методичка высшая математика

31

AB = (−1)2 +32 + (−3)2 = 19 .

2) Угол между ребрами AB и AD равен углу между соответствующими векторами и находится по формуле:

cos ϕ = AB AD .

AB AD

Координаты вектора AD равны:

AD = {2;2;−3}, AD = 4 + 4 +9 = 17 .

плоскостью определяется по формуле

33

Сделать чертеж.

24. Точка А(1;2) является серединой одного из оснований прямоугольной трапеции, а точка В(3;-1) – серединой средней линии. Боковая сторона,

противолежащая ей сторона лежит на прямой x + y −1 = 0 составить уравнения двух других сторон. Сделать чертеж.

26.Даны координаты двух вершин треугольника А(2;-1), В(1;5) и точки пересечения его биссектрис L(3;0). Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.

27.Даны две вершины треугольника А(3;-1) и В(1;4) и точка пересечения его медиан L(0;2). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

28.Точки K(1;3) и L(-1;1) являются серединами оснований равнобедренной трапеции. Точка А(-5;5) является одной из вершин трапеции, а точка Q(-3;5) лежит на боковой стороне. Составить уравнения сторон трапеции. Сделать чертеж.

29.Точка Н(-3;2) является точкой пересечения высот треугольника, две стороны которого лежат на прямых y = 2x и y = −x +3 . Составить уравнение

третьей стороны. Сделать чертеж.

30. Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит на прямой 2x + y − 2 = 0, а

точка С(3;-1) является вершиной прямого угла. Площадь треугольника равна 94 . Составить уравнения прямых, на которых лежат катеты. Сделать чертеж.

Литература к задачам 21-30: [1], гл.5, §1,2; [2], §11-23; [3], т.1, гл.I, §2; [6], гл. II, §2; [7], ч.1, гл. II, III; [9], с.15-61; [22], §2.3.

Пример. Точка А(3;4) является вершиной квадрата, а точка O(2;2) – точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон квадрата.

34

y = 2x −2 - уравнение прямой АО.

Так как АО=ОС, то xA − xC = xO − xC , yA − yC = yO − yC , xC = 2xO − xA =1, yC = 2 yO − yA = 0.

Итак, С(1;0).

Для определения вершин В и D проведем через т. О прямую, перпендикулярную АС, и отложим на ней отрезки, равные АО, в противоположные от т. О стороны.

Как известно, угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых связаны соотношением k1 = −1k2 , следовательно, искомый

угловой коэффициент k1 = −12 , а уравнение прямой ВО имеет вид

y = − 12 x +b .

Определим значение b, зная, что данная прямая проходит через точку O(2;2):

xB = 4 , xD = 0, yB =1, yD = 3 .

Очевидно, эти две пары координат определяют вершины В(4;1) и

D(0;3).

Итак, найдены координаты всех вершин квадрата. Теперь несложно построить уравнения прямых, на которых лежат его стороны.

Прямая АВ:

35

Замечание. Можно было использовать и любые другие соотношения, позволяющие найти решение задачи, - например, использовать то свойство, что диагонали наклонены к сторонам под углом 45°; или, найдя одно из уравнений сторон, остальные можно было бы построить, используя свойства параллельных и перпендикулярных прямых, и т. п.

31-40. Линия задана уравнением ρ = ρ(ϕ) в полярной системе координат. Требуется:

1)Построить линию по точкам, начиная от ϕ = 0 до ϕ = 2π и придавая ϕ значения через промежуток π8 .

2)Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

3)По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Литература к задачам 31-40: [2], §24-40; [4], т.1, гл.I, §10; [5], т.I, р.I, гл.I, §5,6; гл.VI, §2-5; [9], с.61-73; [21], гл.2, §5.

По полученным значениям строим кривую.

ϕ = π2

ϕ = 3π8

ϕ = π4

ϕ = π8

ϕ = 0; 2π

1 ρ

Теперь определим уравнение данной линии в декартовой системе координат. Так как полярные координаты связаны с декартовыми соотношениями

то, подставляя эти значения в исходное уравнение, получаем

37

16(x2 + y2 )= (2 − x)2 , 15x2 + 4x +16 y2 = 4.

Выделим полный квадрат в левой части уравнения:

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

41-50. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Крамера; 2) Методом Гаусса.

38

Литература к задачам 41-50: [3], т.1, гл.I, §5; [5], т.I, р.I, гл.II, §2,6; [6], гл.IV, §2; [8], гл.2, §4; [9], с.124-139; [12], §1.9,1.10; [21], гл.3, §3; [22], §1.3.

Пример.

2x −3y + z = 2;x + 5y − 4z = −5;

4x + y −3z = −4.

Метод Крамера рассматривался в примере к задачам № 1-10, поэтому перейдем к решению системы методом Гаусса.

Перепишем систему в следующем виде:

x + 5y − 4z = −5;2x −3y + z = 2;

4x + y −3z = −4.

Теперь будем приводить систему к треугольному виду, последовательно исключая неизвестные. Начнем с исключения, например, неизвестной х во втором и третьем уравнениях. Для этого сначала прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на (− 2), и запишем полученное уравнение вместо второго, а к третьему – первое, умноженное на (− 4), и запишем результат на место третьего уравнения. Первое уравнение оставим в неизменном виде. Таким, образом, получаем следующую систему:

Теперь, оставляя в неизменном виде первое и второе уравнения,

Из последнего уравнения сразу следует значение неизвестной z. Подставляя его во второе уравнение, получаем y, а из первого уравнения после этого находим x:

x =5;y = 6;

z =10.