Конспект_инжинерная графика

63

Введемо позначення:

Тоді, із точкового числення, маємо:

K E DABC D EABC .

DABC EABC

Визначники четвертого порядку складені з координат точок мають вигляд:

Обчислення визначників четвертого порядку

варто проводити способом перетворення або розкладання по координатах точок D і Е.

4.7. МЕТРИКА ТОЧКОВОГО ЧИСЛЕННЯ.

Для розв’язання метричних задач в точковому численні необхідно ввести метрику в точковій формі і на її основі визначити довжину відрізка, кут між прямими, площу трикутника, перпендикулярність прямих і таке інше.

4.7.1. МЕТРИЧНИЙ ОПЕРАТОР ТРЬОХ ТОЧОК. ДОВЖИНА ВІДРІЗКА ПРЯМОЇ. КУТ МІЖ ПРЯМИМИ.

У точковому численні особливе місце займає відношення відрізків прямої. Не менш важливу роль відіграє добуток цих відрізків. Спосіб координатного визначення добутку відрізків задає метрику простору, що характеризує властивості вимірів у цьому просторі.

65

4.7.2. ОСНОВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРА, ОПУЩЕНОГО З ТОЧКИ НА ПРЯМУ. Визначимо точку Н через метричні оператори (рис. 9). З геометричного змісту

метричних операторів випливає:

CAB HB AB,

ABC AH AB.

Розділивши другу рівність на першу, одержимо:

AH ABC .

HB CAB

67

2. Обчислюємо подвійні площі проекцій трикутника АВС:

3. Визначаємо площу трикутника АВС, розташованого в площині загального положення:

s (sxyABC )2 (sABCyz )2 (szxABC )2 .

4. Знаходимо точку виходу з площини на висоту d:

5. Обчислюємо координати шуканої вершини К:

xK xD xT ;yK yD yT ;zK zD zT .

Підводячи підсумок цієї лекції, відзначимо, що метричний оператор трьох точок споріднений скалярному добуткові векторів, точка виходу з площини – векторному добуткові двох векторів, а об’єм піраміди – змішаному добуткові трьох векторів.

Точкове числення, це математичний апарат інженера, що дозволяє конструювати геометричні об’єкти, а також лінійні і не лінійні форми. Розглянемо, як приклад, побудову піраміди.

4.8. ПОБУДОВА ВЕРШИНИ ТРИКУТНОЇ ПІРАМІДИ ПО ЗАДАНІЙ ОСНОВІ, ВИСОТА ЯКОЇ ПРОЕКЦІЮЄТЬСЯ В ЦЕНТРОИД ОСНОВИ.

Викладки цього розділу є розрахунковою основою одного із епюрів з курсу нарисної геометрії.

4.8.1. ВСТУП.

Будь-яка інженерна діяльність ґрунтується на математичному і геометричному моделюванні плоских і просторових форм. Опис цих форм спирається на одержання результату у виді зображення заданого геометричного образу. Проміжні етапи конструювання знаходять висвітлення у виді усе більш схематичних креслень, тому що процес створення більш конкретних і наочних зображень стає трудомістким і не встигає за мисленням конструктора. У складних інженерних конструкціях процес одержання зображення є гальмом у роботі конструктора.

68

Таким чином, потреби технічного розвитку вимагають значного прискорення етапів конструювання. Використання сучасних обчислювальних машин можуть забезпечити темпи створення не застарілих технологій і конкурентно здатної продукції. Виникає проблема гармонічного з'єднання образного мислення інженера з цифровою мовою ЕОМ. Цю задачу може успішно вирішити точкове числення, що з'єднує в собі геометричні образи з обчислювальними формулами. Точка в цьому численні є об'єктом обчислення і об'єктом геометричної формули. Конструктор, задаючи образними геометричними категоріями, може описувати етапи мислення обчислювальними формулами. Причому геометричний алгоритм конструювання формули знаходить висвітлення в обчислювальному алгоритмі, що переводиться програмістом на мову ЕОМ без посередника – математика. Якщо ж конструктор володіє знаннями програміста, то він у своє розпорядження одержує ЕОМ, як універсальний інструмент швидкого, точного зображення на екрані дисплея процесу конструювання.

4.8.2. БАЗОВІ ПОНЯТТЯ 1. Базові поняття розв’язання інженерно-графічної задачі: побудова піраміди по

заданій основі і висоті d на основі порівняння двох алгоритмів геометричного й обчислювального.

Для побудови креслення, як відомо, необхідно мати об'єкт (оригінал), картинну площину (площина проекцій) і алгоритм (правило) побудови креслення.

Під об'єктом (оригіналом) домовимося розуміти будь-який реальний або уявний технічний пристрій або окрему деталь. При цьому в процесі побудови креслення нас цікавлять тільки його геометричні особливості, тобто характер і ступінь складності обмежуючих його поверхонь, а також окремі точки і лінії. Сукупність цих особливостей оригіналу умовимося називати його геометричним образом.

Геометричний образ оригіналу може бути досить складним. Тому для зручності вивчення розіб'ємо його на більш прості геометричні образи – точки, лінії, поверхні.

Найбільш простим геометричним образом є точка. Геометричні елементи більш високого рівня складності можуть бути утворені кінематичним способом, тобто шляхом переміщення в просторі більш простих геометричних елементів по визначеному закону. Так,

69

необхідно задати відсутню вершину трикутної піраміди по заданій основі і висоті d, при цьому висота проекціюється в центроїд основи піраміди.

Ми не будемо зупинятися докладно на способах завдання пірамідальних поверхонь. Зупинимося на способі побудови піраміди.

Якщо пірамідальну поверхню перетнути площиною П1, то тіло, обмежене пірамідальною поверхнею і цією площиною прийнято називати пірамідою (рис. 12). Частина площини П1, обмежена багатокутником m, називається основою піраміди, а пірамідальна поверхня – бічною поверхнею. Перпендикуляр SO, опущений з вершини S на основу, називають висотою піраміди.

У такий спосіб піраміда – це геометричне тіло, у якого основа – довільний багатокутник, а бічні грані – трикутники з загальною вершиною S, названою вершиною піраміди. Перпендикуляр, опущений з вершини на підставу, називається висотою піраміди. Назва піраміди залежить від кількості бічних граней (тригранна, якщо в неї три бічні грані і т.д.).

Поняття центроїда основи піраміди, як взагалі будь-якої плоскої фігури, довільно заданої в просторі тісно зв'язано з ім'ям німецького вченого А.Ф. Мьобіуса, що у 1827р. у своїй роботі “Барицентричне числення” започаткував основи прямим операціям над геометричними об'єктами.

Числення починається з того, що визначаються об'єкти і дії над ними. Об'єктами алгебраїчних операцій у Мьобіуса служили точки (точкове числення), до яких він приєднував маси, узагальнивши поняття маси в тому напрямку, що вона може приймати не тільки додатні, але і від’ємні значення.

При розв’язанні задач про те, які маси Т1, Т2, Т3 варто помістити в точках A, B, C, щоб вони визначили єдиний центроїд Т площини ABC, як показано на рис. 13 А. Мьобіус ввів поняття барицентричних координат, для яких значення має тільки їх відношення. З'єднуючи точку Т с точками A, B, C Мьобіус прийшов до висновку про те, що площі отриманих

орієнтованістю трикутника.

Такі нормовані барицентричні координати були названі ареальними, тому що вони в точності рівні площам трикутників якщо прийняти площу всього трикутника за одиницю виміру, тобто

70

T1 T2 T3 aa1 aa2 aa3 1.

З урахуванням умови (1) одержимо:

3T3 1 T3 13

А. Мьобіус одержав основне рівняння точкового числення у виді:

T T1A T2B T3C ,

де T1,T2,T3 – нормовані барицентричні координати, що задовольняють визначеній умові.

Це рівняння в інтерпретації геометричного застосування поняття центра ваги трикутника може бути представлене у виді:

T A B C

3

Далі, факт представлення однієї точки як лінійної комбінації декількох інших Мьобіус поклав в основу класифікації лінійних перетворень, виділивши відповідно до групи перетворень евклідову, афінну, проективну та конформну геометрії.

Довгий час точкове числення знаходило застосування у механіці для знаходження точки додатка (центроїди) і величини рівнодіючої системи рівнобіжних сил. У математичному і комп'ютерному моделюванні воно стало застосовуватися зовсім недавно, головним чином у докторській дисертації І.Г. Балюби.

Для інтерпретації обчислювальної геометрії на площині та у просторі використовується не тільки точкове, але й інше пряме числення – векторне. З використанням останнього І.Г. Балюбою була введена метрика, що забезпечила відтворення геометричної

форми обчислювальними формами.

A

L

N

B

C

Рис. 14

Питання точкового завдання кривих і поверхонь, визначених параметрично вирішуються таким чином, що завдання плоских геометричних образів розглядаються в симплексі точок A, B, C і D.

Наприклад, розглянемо задачу: Задані точки паралелограма A, B, C (рис. 14). Необхідно добудувати відсутню вершину L.

Розв’язання. Діагоналі паралелограма поділяються навпіл. Таким чином, точка перетину діагоналей є середнєарифметичним від протилежних вершин:

N A C B L L A C B

2 2