FIZIKA_kospekt_lektsy

т.е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой.

Амплитуды скорости и ускорения колебаний соответственно равны υmax = А и

amax= А 02. Фаза скорости (19.17) отличается от фазы величины (19.1) на , а

2

фаза ускорения (19.18) отличается от фазы величины (19.1) на . В момент времени, когда х=0 скорость колеблющейся точки максимальна по величине и равна амплитуде скорости в моменты прохождения колеблющейся точки через положение равновесия. При максимальных смещениях (х =±А) скорость равна нулю. Вектор скорости всегда направлен в сторону движения.

Ускорение равно нулю при прохождении колеблющейся точки через положение равновесия и достигает максимального по величине значения,

которое равно амплитуде ускорения, при максимальных смещениях колеблющейся точки. Вектор ускорения всегда направлен в сторону положения равновесия. Удаляясь от положения равновесия, колеблющаяся точка движется,

замедлено, приближаясь к нему – ускоренно.

191

График гармонического колебания, который описывается уравнением

(19.1), скорость гармонического колебания, описываемая уравнением (19.17), и

ускорение (19.18) показаны на рис.19.4. Видно, что смещение, скорость и ускорение гармонически колеблющейся точки являются периодическими функциями от времени с одинаковыми периодами.

19.4. Энергия колебаний

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания равна

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F равна

Подставляя значения, получаем выражение для потенциальной энергии колеблющегося тела.

Полная энергия, по закону сохранения энергии, остается постоянной.

Сложив (19.19) и (19.20) получим формулу для полной энергии:

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.

Из (19.21), видно, что значение полной энергии зависит прямо пропорционально от массы колеблющегося тела, а также от квадрата амплитуды.

192

19.5.Сложение гармонических колебаний

вдоль одного направления с одинаковой частотой

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, другими словами колебания необходимо сложить. Решение сложения нескольких колебаний одинакового направления, значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой. Для сложения колебаний одного направления и одинаковой частоты воспользуемся методом вращающегося вектора амплитуды А. Возьмем ось,

которую обозначим буквой х. Из точки О, взятой на оси х, отложим вектор длины А, образующий с осью угол φо, как показано на рис. 19.5(а). Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω0. то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от -А до +А, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону, описанному уравнением

(19.1). Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой φ0.

Угол φ0, который образуется между вектором амплитуды с осью х в

начальный момент времени, рис.19.5(а).

Если необходимо сложить два гармонических колебания с одинаковыми частотами с помощью векторных диаграмм легко осуществить сложение гармонических колебаний.

193

Представим оба колебания с помощью векторов амплитуд А1 и А2, и

начальных фаз φ1 и φ2 складываемых колебаний. Построим векторные

диаграммы этих колебаний, как показано на рис. 19.5(б).

Рис.19.5.

Так как векторы А1 и А2 вращаются с одинаковой угловой скоростью ω0, то разность фаз (φ2- φ1) между ними остается постоянной. Легко видеть, что проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов:

x x1 x2 A1cos( 0t 1) A2 cos( 0t 2) Acos( 0t ). (19.23)

Следовательно, вектор А представляет собой амплитуду результирующего колебания; φ - начальная фаза.

Амплитуда результирующего колебания определяется как:

A1 cos 1 A2 cos 2

Тело участвует в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты совершает также гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ1- φ2) складываемых колебаний.

194

19.6. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний

Материальная точка может совершать колебания вдоль оси х, так и вдоль оси у. В данном случае колебания проходят во взаимно перпендикулярных направлениях. Для простоты начало отсчета выбирается так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю.

Запишем уравнение гармонических колебаний, которые можно представить в виде системы

y Bcos( 0t )

Разность фаз обоих колебаний равна φ. А и В – амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений (19.26) параметра t

После несложных преобразований подставляя (19.27) в (19.26) получим уравнение эллипса.

Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Ориентация осей эллипса зависит от разности фаз φ, и амплитуд А и В складываемых колебаний.

Определим траекторию для некоторых частных случаев:

1) m (m = 0,±1, ±2…) – в данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой, такие колебания называются линейно поляризованные

195

ГЛАВА 20. ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

20.1. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления,

действие которых приводит к уменьшению энергии системы. В наиболее часто встречающемся случае сила сопротивления F пропорциональна величине скорости.

где r - коэффициент сопротивления среды. Знак минус обусловлен тем, что сила трения и скорость имеют противоположные направления.

где δ – коэффициент затухания, он определяет, как быстро амплитуда колебаний уменьшается до нуля, ω0 – собственная частота колебаний – частота,

с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды.

Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени из-за потерь энергии реальной колебательной

ω – циклическая частота затухающих колебаний, которая связана с собственной частотой соотношением

При подстановке значения коэффициента затухания в формулу (20.5) получим

197

где А0 - начальная амплитуда, А - амплитуда затухающих колебаний.

Зависимость (20.4).показана на рис.20.1 сплошной линией. А

пунктирными линиями показаны пределы, в которых находятся смещения колебаний точки х. или функция изменения амплитуды описанная уравнением

(20.7).

Промежуток времени = 1/ - в течение, которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется – временем релаксации.

А=А0е-δt

Рис.20.1

Затухающие колебания не являются периодическими, и строго говоря, к

ним не применимо понятие периода или частоты. Однако, при малых затуханиях можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами колеблющейся физической величины, тогда период затухающих колебаний с учетом формулы (20.6)

определяется как:

02 2

Если амплитуды двух последовательных колебаний A(t) и A(t+T)

отличаются на период, то их отношение называется декрементом затухания.

A(t T)

198

логарифм данного выражения называется – логарифмическим декрементом затухания θ

Ne--число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

Для данной колебательной системы логарифмический декремент затухания величина постоянная.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием

добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна:

Из формулы (20.12) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne совершаемых системой за время релаксации.

Например, добротность пружинного маятника

При увеличении коэффициента затухания период затухающих колебаний растет и при δ = ω0 превращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. Колеблющаяся величина стремится к нулю, процесс не будет колебательным. Такой процесс называется апериодическим.

При условии r2 4mk (т.е. выполняется соотношение ω0 ~ δ)

колебательная система приходит в состояние равновесия за самое короткое время. Такое явление называется демпфированием. Примерами систем, в

которых демпфирование оказывается полезным, являются устройства для закрывания дверей и амортизаторы автомобилей. Обычно их конструируют таким образом, чтобы затухание было критическим (демпфированным). Однако по мере износа этих устройств демпфирование ослабляется, двери начинают хлопать, автомобиль раскачивается, наезжая на неровности дороги. Явление демпфирования применяется при проектировке инерциальных ремней безопасности – в автомобилях. Эта идея также может быть внедрена в виде

199

поясов безопасности для выполнения наружных высотных, ремонтных и строительных работ (т.к. в настоящее время возникает потребность внедрения новой строительной специальности – городской альпинизм).

За последнее десятилетие произошел сдвиг в отношении проектировщиков к учету взаимодействия сооружений с грунтовыми основаниями. Практически во всех проектах в той или иной форме принимается во внимание податливость основания.

Наиболее распространенный подход к моделированию взаимодействия сооружений с грунтом - “платформенная модель”. Суть его состоит в том, что сейсмическое воздействие подается на жесткую платформу, на которой с помощью определенного подвеса закреплена модель сооружения. Обычно этот подвес включает в себя распределенные пружины и демпферы. Преимущество

“платформенной модели”- возможность проведения ее расчета с помощью тех же программ, что и расчета сооружения на жестком основании.

Для сооружений на жестких фундаментах поверхностного заложения и для вертикально распространяющихся сейсмических волн в горизонтально-

слоистой среде такая модель является точной при том дополнительном условии, что жесткостные и демпфирующие свойства (способность к затуханию вынужденных колебаний) подвеса точно моделируют динамические характеристики штампа на грунтовом основании. Считается, что для основания

ввиде однородного полупространства динамические характеристики

(жесткости) с достаточной точностью могут быть представлены пружинами, а

демпфирующие - вязкими демпферами.

В общем случае свойства пружин и демпферов, моделирующих динамические жесткости основания в виде жесткого штампа с линейными свойствами как функции частоты. Однако пока в большинстве расчетов за основу берется статическая жесткость штампа (иногда она определяется достаточно изощренными методами), а демпфирование учитывается либо заданием модальных коэффициентов на уровне примерно 5 %, либо

200