68
.pdf
7) Энергия как количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Кинетическая энергия механической системы. Теорема о кинетической энергии материальной точки и системы материальных точек. Связь кинетической энергии с импульсом при нерелятивистском движении.
Энергия — скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения и взаимодействия материи, мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Введение понятия энергии удобно тем, что в случае, если физическая система является замкнутой, то её энергия сохраняется во времени.
Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек в выбранной системе отсчёта. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения
Кинетическая энергия материальной точки выражается половиной произведения массы
этой точки на квадрат ее скорости. |
|||||||
т1). е. |
2 |
= = |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Теорему о кинетической энергии материальной точки можно выразить в трех видах: |
|||||||
2) |
дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
||
силы, действующей на эту точку; |
|||||||
т. е. производная2 |
= |
|
= |
|
|||
|
|
|
|
по времени от кинетической энергии материальной точки равна |
|||
3) |
|
2 − 02 |
= |
( ) |
|
||
|
|
||||||
мощности силы, действующей на эту точку: |
|||||||
т. е. |
2 |
2 |
|
( 0) |
|
||
|
изменение кинетической энергии материальной точки на конечном пути равно работе |
||||||
силы, действующей на точку на том же пути.
Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех тел,
входящих в систему. Для определённой таким образом величины справедливо утверждение: Изменение кинетической энергии системы равно работе всех внутренних и внешних сил, действующих на тела системы− .=
2и 1 — значения кинетической энергии2 системы1 в моменты времени 2и 1 соответственно.
Если имеется материальная точка массой m , двигающаяся со скоростью v и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором r, то=момент× импульса вычисляется по формуле:
Чтобы рассчитать момент импульса тела, его надо разбить на бесконечно малые кусочки и
векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл= ∫ : = ∫ ×
8) Силовое поле, однородные и стационарные поля. Консервативные силы, центральные силы (привести примеры соответствующих сил); диссипативные силы; гироскопические силы (примеры соответствующих сил). Показать, что упругие и гравитационные силы являются консервативными. Рассмотреть поле притяжения Земли вблизи ее поверхности.
Силово́е по́ле— это векторное поле в пространстве, в каждой точке которого на пробную частицу действует определённая по величине и направлению сила (вектор силы).Cтационарные поля, величина и направление которых могут зависеть исключительно от точки пространства (координат x, у, z). Oднородное силовое поле, для которого сила, действующая на пробную частицу, одинакова во всех точках пространства.Kонсервати́вные си́лы (потенциальные силы) — это силы, работа которых не зависит от вида траектории точки приложения этой силы и закона её движения и определяется только начальным и конечным положением этой точки. Примерами консервативных сил являются: сила тяжести, сила упругости, сила кулоновского (электростатического) взаимодействия.Центральная сила — сила, линия действия которой при любом положении тела, к которому она приложена, проходит через точку, называемую центром силы (точка K )
Диссипати́вные си́лы — силы, при действии которых на механическую систему её полная механическая энергия убывает (то есть диссипирует), переходя в другие, немеханические формы энергии, например, в теплоту.
Пример диссипативных сил:Силы вязкого или сухого трения; Сила аэродинамического сопротивления воздуха; Сила трения скольжения.
Гироскопические силы - силы, зависящие от скоростей и обладающие тем свойством, что сумма их работ (или мощностей) при любом перемещении системы, на к-рую действуют эти силы, равна нулю.
Примерами Г. с. являются сила инерции Кориолисаматериальной точки с массой m, движущейся со скоростью по отношению к подвижной (неинерциальной) системе отсчёта (- угловая скорость этой системы отсчёта), и сила Лоренца действующая на заряж. частицу с зарядом е, движущуюся со скоростью v в магн. поле (-магн. индукция, с - скорость света). Каждая из этих сил направлена перпендикулярно скорости, поэтому
их работа или мощность при любом перемещении= − [ точки] (частицы) равна нулю.
= [ ]
Си́ла упру́гости — сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации.Сила упругости имеет электромагнитную природу, являясь макроскопическим проявлением межмолекулярного взаимодействия. В простейшем случае растяжения/сжатия тела сила упругости направлена противоположно смещению частиц тела, перпендикулярно
поверхности. [продолжение 8] В простейшем случае одномерных малых упругих |
|||
деформаций формула для силы упругости имеет вид: |
|||
k- жёсткость тела; |
l- величина деформации = |
||
В системе отсчета связанной с Землей, на всякое тело массой m |
|||
действует сила: |
|
ускорением |
= |
|
|
|
|
m- масса тела ; |
g- |
|
свободного падения |
силой тяжести — сила, с которой тело притягивается Землёй.Невесомость — это состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести.
Закон всемирного тяготения. Между любыми двумя материальными точками действует
сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек и |
|||||
|
|
|
|
1 |
2 |
обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними: |
|||||
где |
= 6,67 ∙ 10−11 |
2 −2 |
= |
2 |
|
|
м кг |
— гравитационная постоянная |
|||
Эта сила называется гравитационной, или силой всемирного тяготения. Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела. Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля.
9) Потенциальная энергия материальной точки во внешнем стационарном силовом поле. Связь консервативной силы с потенциальной энергией. Понятие о потенциальной энергии взаимодействия. Полная механическая энергия системы материальных точек. Внутренние и внешние силы. Закон изменения и закон сохранения полной механической энергии системы. Переходы кинетической энергии в потенциальную энергию и наоборот (привести примеры и соответствующие графики).
Пространство, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным |
||||||||||||||
полем. Каждой точке потенциального поля соответствует некоторое значение силы F , |
||||||||||||||
силой, отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
действующей на тело, и некоторое значение потенциальной энергии U. Значит, между |
||||||||||||||
F и U должна быть связь , с другой стороны, dA = –dU, следовательно |
|
|||||||||||||
− Проекции |
|
= |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= − |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора силы на оси координат: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ( |
|
|
|
+ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+F = |
|
|
||||
Вектор силы можно записать через проекции: , |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–grad U, |
|
|||
Градиент – это вектор, показывающий направление наибыстрейшего изменения |
||||||||||||||
функции. Следовательно, вектор |
направлен в сторону наибыстрейшего уменьшения U. |
|||||||||||||
Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и |
|
|||||||||||||
взаимодействия: |
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равна сумме кинетической и |
потенциальной энергий. |
|
|
|||||||||||
|
|
= + |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
тело массой m, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией |
|
|||||||||||||
потенциальная энергия тела массой m, |
поднятого на высоту h над поверхностью Земли, |
|||||||||||||
= |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
Внешние |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П
силы—это силы, действующие на тело извне. Под влиянием внешних сил тело или начинает двигаться, если оно находилось в состоянии покоя, или изменяется скорость его движения, или направление движения.Внутренними силами являются силы, действующие между частицами, эти силы оказывают сопротивление изменению формы.
Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и взаимодействия: E = K +W ,
т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
Закон сохранения энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем:
K +W = E = const
Изменение полной механической энергии равно суммарной работе всех внешних сил и внутренних непотенциальных сил.
dEк = Aвнеш.с.+ Aнепот.с.
10) Динамика вращательного движения. Момент силы (относительно точки; относительно неподвижной оси). Пара сил. Показать, что величина момента произвольной силы F относительно неподвижной оси (Z), равна произведению радиус-вектора (R) (перпендикулярного Z и проведенного от этой оси в точку приложения действующей на тело силы) и модуля проекции указанной силы на направление, касательное к окружности точки приложения силы F к телу. Момент импульса материальной точки (относительно точки; относительно неподвижной оси).
Враща́тельное движе́ние — вид механического движения. При вращательном движении материальной точки она описывает окружность. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела все его точки описываютокружности, расположенные в параллельных плоскостях.
Свойства твердого тела при его вращении описываются моментом инерции твёрдого |
||
тела. Эта характеристика входит в дифференциальные уравнения, полученные из |
||
уравнений Гамильтона или Лагранжа. Кинетическую энергию вращения можно |
||
записать в виде: |
играет роль массы2 2 |
, а угловая скорость - роль скорости. |
В этой формуле момент инерции |
= 2 |
|
Момент инерции выражает геометрическое распределение массы в теле и может быть |
|||||||
Векторная величина, |
= ∫ |
2 |
|
|
|
r |
|
найден из формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
равная векторному произведению радиус-вектора |
|
точки, |
||||
проведенному из полюса в точку приложения силы, на силу F |
называется моментом |
||||||
|
|
|
= × |
1 |
|
|
|
силы материальной точки относительно некоторого центра: |
|
|
|
||||
Пусть на частицу массой m действует сила F , а ее положение в некоторой инерциальной системе отсчета характеризуется радиус-вектором r относительно начала координат. Тогда момент силы частицы относительно точки
дается уравнением (1). Направление момента силы M совпадает с направлением поступательного движения
правого винта при его вращении от радиус-вектора r к силе
он перпендикулярен как вектору r , так и вектору F . Тогда модуль вектора момента =силы равен=
F |
|
α |
|
m |
О |
|
r |
α |
|
|
|
d |
F , и |
|
O |
M0 |
||
|
|||
«к нам» |
|
где d = r sin α − плечо силы относительно точки О.
Плечо силы − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила.
Таким образом, модуль момента силы относительно оси, есть скалярная величина, характеризующая вращательное движение действия силы и равная произведению
|
модуля силы F, действующей на твердое тело, на плечо |
p |
силы d относительно этой оси. |
|
Если на тело действует несколько сил, |
|
то суммарный момент этих сил равен векторной сумме |
|
моментов всех сил относительно данной оси: |
r
O «к нам»
|
n |
n |
|
|
|
|
Пара сил — две равные по величине |
|
|
|
|
|
|||
M = ∑Mi = ∑ ri |
×Fi . |
||||||
|
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
|
и противоположные по направлению силы, приложенные к одному телу.
11. Момент импульса материальной точки. Вывод закона изменения момента импульса системы материальных точек. Закон сохранения момента импульса системы материальных точек. Изотропность пространства.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О –
физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора ri |
||||||||||||
материальной точки, проведённого из точки О, на импульс Рi=mi·vi этой |
||||||||||||
материальной точки. |
|
0 |
= х р |
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
( х р) = |
|
+ х |
|
( ) |
= х = |
х = |
|
||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Закон изменение моментов импульса мат. точки |
|
= |
||||||||||
|
|
|||||||||||
З-н сохр. Момента им.: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным. 
Изотропность пространства означает, что все направления в пространстве равнозначны. Означает, что в пространстве нет какого-то выделенного направления, относительно которого существует "особая" симметрия, все направления равноправны. Физические явления в замкнутой системе не должны изменяться при ее повороте в пространстве.
12. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. |
|||||||
Момент инерции твердого тела. Вывести формулу для расчета момента |
|||||||
инерции однородного стержня относительно неподвижной оси, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
М |
перпендикулярной ему и проходящей через его центр масс. Теорема Штейнера. |
|||||||
|
М − |
|
|
|
|
; |
|
Основной закон поступательного движения |
|
||||||
М−z = |
|
|
момент; |
|
= , |
||
Где |
результирующий вращательный |
|
= |
|
|||
|
момент |
инерции. |
|
|
|
|
|
Величина моментаIz · ε |
импульса с учетом перпендикулярности векторов и |
||||||
Получим для момента импульс тела
Теорема Штейнера
Момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту инерции J относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенномуC с произведением массы=m тела+ на·квадрат2 расстояния а между осями.
13. Момент инерции материальной точки (относительно некоторой точки; относительно неподвижной оси). Момент инерции твердого тела (относительно некоторой точки; относительно неподвижной оси). Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр инерции; момент инерции однородного диска относительно оси, проходящей через его центр масс. Теорема Штейнера и ее применение для расчета момента инерции однородного стержня массой m и длинной l относительно оси (АА1), перпендикулярной стержню и находящейся на расстоянии 2 м от оси ZZ1, проходящей через центр масс рассматриваемого стержня и параллельной оси
АА1.
Моментом инерции тела относительно оси вращения называется сумма произведений элементарных масс на квадрат расстояния от оси вращения
Для тела с неравномерно распределенной массой элементарная масса
где ri - плотность в данной точке, Vi – элементарный объем. Поэтому момент инерции тела будет равен
Момент инерции Объемный 
Момент инерции однородного шара 
Момент инерции тонкого однородного стержня
Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси описывается уравнением
где I – момент инерции твёрдого тела относительно неподвижной оси; М –момент внешних сил относительно той же оси; dt/dω– угловое ускорение тела.
Теорема Штейнера
Момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту инерции J относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела,сложенномуC= + · с2произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями.
В итоге уравнение примет вид 
14. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Работа момента силы при вращении тела вокруг неподвижной оси. Кинетическая энергия катящегося твердого тела
|
Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси |
|
Z . Линейная скорость точки с массой mi, равна |
υi = |
|
ω·R, |
где R, – расстояние точки до оси Z. |
|
|
|
|
|
Для кинетической энергии i-й материальной |
|
|
точки тела получаем выражение: |
|
|
, |
|
рис. «Вращающееся тело» |
Где - угловая скорость, m-масса тела, v-скорость |
|
Где I- момент инерции |
= 22, |
|
Полная кинетическая энергия тела 
Поскольку входящая сюда сумма представляет собой момент инерции относительно оси Z, получаем:
Вычислим работу, совершаемую внешней силой при вращении твердого тела. Элемент работы
Последнее выражение есть момент внешней силы М, таким образом,
Полная работа может быть вычислена с помощью следующих формул:
Кинетическая энергия при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью центра инерции тела и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции