Конспект_инжинерная графика

21

1.3.3. ПЕРЕТИН ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ

Цей розділ займає особливе (центральне) положення в нарисній геометрії, насамперед тому, що задача, що буде поставлена і розв’язана настільки важлива в практичних додатках, що одержала власне найменування “Перша основна позиційна задача курсу нарисної геометрії”. З іншого боку, при розв’язанні цієї задачі нами вперше буде застосований один із двох основних методів нарисної геометрії “Метод посередників”.

Перша основна позиційна задача курсу нарисної геометрії:

ПОБУДУВАТИ ТОЧКУ ПЕРЕТИНУ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ.

Пряма і площина, відносно одне одного, можуть займати кожне з трьох положень. Пряма, або належить, або паралельна або перетинає площину. Для визначення того, яке з цих положень має місце в конкретному випадку, а також визначення точки перетину прямої і площини, якщо така існує, використовується спосіб площин-посередників. Сутність способу полягає в наступному:

Будується допоміжна площина-посередник, утримуюча задану пряму.

Визначається лінія перетину площини-посередника з заданою площиною.

Далі проводиться аналіз взаємного положення двох прямих ліній (заданої прямої і отриманої лінії перетину). У результаті цього аналізу з'ясовується, який із трьох випадків має місце:

1.Якщо ці лінії збігаються, то задана пряма належить заданій площині.

2.Якщо ці лінії паралельни, то задана пряма паралельна заданій площині.

3.Якщо ці лінії перетинаються, то точка їх перетину є точкою перетину заданої прямої і заданої площини.

На (рис. 3) графічно зображені ці три випадки для площини (АВС) і прямої МN.

Рис. 3

Почнемо з складання плану (послідовності) її розв’язання:

1.Через пряму проводимо допоміжну площину-посередник (зручніше проекціюючу).

2.Знаходимо лінію перетину допоміжної площини з заданою.

22

3.Відзначаємо точку перетину знайденої лінії перетину з заданою прямою.

4.За допомогою конкуруючих точок визначаємо видимість прямої

визначаємо видимість прямій на

П2

Рис.4

На (рис 4) графічно відбиті етапи 1 – 4 визначення точки перетину відсіку площини АВСD і прямої m.

ПЕРЕТИН ДВОХ НЕПРОЗОРИХ ПЛАСТИН.

Першу основну позиційну задачу курсу нарисної геометрії зручно використовувати при побудові відрізка перетину двох непрозорих пластин. Для цього необхідно:

Вибрати в одному з заданих плоских відсіків відрізок (найчастіше він входить у задання цього відсіку).

Визначити точку перетину обраного відрізка з іншим відсіком. Якщо знайдена точка перетину знаходиться поза відрізком, то (як правило) повертаються до попереднього пункту (вибирають іншу пряму в першому відсіку). Якщо жоден з відрізків першого відсіку площини не перетинає другий відсік площини, то робимо висновок, що вони не перетинаються (площини перетинаються поза відсіками або паралельні).

Визначити, таким способом, дві точки. За допомогою двох точок лінії перетину площин визначаємо відрізок перетину відсіків.

За допомогою конкуруючих точок визначаємо видимість. Оформляємо креслення з урахуванням видимості.

23

Розглянемо приклад розв’язання задачі для побудови відрізка перетину двох трикутних пластин.

2 F2

42

12 M2

N2

D2

22 E2

32

B2

C1

21 41 D1 N1

11 M1

31

B1

Перетин трикутних пластин

Рис. 5

Точка М(М1, М2) перетину відрізка АВ (АВС) із площиною (DEF) визначена за допомогою площини-посередника ( 2). Точка N(N1, N2) перетину відрізка EF (DEF)

з площиною (АВС) визначена за допомогою площини-посередника ( 1). Відрізок MN

визначає лінію перетину непрозорих трикутних відсіків АВС і DEF.

1.3.4. СПОСІБ ПЛОЩИН - ПОСЕРЕДНИКІВ ПРИ ВИЗНАЧЕННІ ЛІНІЇ ПЕРЕТИНУ ДВОХ ПЛОЩИН

У випадку, коли задані не плоскі пластини, а нескінченні площини говорять не про перетин площин по відрізку, а по прямій лінії. Пряму визначають будь-які її незбіжні точки, причому ці точки не обов'язково повинні належати прямим, що визначають площину.

У цьому випадку застосовується спосіб площин-посередників у самому загальному вигляді.

Алгоритм побудови лінії перетину двох площин способом площин посередників:

1.Задані площини і розсікаємо допоміжною площиною посередником

(зручніше щоб на одній із площин проекцій проекціювалася в пряму лінію).

2. Визначаємо лінію перетину площини і площини (для спрощення виконання цього пункту і було запропоновано використовувати площину окремого положення, як посередника ).

24

3.Будуємо лінію перетину другої заданої площини з посередником (випадок,

коли посередник проходить через одну із прямих площини , ми мали при побудові лінії перетину непрозорих пластин).

4.Відзначаємо точку перетину знайдених у пп. 3, 4 ліній перетину заданих площин і з посередником (може виявитися, що лінії перетин паралельни, але площини не обов'язково паралельни). Можно просто довести, що отримана точка одночасно належить і , а отже є лінією їх перетину.

5.Аналогічно за допомогою ще одного посередника визначають другу точку,

що належить шуканій лінії перетину (зручно, якщо одна точка лінії перетину визначена за допомогою посередника , вибирати ).

6. З'єднуємо побудовані точки прямою лінією перетину площин. Видимість, при цьому, не визначається, тому що нескінченні площини не передбачаються непрозорими.

На (рис. 6) зображений наочний схематичний рисунок, що може бути корисним для

Спосіб площин-посредников при побудові лінії

запам'ятовування алгоритму побудови лінії перетину площин, а також практичний приклад визначення лінії MN= (a b) (h f ).

27

РОЗДІЛ 2. СПОСОБИ ПЕРЕТВОРЕННЯ КОМПЛЕКСНОГО КРЕСЛЕННЯ

2.1. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ ТА ЙОГО ЗНАЧЕННЯ В НАРИСНІЙ ГЕОМЕТРІЇ. ЧОТИРИ ОСНОВНІ ЗАДАЧІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОКЦІЙ.

ПОЛОЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБРАЗІВ ПРИ ЯКИХ ВІДСТАНІ І КУТИ НЕ СПОТВОРЮЮТЬСЯ НА ПЛОЩИНІ ПРОЕКЦІЙ.

Якщо прямі і площини займають окреме положення щодо площин проекцій (паралельні або перпендикулярні), то площі, відстані і кути не спотворюються. Отже, якщо необхідно визначити подібні метричні характеристики, то можна перетворити проекції геометричної форми до потрібного окремого положення, при якому потрібну метричну характеристику визначають простим виміром на тій площині проекцій, де ця характеристика не спотворюється. Приведемо положення деяких геометричних форм із неспотворенними метричними характеристиками (рис. 1).

Для приведення геометричних форм із загального в необхідне окреме положення використовують способи перетворення проекцій. До способів перетворення проекцій відносяться:

Плоскопаралельне переміщення (ППП).

Обертання навколо осей перпендикулярних площинам проекцій.

Заміна площин проекцій (скорочено ЗПП).

Обертання навколо ліній рівня.

Спосіб суміщення

Спосіб допоміжного проектування.

Способи ППП і ЗПП є основними способами перетворення проекцій, а решта – додатковими. ППП і ЗПП є рівноцінними по можливостях, які вони надають при рішенні

28

всіляких задач нарисної геометрії. Додаткові способи застосовуються більш спеціалізовано, тому що кожен з них найбільш ефективний при розв`язанні свого, спеціального класу задач. Ця спеціалізація буде виділена при викладі кожного із способів перетворення проекцій.

ЧОТИРИ ОСНОВНІ ЗАДАЧІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ.

Для успішного розв`язання задач нарисної геометрії з застосуванням способів перетворення проекцій виникла необхідність виділити деякі задачі перетворення геометричних форм і особисті позначення для них (дати їм імена):

1.Задача №1. Лінія натуральна (ЛН):

Приведення прямої із загального положення в положення прямої рівня.

2.Задача №2. Лінія - точка (ЛТ): Приведення прямої в проекціююче положення.

3.Задача №3. Площина - лінія (ПЛ):

Приведення площини із загального положення в проекціююче. 4. Задача №4. Площина натуральна (ПН):

Приведення площини в положення площини рівня.

Методика розв`язання задач нарисної геометрії з використанням перетворення проекцій

Щоб використовувати перетворення проекцій для розв`язання конкретно заданої задачі, необхідно

представити в якому окремому положенні повинні знаходитися геометричні об'єкти цієї задачі для того, щоб відповідь задачі можна одержати на одній із проекцій дуже просто (наприклад, застосовуючи простий вимір). Деякі з подібних положень приведені на рисунку (рис. 1).

Відзначити яке з чотирьох положень ЛН, ЛТ, ПЛ або ПН необхідно для безпосереднього розв`язання задачі.

Перетворенням проекцій привести задачу до цього окремого положення. Виділити на перетвореній проекції відповідь задачі.

2.2. ПЛОСКОПАРАЛЕЛЬНЕ ПЕРЕМІЩЕННЯ (ППП) - ОДИН ІЗ СПОСОБІВ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ.

Якщо геометричний об'єкт переміщати в системі площин проекцій так, щоб одна з координат кожної точки його не змінювала своєї величини, то таке переміщення називається плоскопаралельним. Кожна точка об'єкта переміщається по деякій траєкторії розташованої в площині рівня (горизонтальній або фронтальній). Відповідно до цього розрізняють горизонтальне плоскопаралельне переміщення (ГППП) і фронтальне плоскопаралельне переміщення (ФППП). Для розв`язання кожної із чотирьох основних задач перетворення проекцій досить цих двох видів ППП. Якщо мова йде про переміщення об'єкта, то передбачається, що він при цьому не допускає деформацій, тобто відстані між точками об'єкта не змінюються при переміщенні. Оскільки в нарисній геометрії об'єкти простору зображуються на плоскому листі креслення за допомогою системи двох ортогональних проекцій (системи Г. Монжа), те для опису ППП необхідно визначити способи переміщення проекцій при ГППП і ФППП.

29

ПЕРЕМІЩЕННЯ ПРОЕКЦІЙ ПРИ ГППП

При ГППП висоти точок переміщуваного об'єкта не змінюються, отже, кожна точка його фронтальної проекції рухається по лініях паралельних осі проекцій. Не змінюючи висоти точок ми не зможемо змінити виду горизонтальної проекції, тільки положення горизонтальної проекції може мінятися, переміщаючись, погоджено з рухом самого об'єкта в просторі. Отже, щоб виконати горизонтальне плоскопаралельне переміщення, необхідно:

1.Не змінюючи форми горизонтальної проекції, перемістити її в потрібне місце (допустимо, як паралельний перенос цієї проекції, так і її поворот).

2.Добудувати фронтальну проекцію кожної точки об'єкта, не змінюючи висот.

Приклад ГППП. Пряму АВ перемістити горизонтально, плоскопаралельно так, щоб вона заняла положення фронтальної прямої рівня.

При фронтальному плоскопаралельному переміщенні незмінними залишаються глибини точок. При ФППП фронтальна проекція об'єкта не міняючись по величині, копіює рух його, а горизонтальна проекція кожної його точки переміщається по лініях паралельним осі проекцій Х12.

Приклад ФППП: Площина (АВС) із загального положення перевести в горизонтально-проекцююче положення.

Площина є горизонтально-проекцююча, якщо вона містить горизонтальнопроекціюючу пряму. Фронтальну пряму можна перевести одним ФППП у фронтальнопроекціююче положення. Отже, для розв`язання задачі необхідно в площині провести фронталь, що, разом із площиною, переводимо у фронтально-проекціююче положення (рис. 3). У нашому прикладі фронталь BD площини АВС фронтальним плоскопаралельним

переміщенням спроеційована в точку В11 D11, тоді площина трикутника проеціюється в

лінію A11B11C11.