Задача 5. МногоФакторный эксперимент а. Многофакторное уравнение регрессии первого порядка

1. Линейная модель: многофакторное уравнение регрессии первого порядка:

, (1)

где  ‑ число факторов;  ‑ текущий номер фактора, .

Многофакторное уравнение регрессии, также как и однофакторное строится в нормированных значениях факторов

2. Взаимосвязь нормированных Х_r и натуральных х_r значений факторов:

, , (2)

, , (3)

, , (4)

, , (5)

где  ‑ основной уровень, интервал варьирования, максимальное и минимальное значение фактора х_r в натуральных значениях, соответственно. Для имеем при .

3. Матрица планирования для построения многофакторного уравнения регрессии первого порядка представляет собой таблицу, состоящую из N_k опытов с числом дублей n каждый, включает в себя столбцы: N_k, , , , , , значения которых позволяют выполнить предварительную обработку экспериментальных данных (расчёт выборочных средних и выборочных дисперсий в каждом опыте, проверка выборочных дисперсий на однородность, расчёт дисперсии воспроизводимости). Для создания такой матрицы сначала необходимо построить столбец нормированных значений фактора . Для этой цели используем центральный полный факторный план (ЦПФП), который состоит из опытов полного факторного плана (ПФП) и одного опыта в центре плана (0, 0, …, 0). Число опытов ПФП при варьировании каждого фактора на 2-х уровнях равно . Количество опытов ЦПФП равно .

4. Предварительная обработка экспериментальных данных матрицы планирования с числом опытов ( ) и числом дублей в каждом опыте n ( ).

4.1. Выборочное среднее в каждом опыте:

, . (6)

4.2. Выборочная дисперсия в каждом опыте:

, . (7)

4.3. Проверка всех выборочных дисперсий на однородность по критерию Кохрена:

‑ экспериментальное значение критерия Кохрена .

; (8)

‑ табличное значение критерия Кохрена при числах степеней свободы , и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 5;

‑ выборочные дисперсии с доверительной вероятностью р однородны, если

, (9)

‑ выборочные дисперсии с доверительной вероятностью р неоднородны, если

. (10)

Если выборочные дисперсии неоднородны, необходимо переделать опыт, в котором выборочная дисперсия наибольшая.

4.4. Если все выборочные дисперсии по критерию Кохрена однородны, то дисперсия воспроизводимости и её число степеней свободы рассчитывают по формулам:

, (11)

. (12)

5. Матрица моделирования на базе матрицы планирования для построения многофакторного уравнения регрессии первого порядка представляет собой таблицу, которая строится из опытов с числом дублей n каждый, включает в себя столбцы: N_k, , , , , , , значения которых позволяют провести окончательную обработку экспериментальных данных (расчёт коэффициентов уравнения регрессии и их доверительные интервалы, проверка уравнения регрессии на адекватность, расчёт абсолютной погрешности в случае адекватности уравнения регрессии).

Столбец нормированного фактора состоит из элементов . Нормированные значения фактора для плана ЦПФП равны и для опыта в центре плана (0, 0, …, 0).

Отметим важное свойство матрицы моделирования: все её факторы взаимно ортогональны, так как и ( ). Ортогональность факторов матрицы моделирования позволяет определить коэффициенты уравнения регрессии, а также их доверительные интервалы, независимо друг от друга по относительно простым формулам.

5.1. Коэффициенты многофакторного уравнения регрессии первого порядка для ЦПФП, при условии, что факторы Х_0,, Х₁, Х₂ ортогональны, рассчитывают по формулам:

, (13)

, , (14)

причём для ЦПФП: , (15)

, (16)

5.2. Проверка коэффициентов многофакторного уравнения регрессии первого порядка на значимость.

Дисперсии значимости коэффициентов многофакторного уравнении регрессии первого порядка для ЦПФЭ при условии, что факторы Х_0,, Х₁, Х₂ ортогональны, рассчитывают по формулам:

, (17)

, . (18)

Так как , то для коэффициентов выполняется равенство:

, (19)

Доверительные интервалы коэффициентов многофакторного уравнения регрессии первого порядка рассчитываются по критерию Стьюдента:

, (20)

, , (21)

где  ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 2.

Так как выполняется уравнение (19), то и доверительные интервалы линейных коэффициентов равны:

, . (22)

Коэффициенты многофакторного уравнения регрессии первого порядка значимы, если выполняются следующие неравенства:

, . (23)

Если для какого-либо коэффициента указанное неравенство не выполняется, то этот коэффициент незначим, и его необходимо исключить из уравнения регрессии.