68

поэтому W1 = W2 = W и

Добавляя к системе из двух зарядов последовательно заряды Q3, Q4, ... , можно убедиться в том, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

(95.1)

где ϕi — потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Qi, всеми зарядами, кроме i-го.

Энергия заряженного уединенного проводника. Рассмотрим уединенный проводник, заряд, потенциал и емкость которого соответственно равны Q, φ и С. Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности на уединенный проводник, при этом затратив на это работу, которая равна

"); элементарная работа сил электрического поля заряженного проводника.

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до φ, нужно совершить работу

(2)

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:

(3)

Формулу (3) можно также получить и условия, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Если φ - потенциал проводника, то из (1) найдем

где Q=∑Qi - заряд проводника.

3. Энергия заряженного конденсатора. Конденсатор состоит из заряженных проводников поэтому обладает энергией, которая из формулы (3) равна

(4)

где Q — заряд конденсатора, С — его емкость, Δφ — разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Используя выражение (4), будем искать механическую (пондеромоторную) силу, с

которой пластины конденсатора притягиваются друг к другу. Для этого сделаем предположение, что расстояние х между пластинами изменилось на величину dx. Тогда действующая сила совершает работу dA=Fdx вследствие уменьшения потенциальной энергии системы Fdx = — dW, откуда

(5)

Подставив в (4) выражение для емкости плоского конденсатора, получим

(6)

Продифференцировав при фиксированном значении энергии (см. (5) и (6)), получим искомую силу:

где знак минус указывает, что сила F является силой притяжения.

60. Электрический ток. Условия существования электрического тока. Характеристики электрического тока. Связь плотности тока с зарядом, концентрацией и скоростью упорядоченного движения носителей тока. Уравнение непрерывности в интегральной и дифференциальной формах. Условие стационарности тока (в интегральной и дифференциальной формах).

Электри́ческий ток — направленное движение заряженных частиц[1]. Такими частицами могут являться: в металлах — электроны, в электролитах — ионы (катионы и анионы), в газах — ионы и электроны, в вакууме при определенных условиях — электроны, в полупроводниках — электроны и дырки (электроннодырочная проводимость).

Для возникновения и поддержания электрического тока проводимости необходимы следующие условия:

1)наличие свободных носителей тока (свободных зарядов);

2)наличие электрического поля, создающего упорядоченное движение свободных зарядов;

3)на свободные заряды, помимо кулоновских сил, должны действовать сторонние силы неэлектрической природы; эти силы создаются различными источниками тока (гальваническими элементами, аккумуляторами, электрическими

генераторами и др.); 4) цепь электрического тока должна быть замкнутой.

Для характеристики направления электрического тока проводимости в разных точках поверхности проводника и распределения силы тока по этой поверхности вводится плотность тока.

Плотностью тока называют векторную физическую величину, совпадающую с направлением тока в рассматриваемой точке и численно равную отношению силы тока dI, проходящего через элементарную поверхность, перпендикулярной направлению тока, к площади этой поверхности:

(2.2)

10.2.1. Связь плотности тока и скорости упорядоченного движения зарядов

dt через площадку dS пройдут

, отстоящие от нее не дальше чем

q, прошедший за dt через dS:

,

q0 - заряд одного носителя; исло зарядов в единице объема; ·dt - объем.

Сила тока: .

тогда в интегральной форме можно записать:

.

Это соотношение называется уравнением непрерывности.

Дифференциальная форма записи уравнения непрерывности записывается так:

или

Условие стационарности тока divj=0

63. Закон Джоуля-Ленца. Удельная мощность тока. Вывод закона ДжоуляЛенца в дифференциальной форме.

Q=I2×R×t.

Удельная тепловая мощность тока — Вытекает из Закона Джоуля-Ленца

Где — Удельная тепловая мощность тока

— Плотность тока

— Сила тока

К концу свободного пробега электрон приобретает скорость , и, следовательно, дополнительную кинетическую энергию, средняя величина которой

Столкнувшись с ионом, электрон по предположению полностью теряет приобретенную им за время пробега скорость, и передает энергию кристаллической решетке. Эта энергия идет на увеличение внутренней энергии металла, проявляющееся в его нагревании. Каждый электрон претерпевает за секунду в среднем 1/t соударений, сообщая всякий раз

решетке энергию . Следовательно, в единице объема за единицу времени должно выделяться тепло

где n - число электронов проводимости в единице объема. Величина есть не что иное, как удельная мощность тока. Множитель при совпадает со значением (18.3) для закона Ома. Таким образом. Мы пришли к выражению закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

64. Электропроводность металлов. Классическая теория электропроводности металлов. Ее экспериментальное обоснование (Опыты Рикке; опыты Мандельштама и Папалекси; опыты Толмена и Стюарта). Достоинства и недостатки классической теории электропроводности металлов.

Для выяснения природы носителей тока был поставлен ряд опытов. Рикке в 1901 году взял три цилиндра - два медных и один алюминиевый-с хорошо отшлифованными торцами, взвесил их и сложил последовательно медь-алюминий –медь. Через такой составной проводник в течение года непрерывно пропускался постоянный ток. За год через этот проводник прошел заряд порядка 103 Кл. Исследования цилиндров показало, что пропускание тока не повлияло на вес цилиндров, и не было обнаружено проникновение одного металла в другой на торцах цилиндров. Таким образом, опыты показывали, что перенос заряда в металле осуществляется не атомами. Можно было предположить, что заряд переносится электронами. Но чтобы это доказать, надо было определить значение удельного заряда носителей тока (удельный зарядэто отношение заряда к массе частицы).

Если в металлах имеются свободные заряженные частицы, то при движении проводника частицы движутся вместе с ним. Если проводник резко затормозить, то свободные частицы некоторое время должны двигаться по инерции, в результате чего в проводнике возникнет импульс тока и будет перенесен некоторый заряд.

Пусть проводник движется со скоростью v0. Начнем тормозить проводник с ускорением . Свободные заряды продолжают двигаться по инерции и приобретают относительно проводника ускорение . Такое же ускорение можно сообщить носителям заряда, если их поместить в электрическое поле напряженностью Е.

.

Получить такое поле можно, приложив к концам проводника разность потенциа-

лов , где l – длина проводника. По проводнику потечет ток: , а, следовательно, за время dt через сечение проводника пройдет

заряд . Таким образом, заряд, прошедший за все время торможения, равен

. (1)

Измерив , можно определить удельный заряд носителей тока , а направление импульса тока даст знак носителей.

Первый качественный опыт был сделан в 1913 году С.Л. Мандельштамом и Н.Д. Папалекси. Они привели катушку, к концам которой был подключен телефон, в быстрые крутильные колебания, и резко останавливали. В этот момент в трубке телефона был слышен звук, обусловленный импульсом тока.

Количественный опыт был поставлен в 1916 году Р. Толменом и Б. Стьюартом. Катушка приводилась в быстрое вращение, а затем резко тормозилась. Гальванометром измерялся заряд, прошедший в цепи за время торможения. И по формуле (1) вычислялся удельный заряд носителей тока. Он оказался близким по значению к удельному

заряду электрона.

Таким образом, ток в металле обусловлен свободными электронами. При образовании кристаллической решетки слабо связанные валентные электроны отщепляются от атомов, и поступают в собственность всего куска металла. Концентрация свободных

носителей заряда порядка .

Исходя из представления о свободных электронах, П. Друде и Х. Лоренц создали теорию электропроводности металлов. Согласно этой теории свободные электроны ведут себя как молекулы идеального газа. В промежутках между столкновениями они движутся свободно, пробегая некоторый путь . Столкновения электронов осуществляется преимущественно с ионами решетки, и это приводит к тепловому равновесию между электронным газом и кристаллической решеткой. Среднюю скорость теплового

движения электронов можно произвести по формуле: . При эта скорость порядка 105 м/с. При включении поля на хаотическое движение частиц

накладывается упорядоченное движение с некоторой средней скоростью . Ее можно оценить из выражения

. (2)

Предельно допустимая плотность тока для медных проводников

107 А/м2, а концентрация электронов. Заряд электрона равен 1.6·10-19 Кл. Подставляя все эти значения в формулу (2) получаем, что средняя скорость направлен-

ного движения частиц равна . Т.е. даже при очень больших плотностях тока средняя скорость теплового движения много больше средней скорости направленного движения, вызванного электрическим полем.

Получим основные законы электропроводности на основе теории ДрудеЛоренца. Согласно этой теории при соударении электрона с ионом кристаллической решетки приобретенная электроном дополнительная энергия полностью передается иону, и, следовательно, скорость электрона становится равной нулю. Под действием поля

электроны ускоряются и приобретают ускорение, равное . За время свободного

пробега скорость электрона увеличивается до . Считая, что скорость всех электронов одинакова, можно записать, что время свободного пробега электрона

равно , гдеu практически равна скорости хаотического движения электро-

нов. . Скорость изменяется линейно за время свободного пробега, поэтому

средняя скорость упорядоченного движения электронов равна . Плотность тока:

. (3)

Таким образом, плотность тока оказалась пропорциональной напряженности.

Выражение (3) можно записать в виде:

(4)

Полученная формула выражает закон Ома в дифференциальной форме.

Здесь - коэффициент пропорциональности, проводимость металла.

Если бы не было столкновений между электронами и ионами решетки, то проводимость была бы бесконечной. Определим температурную зависимость проводимости. Концентрация электронов и длина свободного пробега не должны зависеть от температуры. От температуры зависит только средняя скорость теплового движе-

ния. . Следовательно, проводимость обратно пропорциональна корню из Т, а сопротивление возрастает как корень из Т. Эксперимент показывает, что сопротивление в широком интервале температур пропорционально температуре, и только при

низких температура турах . Таким образом, теория проводимости металлов Друде-Лоренца, приводя к закону Ома, не может объяснить температурной зависимости сопротивления. Объяснение может дать только квантовая теория.

У ряда металлов при низких температурах наблюдается явление сверхпроводимости: при понижении температуры, начиная с некоторой температуры, называемой критической, сопротивление становится равным нулю. Сверхпроводимость может нарушаться магнитным полем. Явление сверхпроводимости – это чисто квантовое явление, и его мы будем рассматривать в следующем семестре.

Получим закон Джоуля-Ленца на основании теории Друде-Лоренца. К концу свободного пробега электрон приобретает кинетическую энергию:

, (5)

Здесь учтено, что для электрона иметь скорость v и u статистически независимые события, а средняя скорость теплового движения . Последнее слагаемое в

формуле (5) - средняя кинетическая энергия теплового движения. Т.о. в

присутствии поля, электрон приобретает дополнительную энергию

. Столкнувшись с ионом, электрон полностью передает эту энергию кристаллической решетке. Эта энергия идет на увеличение внутренней энергии решетки, т.е. на

нагревание. Каждый электрон за секунду претерпевает столкновений. Следовательно, в единице объема за единицу времени должно выделится теп-

ло: . Коэффициент при совпадает с . Т.о. - это и есть закон Джоуля-Ленца.

66. Принцип суперпозиции магнитных полей. Закон Био-Савара-Лапласа. Их применение для расчета магнитного поля в произвольной точке, создаваемого прямым проводником с током, имеющим конечную длину; бесконечную длину; для расчета магнитного поля, созданного круговым контуром с током радиуса R, в точке, расположенной на расстоянии b от контура на оси, перпендикулярной его плоскости.

каждый элемент кругового проводника с током создает в центре магнитное поле одинакового направления - вдоль нормали от витка. Значит, сложение векторов dB также можно заменить сложением их модулей. Поскольку расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R и все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sinα=1), то, используя (2),

Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому бесконечному проводу

В произвольной точке А, удаленной на расстояние R от оси проводника, векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, которое перпендикулярно плоскости чертежа («к вам»). Значит, сложение всех векторов dB можно заменить сложением их модулей. За постоянную интегрирования возьмем угол α (угол между векторами dl и r) и выразим через него все остальные величины.

(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти формулы в (2), получим, что магнитная индукция, которая создавается одним элементом проводника, равна

(4)