Конспект лекций по ТМРГ / Конспект лекций по ТМРГ

21

ЛЕКЦІЯ 4.

Гідродинаміка. Основні поняття та терміни.Закон сталості потоку.

Гідродинаміка розглядає основні закони руху рідин. Параметри, які характеризують рухшвидкість та тиск, змінюються у потоці і у часі. Основна задача гідродинаміки полягає у находженні функції вида.

u = f (x, y, z,τ) p =φ(x, y, z,τ)

Тут U і P – швидкість та тиск у точці, що розглядається; Z, Y, Z – координати точки у просторі;

τ – час.

Усталенний рух – коли швидкість і тиск у любої точці потоку не змінюється з часом, а залежить тільки від координат точки:

u = f ′(x, y, z) p = φ′(xy, z)

Приклад усталенного руху – стечіння води з отвору при постійному напорі, течія у трубці при поданні насосом постійної витрати. Приклад неусталенного руху – стечіння води з резервуару при непостійному напорі, коли в резервуар не подається постачальна витрата.

Лінія току – крива, у якої в усіх точках вектри швидкостей будуть дотичні до неї. Елементарна струминка – це рідини, що рухується усередині нескінченно малого

перерізу рідини, обмеженого лініями току.

Потік – сукупність елементарних струминок, які являють собою масу частинок, що рухаються у будь-якому напрямку. Потік може бути обмежений твердими стінками (у трубі) або бути вільним (струмина).

Живий переріз потоку - ω - це поперечний переріз, перпендикулярний до напрямку потоку.

Витрата потоку - Q - об’єм рідини, який проходить крізь живий переріз потоку в одиницю часу.

Q = Wτ

W - об’єм рідини, [м]

τ - час у секундах [у СІ] Витрата рідини у системі СІ виміряють в м3/с.

Змочений периметр – x – частина периметру живого перерізу, по котрій рідина дотикається до твердих стінок.

22

Гідравлічний радіус - Rг - відношення плошини живого перерізу до змоченого периметру.

Тому гідравлічний радіус не є рівним її геометричному радіусу. Гідравлічний радіус має канал будь-якої форми.

Середня швидкість потоку - V - частка від ділення витрати потоку Q на площину живого перерізу ω :

V = ωQ

Це та швидкість, яку мали б усі частинки потоку, щоб крізь його живий переріз проходила і витрата Q.

Місцева швидкість – або швидкість у точці – U – швидкість частинки. Місцеві швидкості змінюються по живому перерізу потоку від нульового значення повздовж стінок до максимального – у центрі перерізу (в трубі), або на вільній поверхні рідини (в каналі). Характер розподілу їх поперерізу, у загальному випадку,параболічний.

Рис. 15. Епюри місцевих (u ) і середніх (v ) швидкостей для труби (ліворуч) і каналу.

Рівномірним називається такий усталений рух, при якому живий переріз і середня швидкість рідини не змінюються по довжині (в трубі при постійному напорі).

Нерівномірним рухом називається такий усталений рух, коли порушена його рівномірність (рух у річці, у загальному випадку). Лінії руху при рівномірному русі є паралельні. Такий рух ще називається паралельнострумним.

Гідродинаміка як наука розглядає рух як плавнозмінний усталений при цьому передбачається (рух у природних руслах), що кривізна ліній току незначна, кут їх розходження

23

дуже малий, живі перерізи потоку є плоські, тиск у живому перерізі розподіляється по гідростатичному закону, тобто по закону прямої лінії. Сили інерції в загальне математичне ривняння не входять, тому що вони перпендикулярні до площини живих перерізів. В це рівняння входить тільки сила гідростатичного тиску.

Напорним називається потік рідини, у котрого по всьому периметру живого перерізу рідина дотикається до твердих стінок (приклад: рух у водопровідній трубі).

Безнапорний потік – це потік з наявністю вільної поверхні рухомої рідини (приклад: рух у каналізаційній трубі при неповному заповненні, рух у каналі).

Закон сталості витрати і нерозривності потоку.

Розглянемо усталений рух у жорсткому русі мінливого перерізу. Виберемо два свовільні перерізи 1-1 і 2-2, які є нормальні до вісі потоку і розглянемо ділянку потоку між цими перерізами.

m1 i m2 – маси рідини у перерізах 1-1 і 2-2

ρ1 і ρ2 - її щільності

Q1 i Q2 – витрати в цих перерізах

ρ1 = ρ2 , тому що рідина однорідна і нестислива. m1=m2, тому що стінки русла жорсткі.

τ1 =τ2 , тому що процес розглядається в єдиний момент часу.

Рис. 16. Закон нарозривності (або сталості) витрати потоку.

Тому:

m1 = ρQ1τ1 = m2 = ρ2Q2τ2

Q1 = Q2 =KQi = const

При усталеному русі нестислимої рідини її витрата у будь-якому перерізі – стала - закон

сталості витрати.

Виразимо в вищеозначеному рівнянні усталеного потоку витрату як добуток швидкості на площу живого перерізу, отримаємо:

24

V1ω1 =V2ω2 =Viωi = const

Для будь-якого живого перерізу усталеного потоку добуток швидкості на площу живого перерізу – величина постійна – закон нерозривності потоку.

У диференціальній формі цей закон виражається рівнянням:

δδUxx + δδUyy + δδUzz = 0

Тут Ux, Uy, Uz – місцеві швидкості частинок відносно вісей X, Y, Z. X, Y, Z – координати частинок.

Закони постійності витрати і нерозривності потоку справедливі і для газів, якщо не враховувати їх стисливість.

25

26

ЛЕКЦІЯ 5.

Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини і елементарної струминки. П’єзомеричний і гідравлічний ухил. Водомір Вентурі.

Рис. 17. До виводу рівняння Бернуллі потоку реальної рідини.

Розглянемо потік реальної рідини з плавнозмінним рухом. Виберемо два свовільних перерізи 1-1 і 2-2, які є нормальні до вісі потоку, і розглянемо ділянку потоку, замкнену поміж ними. Означимо швидкості в цих перерізах V1 i V2; площі живих перерізів W1 i W2; гідравлічні тиски у центрах ваги цих перерізів р1 і р2; відстані до площини порівняння О-О-Z1 та Z2.

Застосуємо до ділянки потоку, замкненої поміж перерізами 1-1 та 2-2 закон збереження

27

Тоді загальна кількість енергії, внесеної потоком до розглядаємої ділянки за час τ крізь переріз 1-1 буде дорівнювати:

Аналогічно, сумарна енергія потоку, що внесена потоком крізь переріз 2-2 дорівнює:

За законом зберегання енергії сумарна енергія, внесена крізь переріз 1-1 при усталеному русі, повинна дорівнювати сумарній енергії, внесеної крізь переріз 2-2 з урахуванням затрат нергії на подолання гідравлічних опорів на ділянці, що розглядається.

Втрачену енергію можна передати у вигляді добутку ваги об’єму,що розглядається, на деяку висоту hвm 1-2 – у вигляді потенційної енергії втрат висоти або напору:

Цей вираз є рівнянням Бернулі для потоку реальної рідини.

Z – відстань центру ваги перерізу, що розглядається, від площини порівняння, Р – тиск у центрі ваги перерізу; V – середня швидкість у перерізі; hвит – питома енергія, втрачена на подолання опорів від початкового перерізу до того, що розглядається.

Якщо ураховувати нерівномірність розподілу швидкостей по живому перерізу потоку, то рівняння Бернулі отримує кінцевий вигляд:

Тут α - коефіціент Коріоліса, ураховуючий вплив нерівномірності розподілу швидкостей по перерізу на питому кінетичну енергію потоку. Коефіціент α змінюється у межах 1-2, причому його приблизне значення можна брати рівним одиниці.

Сума двох перших доданків рівняння z + γp є п’єзометричним напором (порівняймо з

основним рівнянням гідростатики)

29

З’єднавши рівні рідини у п’єзометричних трубках, отримаємо лінію п’єзометричного напору або лінію питомої потенційної енергії z + γp . Падіння напору п’єзометричного напору

на одиницю довжини l називається п’єзометричним ухилом I:

П’єзометричний ухил може бути як позитивним, так і негативним.

Падіння лінії повного напору на одиницю довжини називається гідравлічним ухилом і:

Гідравлічний ухил, згідно закону збереження енергії, може бути виключно позитивним у напрямку руху потоку.

Рівняння Бернуллі для елементарної струминки реальної довжини для будь-якої точки, де рідина рухається з місцевою швидкістю u :

Рівняння Бернуллі для ідеальної рідини буде відрізнятися від виразів (1) і (2)

відсутністю доданку hв1m−2 , відповідному питомої енергії втрат напору.

Рівняння Бернуллі справедливо для ідеального і реального газу, якщо для нестислого газу подається у формі тисків. Для струминки ідеального газу:

Виміри тиску газу проводять за допомогою виключно манометів, швидкісним напором зневажають. Для стислого газу рівняння Бернуллі вивчається у курсі аеродинаміки.

Водомір Вентурі.

Водомір Вентурі використовують для вимірення витрат рідини по показанням п’єзометричних трубок. Різниця їх п’єзометричних напорів залежить від величини витрати.

Q = k h

Складемо рівняння Бернуллі для перерізів 1-1 і 2-2 без урахування втрат напору.

30

Рис. 19. До принципу дії водоміра Вентурі.

Виразимо швидкості крізь відношення площ перерізів з урахуванням закону нерозривності потоку:

Q1=Q2

V1 ω 1=V2 ω 2

Тут k– тарировочний коефіціент, необхідний для побудування тарировочної кривої для кожного конкретного водоміру. По цієї кривої потім визначається витрата Q по виміреній величині переспаду у п’єзометричних трубках.

На базі рівняння Бернуллі роботають такі пристрої, як водострумний насос (ежектор) та інжекційний газовий пальник.