posobie_TU
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДОНБАСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧНОЇ І ПРИКЛАДНОЇ МЕХАНІКИ
В. П. МУЩАНОВ, В. І. ОСИКА, Є. В. ДЕНИСОВ, С. Б. ПЧЕЛЬНІКОВ, Ю. В. СИВОКОНЬ
Навчально-методичний посібник до самостійної роботи
«ОПІР МАТЕРІАЛІВ - СПЕЦКУРС»
Макіївка, 2010
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДОНБАСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧНОЇ І ПРИКЛАДНОЇ МЕХАНІКИ
В. П. МУЩАНОВ, В. І. ОСИКА, Є. В. ДЕНИСОВ, С. Б. ПЧЕЛЬНІКОВ, Ю. В. СИВОКОНЬ
Навчально-методичний посібник до самостійної роботи
«ОПІР МАТЕРІАЛІВ - СПЕЦКУРС»
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів,
які навчаються за спеціальністю «Промислове та цивільне будівництво» Лист від 23.06.10 №1/11-5571
Затверджено на засіданні |
Затверджено на засіданні |
науково-методичної ради |
кафедри теоретичної і прикладної |
Протокол № 8 |
механіки |
від 6 квітня 2009 р. |
Протокол № 3 |
|
від 27.03.09 |
Макіївка, 2010
УДК 539.3/6(075.8) ББК 30.121я73 Н15
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів, які навчаються за спеціальністю “Промислове та цивільне будівництво”.
Лист від 23.06.10 № 1/11-5571.
Рецензенти: Ф.Л. Шевченко, доктор технічних наук, професор (Донецький національний технічний університет); О.Г. Татьянченко доктор технічних наук, професор (Донецький національний технічний університет); В.Л. Красовський, доктор технічних наук, професор (Придніпровська державна академія будівництва і архітектури).
В. П. Мущанов, В. І. Осика, Є. В. Денисов, С. Б. Пчельніков, Ю. В. Сивоконь
Навчально-методичний посібник до самостійної роботи «ОПІР МАТЕРІАЛІВ-СПЕЦКУРС» / Укладачі: В.П. Мущанов, В.І. Осика, Є.В. Денисов, С.Б. Пчельніков, Ю.В. Сивоконь – Макіївка, ДонНАБА, 2010. – 131с.: ISBN 978-966-7477-98-1
Навчально-методичний посібник містить набір задач з прикладами рішення за трьома розділами спецкурсу опору матеріалів. Приведені задачі для самостійного рішення. Надаються приклади виконання розрахункових робіт.
Перед кожним тематичним розділом наведено стислі теоретичні відомості, вивчення яких дозволить студенту успішно справитися з завданням.
Наведені питання тестових контролів для самостійної оцінки рівня теоретичної підготовки. Надаються рекомендації по використанню програми Excel для розв’язання конкретних математичних задач, пов’язаних з темами розділів Спецкурсу.
Донбаська національна академія будівництва
іархітектури, 2010
ISBN 978-966-7477-98-1
2
ВСТУП
Навчальний план підготовки магістрів за фахом «Промислове і цивільне будівництво» передбачає вивчення протягом дев'ятого семестру дисципліни «Опір матеріалів – Спецкурс».
За рішенням кафедри теоретичної і прикладної механіки Донбаської національної академії будівництва і архітектури названий курс складається з наступних розділів (навчальних модулів):
Навчальний модуль 1. Розрахунок балок на суцільній пружній основі.
Навчальний модуль 2. Розрахунки круглих та прямокутних пластин.
Навчальний модуль 3. Розрахунок балок на динамічні навантаження.
До вивчення дисципліни «Опір матеріалів – Спецкурс» рекомендуємо приступати лише після повного засвоєння основного курсу опору матеріалів. В умовах очного навчання студентові бажано заздалегідь повторити основні розділи курсу опору матеріалів.
Вивчення повинно супроводжуватися складанням конспекту, розглядом і рішенням задач на практичних заняттях та виконанням розрахункових робіт. Для свідомого засвоєння курсу необхідно звернути увагу на виведення основних виразів і розрахункових формул, а також на фізичну сторону даних питань.
Даний посібник складено відповідно до умов навчання, рекомендованих Болонським процесом, де основна увага приділяється самостійній роботі студентів.
Структура посібника наближена до змісту курсу, який призначено для дистанційного навчання (максимальна інформація для студента за змістом курсу, методикою навчання і пізнавального процесу, приведеним прикладам рішення задач і виконання розрахункових робіт, самостійному тестовому контролю знань і критеріям оцінки знань). Кожний модуль включає наступні підрозділи:
основні теоретичні відомості;
приклади розв’язання простих задач;
умови задач для самостійного розв’язання з відповідями;
розрахункові роботи з докладною методикою і порядком їх виконання;
питання тестового контролю засвоєння вивченого матеріалу з відповідями;
зміст та приклад виконання контрольної роботи, яку студент повинен виконати у присутності викладача для отримання оцінки.
Кожен студент по курсу протягом семестру виконує дві розрахункові
роботи і дві контрольні роботи.
В посібнику приведено чотири варіанти виконання розрахункових робіт за курсом:
1.РР №1. Розрахунок балки на суцільній пружній основі.
2.РР №2а. Згин тонких пластинок. Прямокутні пластинки.
3.РР №2б. Згин тонких пластинок. Кільцеві пластинки.
4.РР №3. Коливання пружних систем.
3
Метою виконання розрахункових робіт є закріплення вивченого теоретичного матеріалу і отримання навиків самостійної роботи по розрахунку елементів конструкцій.
Перед кожною розрахунковою роботою приведені стислі теоретичні відомості, знання яких дає можливість самостійного та успішного виконання роботи.
Всі роботи виконуються з використанням персонального комп'ютера.
Вимоги до оформлення розрахункових робіт
1.Робота виконується на листі паперу А4 з одного боку.
2.Графічна частина роботи виконується згідно з нормами, які були викладені в дисципліні «Креслення».
3.Задачі розв’язуються в загальному вигляді. Далі в отримані формули підставляються відповідні данні в системи СІ. Остаточні результати записуються з вказівкою розмірностей.
4.Пояснення повинні бути короткими і чіткими з дотриманням прийнятої математичної символіки.
5.При виявленні викладачем помилок необхідно зробити вкладку в роботу і переписати її, починаючи з того місця, де зроблена помилка.
Структура навчального посібника Навчальний модуль 1. «Розрахунок балок на суцільній пружній основі»
Розглядається розрахунок коротких балок з використання гіперболотригонометричних функцій академіка О.М. Крилова. Теоретичні відомості, викладені в даному модулі, використовуються при розрахунках фундаментів та основ будівель і споруд.
Навчальний модуль 2. «Розрахунки круглих та прямокутних пластин»
Розглядаються задачі напружено-деформованого стану пластин прямокутного та круглого контуру на основі плоскої задачі теорії пружності. У теорії пружності точними методами вирішуються задачі, що розглянуті в курсі опору матеріалів.
Навчальний модуль 3. «Розрахунок балок на динамічні навантаження»
Розглядаються задачі власних та вимушених коливань конструкцій, що мають одну або нескінчену кількість ступенів вільності. Матеріал даного модуля є основою для вивчення розрахунку споруд і їх елементів на динамічні навантаження.
4
Навчальний модуль 1. Розрахунок балок на суцільній пружній основі
1.1Стислі теоретичні відомості
1.1.1Основні поняття та залежності
Пружною називається така основа, яка деформується під дією ваги балки і навантаження, що діє на балку, надаючи при цьому пружну протидію прогину балки.
Рис. 1.1. Схема балки на пружній основі
За гіпотезою Вінклера реакція пружної основи прямо пропорційна прогину балки:
r( z) k v( z) , |
(1.1) |
де r(z) – реакція основи на одиницю довжини балки, Н/м; v(z) – просідання основи, м; k k0 b – реакція основи на одиницю довжини балки при осіданні
основи, що дорівнює одиниці, Н/м2; k0 – коефіцієнт жорсткості основи (реакція основи на площі 1 м2 при просадці основи, що дорівнює 1 м), Н/м3; b – ширина балки, м.
Знак «–» показує, що напрям реакції основи протилежний прогину. Для практичних розрахунків характеристики основ встановлюються нормативними документами.
Розрахунок балок на пружній основі зводиться до вирішення диференціального рівняння осі зігнутого бруса, яке має вигляд:
d 4v z |
|
p |
, |
(1.2) |
|
dz4 |
EIz |
||||
|
|
|
де p r q – сумарна інтенсивність розподіленого навантаження.
Загальне вирішення рівняння (1.2) при відсутності розподіленого навантаження можна представити у вигляді:
v C1e cos C2e sin C3e cos C4e sin , |
(1.3) |
5
де C1, C2, C3, C4 – постійні інтегрування, які знаходяться з умов закріплення
балки; z L – безрозмірна координата; |
L 4 |
4EI |
– параметр, що має |
k |
розмірність довжини, м.
Балки на пружній основі можуть розраховуватися як нескінченно довгі і короткі. Приналежність балки до однієї з цих груп, а, відповідно, і вибір методу розрахунку балки залежать від виконання умов (1.4):
l 0.8h·3 |
|
E |
, |
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Eo |
(1.4) |
|
|
l |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
|
L |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
де Е – модуль пружності матеріалу балки; Е0 – модуль пружності основи (див. табл. 1.1), l – довжина балки.
Якщо виконуються обидві умови (1.4), то балку розраховують як коротку. Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, то балку необхідно розраховувати як нескінченно довгу.
Таблиця 1.1 – Характеристики деяких типів ґрунтів
Вид основи (ґрунту) |
Модуль |
Коефіцієнт жорсткості |
|
пружності |
основи k0, МН/м3 |
|
основи E0, МПа |
|
Піщаний ґрунт: |
|
|
а) дрібний |
38 |
75 |
б) середньої крупності |
40 |
75 |
в) крупний |
40 |
75 |
Пилевато-глинисті ґрунти: |
24 |
150 |
а) супіски |
||
б) суглинки |
25 |
150 |
в) глина: |
28 |
150 |
– тверда; |
||
– волога |
28 |
30 |
1.1.2 Розрахунок нескінченно довгої балки
При розгляді нескінченно довгої балки базовим випадком для неї є випадок навантаження балки однією зосередженою силою. В цьому випадку постійні інтегрування у виразі (1.3) визначаються, використовуючи наступні граничні умови:
а) у точках, нескінченно віддалених від точки прикладення сили, прогин і кривизна осі балки (кут повороту осі) дорівнюватимуть нулю, тобто при х=∞
vх=∞=0 і φх=∞=0;
б) відносно точки прикладення сили деформації основи і балки симетричні, тобто дотична до пружної осі балки є горизонтальною лінією; умова запишеться як φх=0=0.
Після визначення постійних C1…C4 рівняння прогинів приймає вигляд:
6
v PL3 |
e (sin cos ) . |
(1.5) |
8EJ |
|
|
Шляхом диференціювання рівняння (1.5) можна отримати вирази для визначення M, Q и φ:
|
|
PL2 |
e sin |
; |
(1.6) |
|
|||||
|
|
4EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
PLe (cos sin ) ; |
(1.7) |
|||
|
4 |
|
|
|
|
Q P e cos . |
|
(1.8) |
|||
|
2 |
|
|
|
|
Загальний вигляд епюр для нескінченно довгої балки від дії зосередженої сили приведено на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Загальний вигляд епюр для нескінченно довгої балки від дії зосередженої сили
Для випадку дії на нескінченно довгу балку рівномірно розподіленого навантаження інтенсивністю q, прикладеного на довжині l (рис. 1.3), прогин в точці А від дії елементарного навантаження qdz на відстані z визначається з
формули (1.5) заміною P на qdz. Перейшовши до змінної z L , dz=Ldξ отримаємо:
7
Рис. 1.3. Дія на нескінченно довгу балку рівномірно розподіленого навантаження
v |
qdzL3 |
e (sin cos ) |
|
8EJ |
(1.9) |
|
||
|
qd L4 |
|
|
e (sin cos ). |
|
|
8EJ |
|
Збираючи прогини від розподіленого навантаження q по довжині його прикладення l шляхом інтегрування можна знайти прогин в точці
А:
cL |
4 |
|
|
|
|
qL |
|
|
|
v |
|
e |
|
(sin cos )d |
8EJ |
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
l cL |
4 |
|
|
0 |
qL |
e (sin cos )d . |
(1.10) |
8EJ |
|||
|
|
|
|
Шляхом диференціювання рівняння (1.10) можна отримати вирази для визначення M, Q і φ при дії розподіленого навантаження:
|
|
cL |
3 |
|
|
|
|
l cL |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
qL |
|
e |
sin d |
|
qL |
|
e |
sin d |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4EJ |
|
|
|
4EJ |
|
|
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cLqL2 |
e |
|
(sin cos )d |
l cL qL2 |
e |
|
(sin cos )d ; |
||||||||||||||||
M |
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
cLqL |
|
l cL qL |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Q |
|
0 |
2 |
e |
|
cos d |
0 |
2 |
e |
|
|
|
cos d . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(1.11)
(1.12)
(1.13)
Якщо точка А не належить навантаженій ділянці балки, а величині b та c – відповідно більша та менша відстань від точки А до границь рівномірно розподіленого навантаження, то прогин в точці А можна знайти за формулою:
|
|
bL |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cL |
4 |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
qL |
e |
|
(sin cos )d |
|
qL |
e |
|
(sin cos )d |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
8EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8EJ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.14) |
|||||
|
|
0 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
c |
|
c |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
qL4 |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
e |
|
L cos |
|
e |
|
L cos |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
8EJ |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|||
При дії на балку зосередженого моменту вирази для визначення v(z), φ(z), M(z) і Q(z) можна отримати, розглядаючи зосереджений момент як пару сил з нескінченно малою відстанню між ними (рис. 1.4):
M0L2 e sin ; (1.15)
8EJ
8
а)
б)
Рис. 1.4. Дія на нескінченно довгу балку зосередженого моменту
|
M0L |
e (sin cos ) ; |
(1.16) |
||||
|
|
||||||
|
4EJ |
|
|||||
M |
|
M0 |
e cos ; |
(1.17) |
|||
2 |
|||||||
|
|
|
|
||||
Q M0 |
e (sin cos ) . |
(1.18) |
|||||
|
2L |
|
|
|
|
|
|
У разі одночасної дії на балку різних навантажень для визначення v(z), φ(z), M(z) і Q(z) застосовується принцип суперпозиції.
1.1.3 Розрахунок короткої балки
При розрахунку коротких балок рекомендується використовувати метод початкових параметрів, який дозволяє записати універсальне рівняння осі зігнутого бруса згідно (1.2).
Вирішення цього рівняння було запропоноване академіком О.М. Криловим:
v AФ1 ( ) ВФ2 ( ) СФ3 ( ) DФ4 ( ), |
(1.19) |
де A, B, C, D – довільні постійні; Ф1(ξ), Ф2(ξ), Ф3(ξ), Ф4(ξ) – функції Крилова, які можна обчислити за формулами (1.6) або використовуючи спеціальні
таблиці, приведені в підручниках і довідниках.
Ф1 ( ) ch cos ,
Ф2 ( ) 12 (ch sin sh cos ),
|
|
|
|
Ф3 ( ) 1 sh sin , |
|
(1.20) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ф ( ) 1 (ch sin ch cos ), |
|
|
|
||
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
sh |
e e |
– гіперболічний синус; ch |
e e |
– гіперболічний |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||
косинус. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Диференціюючи (1.19) по ξ, отримують вирази для φ( ), M( ) и |
|
Q( ). |
|||||
Значення параметрів v(z), φ(z), M(z) і Q(z) на початку координат (z=0, z |
L |
0 ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
називають початковими параметрами і позначають v0, φ0, M0 і Q0.
Результати диференціювання і інтегрування функцій Крилова представлені в таблиці 1.2.
Таблиця 1.2 – Результати диференціювання і інтегрування функцій Крилова
9