Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донбасская национальная академия строительства и архитектуры

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка высшая математика

.pdf

Скачиваний:

211

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

648.96 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Пример. а) ∫

x −

точке

x = 1

подынтегральная функция

терпит разрыв

рода.

Следовательно,

= lim

1−ε

= lim ln

− x

1−ε

= lim(lnε −ln1)

= limln ε = −∞,

(ε > 0) ,

∫

0 x −1

ε→0

x −1

ε→0

интеграл расходится.

б)

∞

arctgx

= lim (arctga −

∫

= lim ∫

= lim

) =

−

1 x2 +

1 a→∞ 1 x2 +1 a→∞

a→∞

интеграл сходится.

171. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой x2 = 4y

и кривой

y= x2 8+ 4 .

172.Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя параболами x = 4 − y2 и

x= y2 − 2y .

173.Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя окружностями ρ = cosϕ

иρ = sinϕ .

174.Вычислить площадь эллипса x = 2 cost , y = 6sin t .

175.Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной гиперболой x2 − y2 = 4 и прямыми y = ±2 .

176.Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой x2 = y и прямой y = 2x .

177.Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной двумя параболами y = x2 и 8x = y2 .

178.				π
178.	Вычислить длину дуги кривой y = 1− ln cosx , x 0;			4	.
				4
179.	Вычислить длину дуги одной арки циклоиды		x = t − sin t , y = 1− cost
	(0 ≤ t ≤ 2π) .
180.	Вычислить длину дуги части кривой ρ = sin3 ϕ	(0 ≤ ϕ ≤				π ) .
	3					2

Литература к задачам 171-180: [3], т.2, гл.II, §1,3-5; [4], т.1, гл.XI, §4-7; гл.XII, §1-5; [5], т.II, р.II, гл.II, III; [6], гл.XIV, §2; [9], с.716-756, 777-812; [10], §2.4; [11], гл.V, §2,3; гл.VI, §1; [15], гл.V, §3-7; [21], гл.6, §7-12; [22], §6.1, 6.2, 6.12.

Пример.

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = 3x − x2 и прямой y = −x .

Находим точки пересечения данных кривых и строим искомую фигуру

y = 3x − x2

, 3x − x2 = −x,

x2 − 4x = 0,

x(x − 4) = 0,

x1 = 0,

x2 = 4,

y1 = 0, y2 = −4,

y = −x,

Следовательно, имеем

S = ∫(3x − x

−(−x))dx

=∫(4x − x

)dx =

(2x

−

)

9 4

y = 3x − x2

y = −x

0	3 2	x
		x

-4

б) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой y2 = 4 − x и ось Оу.

4			x		2		) 4 = 8π
Vx = π∫	(4 − x)dx =π(4x −		x
Vx = π∫	(4 − x)dx =π(4x −
0		2				0
0								π ) .
в) Найти длину астроиды x = a cos3 t , y = a sin3 t (0 ≤ t ≤								π ) .
				2				2
				2		t sin t
Найдем	xt′ = −3a cos					t sin t
Найдем		2

	yt′ = 3a sin			t cost
	yt′ = 3a sin			t cost
Следовательно, имеем
π							π

l = 2∫	(−3a cos2 tsin t)2 + (3a sin2 tcost)2 dt = 2∫ 9a2 sin 2 tcos2 tdt =
0						0
π		3a		π		3a
= 3a 2∫sin tcostdt =			sin 2 t	2	=		.
		2				2
0				0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

181 – 200. Найти общее решения дифференциального уравнения.

181. 2x3 y′ = y(2x2 − y2 ) . 182. y = x(y′ − x cosx) .

183. xy′− y = (x + y)(ln(x + y) −ln x) .

185. xy′− y = xtg xy .

187. xy y′ = y2 + x2 y′. 189. x − y + (x + y) y′ = 0 .

191. xy′′ = y′ + xsin yx′.

193. y′′(ex +1) + y′ = 0 . 195. 2xy′y′′ = y′2 −1. 197. (1− x2 ) y′′− xy′ = 2 .

199. y′′ = 2( y′−1)ctgx .

184.

186.

188.

190.

192.

194.

196.

198.

200.

y′ = 2x(x 2 + y) .

xy′+ (x +1) y = 3x2e−x .

x(x +1)( y′−1) = y . (xy′−1) ln x = 2 y .

yy′′ = y′2 − y′3 .

y4 − y3 y′′ =1.

yy′′− 2 yy′ln y = y′2 . yy′′ = y2 + y′2 .

2 y′′ = e y .

Литература к задачам 181-200: [3], т.2, гл.VI, §1,2; [4], т.2, гл.XIII, §3- 7,18; [5], т.III, р.II, гл.I, §4-6; гл.II, §2; [9], с.838-865; [10], §3.1, 3.3, 3.5; [11], гл.X, §1,2; [13], гл.1,2; [14], разд.1,2; [15], гл.X, §1-6; [22], §7.1, 7.3-7.5, 7.11.

Пример.

а) (x − y)y′ = y .

Запишем уравнение в виде:

y′ =

;

f (x, y) =

;

f (kx, ky) =

= f (x, y) .

x − y

kx − ky

x − y

Следовательно, данное уравнение – однородное. Делаем замену

переменной

y = tx ,

y′ = t ′x + t .

t′x + t =

t ′x =

− t ,

t ′x =

t 2

− t

1− t

Разделяя переменные, получим: x

1− t

dt =

1− t

t 2

Интегрируя, находим общее решение

∫(

)dt =

∫

− ln C ,

−

− ln

= ln

t e

Возвращаясь к старой переменной получаем общий интеграл

e y

или

ye y

= C .

б) y′ − xy = x .

Данное уравнение линейное. Ищем решение в виде y = uv , y′ = u′v +uv′.

′

uv′ + u′v −

= x ,

u v

+u(v

−

) = x .

Решаем уравнение.

v′ −

= 0,

= ln

v = x .

Подставляя полученное значение v в уравнение имеем

u′x = x ,

= 1, u = x + C .

или y = x 2 + Cx .

Общее решение y = uv = (x + C)x

в) yy′′ + y′2

= 0.

Так как данное уравнение не содержит явно x , то делаем замену

y′ = p(y),

y′′ = pp′.

Получим ypp′ + p2

= 0 . Откуда или

p = 0, y′ = 0, y = C

или yp′ + p = 0 ,

= −p ,

= −

, ln

= −ln

+ ln C ,

p =

y′ =

, ydy = C dx ,

y2 = C x + C

Первой

решение

y = C

получается

из

второго при C1 = 0.

Следовательно, общее решение y = ±

C1x + C2 .

201–210.

Найти

частное

решение

дифференциального

уравнения

y′′ + py′ + q =

f (x),

удовлетворяющее

начальным

условиям

y(0) = y0 ,

y′(0) = y0′ .

201.

y′′ − 2y′ + y = −12 cos2x − 9 sin 2x ,

y(0) = −2 , y′(0) = 0 .

202.

y′′ − 6y′ + 9 y = 9x2 − 39x + 65, y(0) = −1, y′(0) = 1.

203.y′′ − 4y′ + 20y = 16xe2 x , y(0) = 1, y′(0) = 2.

204.y′′− y = (14 −16x)e−x , y(0) = 0 , y′(0) = −1.

205.y′′ −10y′ + 25y = e5x , y(0) = 1, y′(0) = 0 .

206.y′′ − 6y′ + 25y = 9 sin 4x − 24 cos4x , y(0) = 2 , y′(0) = −2 .

207.y′′ − 3y′ + 2 y = −sin x − 7cos x , y(0) = 2 , y′(0) = 7.

208.y′′ + 2 y′ = 6x2 + 2x +1, y(0) = 2 , y′(0) = 2.

209.y′′ +16y = 32e4 x , y(0) = 2 , y′(0) = 0 .

210.y′′ − 4y = 8e2 x , y(0) = 1, y′(0) = −8.

Литература к задачам 201-210: [3], т.2, гл.VI, §3; [4], т.2, гл.XIII, §20,21,23,24; [5], т.III, р.II, гл.I, §4,5; [6], гл.XV, §5; [9], с.865-926; [10], §3.6- 3.10; [11], гл.X, §3; [13], гл.3; [14], разд.3; [15], гл.X, §7,8; [22], §7.12-7.14.

Пример. y′′ −5y′ + 6y = (12x − 7)e−x , y(0) = 0 , y′(0) = 0 .

Находим общее решение однородного уравнения k 2 − 5k + 6 = 0 ,

k1 = 2 , k2 = 3,

y0 = C1e2x + C2 e3x .

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде y = (Ax + B)e−x .

Тогда

y ′ = Ae−x − ( Ax + B)e−x ,

y′′ = −2Ae−x + ( Ax + B)e−x ,

−2Ae−x +(Ax + B)e−x −5Ae−x +5(Ax + B)e−x +6(Ax + B)e−x = (12x −7)e−x ,

12 Ax +12B − 7 A = 12x − 7 ,
12A =12,		A	=	1,

	= −7,	B	= 0.
12B −7A

Частное решение равно

y= xe−x ,

аобщее решение неоднородного уравнения

y= y0 + y = C1e2x + C2 e3x + xe−x .

Найдём

y′ = 2C1e2x +3C2e3x + e−x + xe−x .

Подставляя начальные условия получим систему уравнений для определения C1 и C2 :

C + C		= 0	C1	= 1,	C2 = −1.
1	2
2C1 + 3C2 +1 = 0

Частное решение y = e2x − e3x + xe−x .

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

211 – 220. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (a > 0) .

211. (x2 + y2 )2 = a 2 (4x2 + y2 ) .

212. x2 − y2 = (x2 + y2 )2 .

213.	(x2	+ y2 )2 = a2 (5x2 + 3y2 ) .	214.	(x2	+ y2 )2 = a2 (7x2 +5y2 ) .
215.	(x2	+ y2 )2 = 2a2 xy .	216.	(x2	+ y 2 )3 = a 4 y 2 .
217.	(x2	+ y2 )3 = a4 x2 .	218.	(x2	+ y2 )3 = a2 (x4 + y2 ).
219.	(x2 + y2 )3 = 2ay3 .		220.	(x2 + y2 )3 = 4a2 (x2 − y2 ).

Литература к задачам 211-220: [3], т.2, гл.III, §1-3; [4], т.2, гл.XIV, §1-5; [5], т.III, р.III, гл.I, §4-6,9; [6], гл.XVI, §4; [7], ч.1, гл.I, §11; [10], §6.1-6.4; [11], гл.VIII, §1; [15], гл.VII, §1-3; [21], гл.6, §7; [22], §6.5, 6.7.

Пример. x2 + y2 = a2 (x2 − y2 ).

Перейдем к полярным координатам по формуле x = ρsinϕ , y = ρ cosϕ . Уравнение кривой в этих координатах примет вид

ρ2 = a2 cos 2ϕ ,

ρ= a cos 2ϕ .

Последнее уравнение задает кривую, которая называется лемнискатой Бернулли. Как видно из уравнения, кривая симметрична относительно координатных осей и поэтому площадь фигуры S = ∫∫ρdρdϕ .

D – фигура,

Здесь

лежащая

в первом квадранте, для

которого

0 ≤ϕ ≤π 2 , 0 ≤ ρ ≤ a

cos2ϕ . Следовательно,

π 4

a cos2ϕ

π 4

cos2

S = 4 ∫

dϕ

∫ ρdρ = 4 ∫

dϕ =2a2

∫ cos2ϕdϕ = a2 sin 2ϕ

= a2 .

221-230. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость xOy.

221.z = y2 , x + y = 1, y ≥ 0 , z ≥ 0.

222.z = x2 , x − 2y + 2 = 0 , x + y − 7 = 0, z = 0 .

223.z = 4 − x2 , x2 + y2 = 4, , z ≥ 0.

224.z = 2x2 + y2 , , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 .

225.z = 2x + 3y −12, 2z = y2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 .

226.z = x2 , x + y = 6, y = 2x , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

227.z = x2 , x = y2 , z = 3x + 2y + 6 , z = 0 .

228.x2 + y2 = 1, z = 2 − x2 − y2 = 4 , z ≥ 0.

229.z = 2x2 + y2 , x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 .

230.y = x , y = x , x + y + z = 2 , z ≥ 0.

Литература к задачам 221-230: [3], т.2, гл.III, §4; [4], т.2, гл.XIV, §11-13;

[5], т.I, р.I, гл.VII; т.III, р.III, гл.I, §7,9; [6], гл.X, §2; гл.XVI, §3; [7], ч.2, гл.VI; [10], §6.1-6.4; [11], гл.VIII, §2; [15], гл.VII, §6,7; [21], гл.6, §7; [22], §6.6, 6.7.

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 + y2 ; x + y = 1; x = 0; y = 0; z = 0 .

Данное тело ограничено координатными плоскостями, плоскостью x + y = 1, параллельной оси Oz и параболоидом вращения z = x2 + y2 .

Сделаем чертеж.

z = x2 + y2

1 y

x + y =1

Рис. 1. Чертеж тела.

1 x

Рис.2. Чертеж проекции тела на плоскость xOy.

Искомый объем можно вычислить по формуле:

V = ∫∫∫dxdydz = ∫∫dxdy									x2 +y2										1		1−x
V = ∫∫∫dxdydz = ∫∫dxdy										∫dz = ∫∫(x2						+ y2 )dxdy =∫dx ∫							(x2 + y2 )dy =
	V						D			0			D						0			0
1		2		1		3		1−x		1		2		3			(1− x)	3				3		x	4		(1	− x)	4	1		1



																				x
= ∫ x			y +		y			dx	=	∫	x		− x		+				dx =				−			−					=		.
= ∫ x			y +		y			dx	=	∫	x		− x		+				dx =				−			−					=		.
0				3												3					3			4				12				6
								0		0																				0

231 – 240. Вычислить данные криволинейные интегралы. Сделать чертеж.

231.	∫(x2 + 2xy)dx + ( y 2 − 2xy)dy , где L – дуга параболы y = x2	от точки
	L
А(-1;1) до точки В(1;1).
232.	∫(x2 + y 2 )dx + 2xydy , где L – дуга кубической параболы	y = x3 от
	L

точки О(0;0) до точки А(1;1).

233.	∫(x2 + y2 )dx + (x + y 2 )dy , где L –	ломаная	АВС; А(1;2); В(3;2);
С(3;5).	L
С(3;5).	∫ ydx + xdy , где L – дуга окружности x = R cost ; y = Rsin t ; от точки
234.
	L
О(R;0) до точки А(0;R).		x = 2 cos3 t ;	y = 2sin3 t ; от точки
235.	∫ xdy − ydx , где L – дуга астроиды	x = 2 cos3 t ;	y = 2sin3 t ; от точки
	L

А(2;0) до точки В(0;2).

236. ∫(xy −1)dx + x2 ydy , где L – отрезок прямой АВ; А(1;0) до точки

В(0;2).

237. ∫2xydx − x2 dy , где L – ломаная ОВА;О(0;0); А(2;0); В(2;1).

	L	ydx + xdy
238.	∫	ydx + xdy	, где L – отрезок прямой АВ; А(1;2); в(3:6).
238.	∫	x2 + y 2	, где L – отрезок прямой АВ; А(1;2); в(3:6).
	L	x2 + y 2
239.	∫(xy −1)dx + x2 ydy , где L – дуга эллипса x = cos t ; y = sin t ; от точки
	L

А(1;0) до точки В(0;2).

240. ∫ xydx + ( y − x)dy , где L – дуга параболы y2 = x от точки О(0;0) до

точки А(1;1).

Литература к задачам 231-240: [3], т.2, гл.IV, §1; [4], т.2, гл.XV, §1,2; [5], т.III, р.III, гл.II, §2; [10], §7.1; [11], гл.IX, §1; [15], гл.VII, §8; [21], гл.6, §7; [22], §6.4.

Пример.

∫(x − y)dx + dy ,

где L –

дуга верхней

половины

окружности

x2 + y2 = R2 от точки А(R;0) до точки В(-R;0).

Запишем уравнение окружности в параметрическом виде x = R cost ;

y = R sin t . В точке А(R;0) параметр t −0 ; а в точке В(-R;0) параметр t =π .

Найдем: dx = −R sin tdt , dy = R costdt .

Следовательно:

∫(x − y)dx + dy = ∫[(Rcost − Rsin t)(−Rsin t) + Rcost]dt = −R2 ∫cost sin t dt +

R2 cos2 t

π0

+ R2

+ R2 ∫sin t dt +R∫costdt =

∫(1 − cos 2t)dt + Rsin t

−

πR2

sin 2t

РЯДЫ.

∞

241 – 250. Найти интервал сходимости степенного ряда ∑an .

n=1

241.

an =

242.

n2n

243.

an = 5n xn .

244.

an = (nx)n .

6n 3 n

245.

an =

2n xn

246.

(

)

247.

an =

2n xn

248.

n!xn

3 n

249.

an =

(n +

1)xn

250.

2n xn

2n3n+1

−

Литература к задачам 241-250: [3], т.2, гл.V, §1,3; [4], т.2, гл.XVI, §7,8,13; [5], т.II, р.III, гл.II, §3; гл.I, §4,5; [6], гл.XVII, §3; [11], гл.XI, §1,3; [15], гл.IX, §1-3.

∞ 2n xn

Пример. Найти интервал сходимости степенного ряда ∑ .

n=13n n

Т.к. an =	2n xn		2n+1 xn+1
	3n	; an+1 =	3n+1	,
		n		n +1

то R = lim

2n3n+1 n +1

lim

n +1

n→∞ 2n+13n n

2 n→∞

Значит, степенной ряд сходится в интервале

−

;

. На концах

этого интервала ряд может сходиться или расходиться. При x = −

имеем

∞

знакочередующийся ряд

. Он сходится по признаку Лейбница.

∑(−1)n

n=1

∞

1 ,

При x =

, получаем

знакопостоянный ряд

члены которого

∑

n=1

больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда.

Значит, при x =

степенной ряд расходится. Область сходимости данного

интервала является интервал −

;

251-260. вычислить определенный

интеграл

∫ f (x)dx

точностью до

0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

251.

f (x) = ln(1 +

x) , a = 0,25 .

252.

f (x)= x cos x , a = 0,2 .

xe−

arctgx2

253.

f (x) =

; a = 0,04 .

254.

f (x) =

; a = 0,5 .

255.

f (x) =

3 1+

; a

=1.

256.

f (x) =

sin x2

; a = 0,5.

257.

f (x) =

x − arctgx

; a = 0,5 .

258.

f (x) = arctg(

x ) ; a =1.

f (x) = e−2x2

259.

f (x) =

1 + x2 ; a = 0,5 .

260.

; a = 25 .

Литература к задачам 251-260: [3], т.2, гл.V, §4,6; [4], т.2, гл.XVI, §16,17,21; [5], т.II, р.III, гл.II, §5-7; [6], гл.IV, §5; [11], гл.XI, §4,5; [15], гл.IX, §4,5; [22], §9.7, 9.11.

Пример. f (x) = sin(x2 ) ; a =1.

Воспользуемся формулой

sin x = x − x3 + x5 −... +(−1)n−1 3! 5!

x2n−1

(2n −1)! +...,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.02.201610.58 Mб102Метод_КБ_2010.doc
#
21.02.20165.45 Mб12Метод_передачи_2012.doc
#
21.02.2016378.37 Кб13Метод_указ_УПП_контр.раб.doc
#
21.02.2016612.16 Кб7Методика кред модульн критерии оценок.pdf
#
13.08.20192.74 Mб38Методичка ВНС.DOC
#
21.02.2016648.96 Кб211методичка высшая математика.pdf
#
21.02.2016153.6 Кб21Методичка для заочников по упр. персоналом.doc
#
21.02.201611.89 Mб247Методичка ЖБК_укр.pdf
#
21.02.2016280.3 Кб8методичка иностран.яз..pdf
#
21.02.2016353.79 Кб5методичка ист заоч 2011.doc
#
21.02.2016453.12 Кб10МЕТОДИЧКА КУЗНЕЦОВА КОРП,УПР,.doc