методичка высшая математика
.pdf51
прямоугольные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора окажется наименьшей, и чему она равна?
115. Величина угла при вершине А трапеции ABCD равна α. Длина боковой стороны AB вдвое больше длины меньшего основания BC. При каком значении α величина угла BAC будет наибольшей, и чему она будет равна?
116.Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, имеющего наибольшую площадь при данной постоянной длине медианы, проведенной к его боковой стороне.
117.Из пункта А на прогулку вышел пешеход со скоростью v км/ч. После того, как он отошел от А на S км, из А следом за ним выехал велосипедист, скорость которого была на v1 больше скорости пешехода. Когда велосипедист догнал
пешехода, они повернули назад и возвратились вместе в А со скоростью v2 км/ч. При каком значении v время прогулки пешехода окажется
наименьшим, если значения S, v1 и v2 считать заданными? Чему равно это время?
118. Известно, |
что |
мощность |
Р, отдаваемая электрическим |
элементом, |
определяется |
по |
формуле |
P = E 2 R (R + r)2 , где Е – |
постоянная |
электродвижущая сила элемента, r – постоянное внутреннее сопротивление, R – внешнее сопротивление. Каким должно быть внешнее сопротивление R, чтобы мощность P была наибольшей? Каково значение этой мощности?
119.Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет постоянную заданную длину и составляет с плоскостью основания угол α. При каком значении α объем пирамиды будет максимальным, и чему этот объем равен?
120.В конус с заданным постоянным объемом вписана пирамида; в ее основании лежит равнобедренный треугольник, у которого величина угла при
вершине равна α. При каком значении α объем пирамиды является наибольшим, и чему он равен?
Литература к задачам 111-120: [4], т.1, гл.V, §7; [6], гл.IV, §1; [9], с.358364, 439-463; [15], гл.III, §6.
Пример. Площадь поверхности сферы равна S. Какова высота цилиндра наибольшего объема, вписанного в эту сферу? Чему равен этот объем?
Пусть цилиндр образован вращением |
|
M |
|
||||||||||||||||||
прямоугольника ABCD вокруг диаметра MN. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
B |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Полагая AD=x, выразим объем V цилиндра |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
как функцию от x. |
|
Имеем, |
S = 4πOB2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
откуда |
OB2 = S 4π. |
|
|
Далее, |
из |
AOB |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
|
AB |
= OB |
−OA |
, |
то |
есть |
O |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
AB2 = |
S |
|
− |
x2 |
= |
S −πx2 |
. |
Тогда |
объем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4π |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N C
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цилиндра равен V (x)= πAB2 AD = |
Sx −πx3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3πx2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
S − |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
′ |
|
|
|
′ |
при |
S −3πx |
|
= 0 . |
Отсюда |
находим |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
V (x)= |
|
4 |
|
; V (x)= 0 |
|
||||||||||
|
|
S |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|||
|
x = |
3π (так как x>0). При 0 < x < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3π имеем V (x)> 0 , а если x > 3π , |
||||||||||||||||
|
то |
′ |
|
|
|
|
S |
является |
точкой |
максимума и |
|||||||
|
|
|
|
|
3π |
||||||||||||
|
V (x)< 0 . Следовательно, x = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
S |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
S . |
|
|
соответствует наибольшему объему V (x)== |
3π |
|
|
3π = |
S |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
6 |
3π |
|
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |
|
|||||||||||||||
121-130. |
Исследовать |
|
методами дифференциального |
исчисления |
функцию |
||||||||||||
y = f (x) |
и, используя результаты исследования, построить ее график. |
|
|
121.y = x3 + 4 .
x2
123. y = ln x −x 5 + 2 . 125. y = 3 x(x −1)2 .
127. y = ln x −x 2 − 2 .
129. |
y = |
x2 |
−3 |
. |
||
3x |
2 |
− 2 |
||||
|
|
|
122. y = (4 − x)ex−3 .
124. |
y = |
e x+3 |
. |
|
|
|
|
|
||
x + |
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
126. |
y = |
4x |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
3 + x2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
128. |
|
|
|
|
|
x |
2 |
+1 |
|
|
y = ln x + |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
130. |
y = |
|
4x3 |
−3x |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Литература к задачам 121-130: [3], т.1, гл.V, §2; [4], т.1, гл.V, §2-5, 9-11; [5], т.II, р.I, гл.II; [6], гл.IV, §6,7; [9], с.471-481; [11], гл.IV, §2,3; [12], §4.1,4.2; [15], гл.III, §3-9; [21], гл.4, §27-31; [22], §4.30-4.33.
Пример. y = x2 −5 . x −3
1.Область определения: x (−∞;3) (3;+∞).
2.f (− x)≠ f (x), f (− x)≠ − f (x), -следовательно, функция не является ни
четной, ни нечетной, то есть это функция общего положения.
3. Исследуем характер точки разрыва x = 3 и поведение функции вблизи этой точки:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
lim |
|
x2 −5 |
|
= lim |
(3 −ε)2 −5 |
= |
lim |
|
|
4 |
|
= −∞, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x −3 |
|
3 −ε −3 |
|
|
|
|
−ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x→3−ε |
|
ε→0 |
|
|
|
|
|
ε→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
lim |
x2 −5 |
|
= lim |
(3 + ε)2 −5 |
= |
lim |
|
4 |
= +∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x −3 |
|
3 + ε −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x→3+ε |
|
ε→0 |
|
|
|
ε→0 |
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Таким образом, в точке x = 3 функция терпит разрыв второго рода, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а прямая x = 3 является вертикальной асимптотой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Определим уравнение наклонной асимптоты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = kx +b , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
x2 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1−5 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
k = |
|
lim |
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3) |
|
|
1 |
−3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→±∞ x |
|
x→±∞ x(x |
|
x |
→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−5 |
− x |
2 |
+3x |
|
|
||||||||||||
b = |
lim |
[f (x) |
− kx]= |
|
lim |
|
x |
|
|
|
− x |
= |
|
|
lim |
|
|
x |
|
|
= 3 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→±∞ |
|
|
|
x→±∞ |
x −3 |
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y = x +3 - наклонная асимптота. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Проверим, как расположен график функции по отношению к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
асимптоте при x → ±∞, то есть лежит он выше или ниже. |
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как значения функции определяются выражением |
y = |
−5 |
, а |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x −3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ординаты точек асимптоты - функцией y = x +3 то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y − y = |
x2 −5 |
−(x +3)= |
|
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При |
x → +∞: |
y − y > 0 , |
следовательно, |
график функции лежит над |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
асимптотой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
При |
x → −∞: |
y − y < 0 , |
следовательно, |
график функции лежит под |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
асимптотой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. Определим критические точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
y |
′ |
|
|
2x(x −3)− x2 +5 x2 −6x +5 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
|
|
|
|
(x −3)2 |
|
= (x −3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
y′ = 0 при x2 −6x +5 = 0 , то есть при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x =1 и |
x = 5 , - |
других критических точек в области определения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции нет. Значения функции в критических точках: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y(1) |
= 2 , y(5)=10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. Найдем вторую производную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
y′ |
= |
|
(2x −6)(x −3)2 − 2(x −3)(x2 −6x +5) |
= |
|
x2 |
−6x +5 |
= |
|
|
8 |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −3) |
|
|
|
(x −3) |
|
|
54
y′ ≠ 0 , следовательно, точек перегиба нет.
7. Внесем все полученные данные в таблицу, определим поведение функции на различных участках и построим график.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(−∞;1) |
|
1 |
(1;3) |
3 |
(3;5) |
|
5 |
(5;+∞) |
|
y′ |
+ |
|
0 |
- |
|
- |
|
0 |
+ |
|
y′′ |
- |
|
- |
- |
|
+ |
|
+ |
+ |
|
y |
|
|
2 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
min |
|
|
|
Положительные значения первой производной соответствуют |
|||||||||
промежуткам |
возрастания, отрицательные – |
промежуткам убывания. |
Положительные значения второй производной соответствуют промежуткам вогнутости функции, отрицательные – промежуткам выпуклости. Точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием, является точкой максимума, а точка, в которой убывание функции сменяется возрастанием – точкой минимума.
y
10 y=x+3
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O 1 3 5 |
x |
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
131-140. Дана функция z = f (x, y). Показать, что
55
|
∂z |
|
∂z |
|
∂2 z |
|
∂2 z |
|
∂2 z |
|
|||
F x; y; z; |
|
; |
|
; |
|
2 |
; |
|
2 |
; |
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∂x ∂y |
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
z = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
131. |
|
|
|
|
|
, |
|
|
F = y |
|
∂x |
− x |
∂y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(x2 + y2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y2 |
|
|
|
1 xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
2 ∂z |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
132. |
z = |
|
+ e |
|
|
|
|
, |
|
|
F = xy |
∂y |
− x |
|
|
∂x |
− y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
133. |
z = e y cos yex2 |
|
2 y 2 |
, F = (x2 − y2 )∂z |
|
+ xy |
∂z − xyz . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|||||
134. |
z = x |
2 |
tg |
|
y |
|
+ |
|
y |
|
, F = x |
2 ∂2 z |
|
+ 2xy |
∂2 z |
|
+ y |
2 |
∂2 z |
−2z . |
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
x2 |
|
∂x2 |
|
∂x∂y |
|
|
|
∂y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
135. |
z = x arcsin(x + y)+ yex+ y , F = ∂2 z |
− 2 |
|
∂2 z |
|
+ ∂2 z . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x∂y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
∂y2 |
||||||||
136. |
z = ln(x − 2y)+ ex+2 y , F = ∂2 z − 4 ∂2 z . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
137. |
z = ln |
|
x2 + y2 , F = ∂2 z |
|
+ ∂2 z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
138. |
z = |
|
1 |
|
|
e |
−x2 16 y |
, F = |
∂z |
− 4 |
∂2 z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
139. |
z = x2arctg |
|
|
|
|
, F = x |
∂z |
+ 2 y |
∂z |
− 2z . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
140. |
z = |
|
x |
+ y |
|
|
, |
|
|
F = |
∂z |
− |
∂z |
+ 4x |
∂2 z |
|
− 4 y |
∂2 z |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
− y |
|
|
∂y |
∂x |
∂x2 |
|
∂y2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Литература к задачам 131-140: [3], т.1, гл.VI, §2; [4], т.1, гл.VIII, §5,10,12; [5], т.III, р.I, гл.II, §1,4,10; [6], гл.IX, §3,4; [9], с.499-535; [11], гл.VII, §2; [12], §6.2,6.3; [15], гл.VI, §3,5,7; [21], гл.4, §3, 13, 16; [22], §4.3, 4.13, 4.16.
Пример. z = yex2 −y 2 , F = y2 ∂∂xz + xy ∂∂yz − xz .
При нахождении частной производной по одной из переменных со второй переменной обращаемся как с константой:
∂∂xz = 2xyex2 −y 2 , ∂∂yz = ex2 −y 2 −2y2ex2 −y 2 .
Подставляем найденные значения в функцию F:
56
F = 2xy3ex2 − y 2 + xyex2 − y 2 − 2xy3e x2 − y 2 − xyex2 − y 2 = 0,
что и требовалось доказать.
141-150. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = f (x; y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж области D.
141. |
z = 5x + y − x2 + 2y2 , |
x ≥ 0, y ≤ 0, 3x − 4y ≤12 . |
142. |
z = x2 − y2 + 2x + 4, |
x ≥ −2, y ≥ −1, y ≤ −x |
143. |
z = 3y2 − xy +5 , |
y2 −1 ≤ x ≤ 3 . |
144. |
z = x2 − 2xy − y2 + 2, |
x ≥ −1, y ≥ −1, x + y ≤ 2 . |
145. |
z = 6 + 4xy + 2x2 + y2 , |
−2 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 3. |
146. |
z = 2x2 − xy + 6 , |
x2 ≤ y ≤ 4 . |
147. |
z = 2x + y − 2x2 + 2y2 , |
x ≤ 2, y ≥ x −1, y ≤ 2 . |
148. |
z = 6 + x − y + xy + x2 , |
−3 ≤ y ≤ −1, x −3 ≤ y ≤ x . |
149. |
z = 2x2 + xy + y2 + 7 , |
y ≥ −x, y ≥ x, y ≤ 2 . |
150. |
z = 2x + xy + y2 +1, |
y ≥ 2x −12, y ≥ −x, y ≤ 0 . |
Литература к задачам 141-150: [3], т.1, гл.VI, §4; [9], с.550-568; [11], гл.VII, §4; [15], гл.VI, §9,10; [22], §4.38.
Пример. z = 4 + x2 + y2 , y ≥ 0, x ≤ 0, y ≤ x +1.
Необходимо найти критические точки функции и сравнить ее значения в этих точках со значениями функции на границах области.
Критические точки: |
|
|
|
y |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
∂z |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
2x = 0, |
x |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
||||
|
∂z |
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
= 0, |
2 y = 0, |
y |
|
|
1 |
||
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=x+1 |
|
|
|
z(0;0)= 4. |
|
|
|
|
|
|||
На границе АВ, заданной уравнением |
|
|
|
|||||
y = x +1, имеем: |
|
|
|
|
|
|
||
z = 4 + x2 +(x +1)2 = 2x2 + 2x +5 . |
A |
|
C |
|||||
Получили функцию одно переменной. |
-1 |
|
x |
|||||
Теперь найдем ее критические точки и |
|
|
|
|||||
сравним |
значения функции |
в них со |
|
|
|
значениями на границе отрезка АВ (то есть в точках А и В), - тем самым можно найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке
57
АВ.
∂z |
|
= 4x + 2 |
= 0 x = − |
1 |
, при этом y = x +1 = |
1 |
. |
||||||||||||
∂x |
2 |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Точка − |
|
|
; |
|
|
|
принадлежит области D, причем |
||||||||||||
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|||
z |
− |
|
; |
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение функции в т. А: z(−1;0)= 5 .
Значение функции в т. В: z(0;1)= 5.
Таким же образом исследуем функцию на двух других границах. На границе АС, заданной уравнением y = 0 , имеем:
z = 4 + x2 ,
∂∂xz = 2x = 0 x = 0 , при этом y = 0 ,
z(0;0)= 4 - критическая точка совпадает с граничной т.С. На границе ВС, заданной уравнением x = 0 , имеем:
z = 4 + y2 , - теперь уже имеем функцию только переменной у. ∂∂yz = 2 y = 0 y = 0 , при этом x = 0 ;
z(0;0)= 4 - значение в этой точке уже было рассчитано.
Далее, выбираем из всех полученных значений функции z наименьшее и наибольшее:
zmin = z(0;0)= 4 ,
zmax = z(0;1)= z(−1;0)= 5.
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
151 – 160. Найти неопределённый интеграл. В двух первых примерах [a) и б)] проверить результаты дифференцированием.
151. |
а) ∫ |
dx |
|
; |
б) ∫ln(x2 +1)dx |
|
(2x +1)3 ln |
2 |
|||||
|
|
(2x +1) |
|
в) ∫ |
4x − |
x2 −12 |
dx ; |
г) |
x |
3 |
|||
|
+ 8 |
|
|
|
152. а) ∫ |
dx |
; |
б) |
|
|
||||
cos2 x tg 3 x |
|
|
∫
∫
dx |
; |
5 + 2 sin x + 3cosx |
1 − x arcsin xdx ;
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
|
4x + 2 |
|
dx ; |
|
|
г) ∫ |
|
x +1 |
dx ; |
|||||||
x |
4 |
2 |
|
|
x |
x + |
|||||||||||
|
|
|
+ 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
153. а) ∫ arcsin5 2x dx ; |
б) ∫x sin x cos xdx ; |
||||||||||||||||
|
|
|
1− 4x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) ∫ |
|
|
5xdx |
|
; |
|
|
г) |
∫sin4 x cos5 xdx ; |
||||||||
x |
4 |
+ 3x |
2 |
|
− 4 |
|
|
||||||||||
154. a) ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
б) |
∫x3−4 x dx ; |
|||||
(1 |
+ x |
2 |
)arctg |
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
x3 + x2 − x − 3 |
dx ; |
г) |
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
4 |
− x |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
155. |
а) ∫e4−x2 xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|||||||||
|
в) ∫ |
|
|
|
|
2x2 − 7x +10 |
dx ; г) |
|||||||||||
|
(x −1)(x |
3 |
|
− x |
2 |
|
+ 4x − 4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
156. |
а) ∫ |
|
|
x − |
1 |
dx ; |
|
|
|
|
б) |
|||||||
|
7x |
2 |
+ |
4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) ∫ |
x2 + 2x + 4 |
dx ; |
г) |
||||||||||||||
|
x |
4 |
+ |
5x |
2 |
+ 4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
157. |
а) ∫ |
|
cos3 2x sin2xdx ; |
б) |
||||||||||||||
|
в) ∫ |
x 3 − |
2x +5 |
dx ; |
|
г) |
||||||||||||
|
4 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
158. |
а) ∫ |
|
x − 5 |
|
|
dx ; |
|
|
|
б) |
||||||||
|
|
|
|
4 − 9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx
∫ 2 sin x + 3cosx + 3 ;
∫arctg 5x dx ;
∫ |
|
x − 3 x |
|
||
3 x − 6 x −1dx |
; |
||||
∫ln |
2 − x |
|
dx ; |
|
|
|
|
||||
|
|
2 + x |
|
||
∫ |
3cos3 x |
|
|||
|
dx ; |
|
|||
sin4 x |
|
||||
∫ |
x arcsin x dx ; |
|
|||
|
1− x2 |
|
|||
∫ |
|
dx |
; |
||
3sin x − 4 cos x |
∫(x + 6) cos4xdx ;
в) ∫ |
|
|
(2x + 3)dx |
|
|
|
x + x + 3 x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
; |
г) |
∫ |
|
x(1+ 3 x) |
dx ; |
||||
|
(x −1)(x3 − x2 + 4x − 4) |
|
||||||||||||
159. а) ∫ |
|
|
cos xdx |
|
; |
|
|
б) ∫ arccos x dx ; |
||||||
|
|
3 − sin x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|||
в) ∫ |
|
2 |
− 8x |
dx ; |
|
г) ∫cos3 x sin8 xdx ; |
||||||||
4 |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
x |
+ 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160. а) ∫ |
|
5xdx |
; |
|
б) |
∫ |
|
x ln xdx ; |
|
|||||
|
|
|
7x 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
в) ∫ |
|
x 3 − x − |
1 |
dx ; |
|
г) |
∫ |
|
xdx4 . |
|
||||
|
4 2 |
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
x |
− x |
|
|
|
|
|
|
− x |
|
Литература к задачам 151-160: [3], т.2, гл.I; [4], т.1, гл.X, §1-13; [5], т.II,
59
р.II, гл.I; [6], гл.XIII; [9], с.575-716; [10], гл.1; [11], гл.V, §1; [15], гл.IV; [21], гл.5, §1-10; [22], §5.1-5.14, 5.17.
Пример.
а)
|
|
xdx |
|
|
|
= |
x2 = t |
|
|
|
|
xdx = |
1 |
dt |
= |
1 |
|
|
|
|
dt |
|
|
= |
|
|
1 |
arctgt +C = |
|
|
1 |
arctgx2 +C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x4 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 + |
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2xdx |
= dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
Проверка: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
d( |
arctgx2 +C) = |
d(arctgx2 ) + dC = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xdx = |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x4 |
|
|
|
|
|
|
1+ x4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
u = x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
dv = |
dx |
|
|
, |
|
v = ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= −ctgx |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
x |
|
|
|
sin |
2 |
|
x |
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Применим формулу интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= −xctgx + ∫ctgxdx = −xctgx + ln |
|
sin x |
|
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Проверка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|||||||||||||||||
d (−xctgx + ln |
|
sin x |
|
|
+ C) = −d (xctgx) + d (ln |
|
sin x |
|
) = −ctgxdx + |
|
|
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
+ ctgxdx = |
|
|
xdx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
в) |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
4 |
+ 3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
A |
+ |
|
|
B |
|
+ |
Cx + D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x4 + 3x2 |
|
|
|
x |
2 (x2 + 3) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 = Ax(x2 + 3) + B(x2 + 3) + x2 (Cx + D) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 = (A + C)x3 + (B + D)x2 + 3Ax + 3B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A + C = 0, |
|
|
|
|
C = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = −1 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
B + D = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3A = 0, |
|
|
|
|
A = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3B = 1, |
|
|
|
|
B =1 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
x |
4 |
|
|
dx |
|
|
|
2 = |
1 |
∫ dx2 − |
1 |
∫ |
|
x |
2dx |
3 |
= − |
|
1 |
|
|
− |
1 arctg |
x |
|
|
|
|
+ C . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3x |
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
3 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
3 3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
x |
= t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x = |
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
г) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + t |
2 |
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
8 − 4 sin x + 7 cos x |
|
cos x = |
|
1 − t 2 |
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + t 2 |
|
1 + t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
2dt |
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8t |
|
7(1 − t |
2 |
) |
|
|
|
|
8 |
+8t |
2 |
−8t + 7 − 7t |
2 |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(1 + t |
2 )(8 − |
|
|
|
+ |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8t +15 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 + t 2 |
|
1 + t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
t −4 = z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
−5 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
= 2∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
= 2∫ |
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
+C = ln |
|
+C =ln |
|
2 |
|
+C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(t − |
4) |
2 |
|
−1 |
|
dt = dz |
|
|
|
z |
2 |
|
−1 |
z |
+1 |
|
t |
− |
3 |
|
tg |
|
x |
−3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x + |
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
1 + x = t 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(t 6 −1+ t 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
д) ∫ |
|
|
dx = dx = 6t |
5 |
dt |
= |
|
∫ |
6t |
5 |
dt |
= 6∫(t |
9 |
|
+ t |
6 |
− t |
3 |
)dt = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t 6 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= 6 |
|
t10 + 6 t 7 |
|
− |
|
6 t 4 |
+ C = |
3 6 |
(x +1)10 + |
6 6 |
(x +1)7 − |
3 6 |
|
(x +1)4 + C = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
3 3 |
|
(x +1)5 + |
6 6 |
|
(x +1)7 |
|
|
− |
3 3 |
(x +1)2 |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
cosx = t |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
е) ∫cos2 x sin5 xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
= −∫t 2 (1− t 2 )2 dt = −∫t 2 (1− 2t 2 + t 4 )dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− sin xdx = dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
= −∫ |
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
t3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
1 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
7 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
(t |
|
− 2t |
|
+ t |
|
|
|
)dt |
= − |
|
|
|
+ |
|
|
|
t |
|
|
− |
|
|
|
|
t |
|
+ C |
= − |
|
|
|
cos x |
+ |
|
|
cos |
|
x − |
|
|
|
|
cos x |
+ C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
7 |
|
3 |
5 |
|
|
7 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
161 – 170. Вычислить несобственный интеграл или доказать его |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
расходимость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
161. ∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
162. ∫x3e−x2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x(ln x) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 + xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
163. ∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
164. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
165. ∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
166. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
(1+ x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
167. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
168. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ (x |
|
+ 2x + |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
169. ∫x ln xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
170. |
∫ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Литература к задачам 161-170: [3], т.2, гл.II, §2; [4], т.1, гл.XI, §7; [5], т.II, р.II, гл.II, §8; [6], гл.XIV, §4; [9], с.756-770; [10], §2.6; [11], гл.V, §4; [15], гл.V, §10; [21], гл.6, §9; [22], §6.11.