной точки

Общие теоремы динамики представляют собой преобразованные выражения основного закона динамики материальной точки. К ним относятся: теорема об изменении количества движения материальной точки, теорема об изменении момента количества движения материальной точки, теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.

а) Количество движенияматериальной точки – векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость

.

Теорема об изменении количества движения материальной точки формулируется так: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на точку сил за тот же промежуток времени,

,

где  – скорость точки в начальном и конечном положениях соответственно.Импульс силыза некоторый промежуток времениравен интегралу от силы по времени от нуля до:

При решении задач векторное выражение теоремы (3.1) проецируется на оси координат.

б) Моментом количества движенияматериальной точки относительно некоторого центраOназывается векторная величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора точкина вектор ее количества движения

.

Суть теоремы об изменении момента количества движения материальной точки формулируется так: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно центра O равна геометрической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно того же центра

.

в) Кинетическая энергияматериальной точки – скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости,

.

Теорема об изменении кинетической энергии формулируется следующим образом: изменение кинетической энергии материальной точки при перемещении ее из начального положения в конечное равно сумме работ действующих на нее сил на том же перемещении