Контрольная работа Вводный курс математики Задание 1

Докажите двумя способами (при помощи таблицы истинности и методом доказательства от противного), что заданная формула X от переменных A, B, C является тавтологией. Формула X имеет следующий вид:

Вариант 0. [A(BC)][(AB)(AC)]

Решение

1-й способ (построение таблицы истинности). Мы переменным A, B, C приписываем все возможные распределения истинностных значений 1 (истинно) и 0 (ложно) и находим истинностные значения формул, которые получаются в процессе построения формулы X.

A	B	C	BC	A(BC)	AB	AC	(AB)(AC)	X
1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	0	1	0	0	1
1	0	1	1	1	0	1	1	1
1	0	0	1	1	0	0	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	1	1	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	1	1	1	1	1	1

Видно, что формула X принимает истинностное значение 1 при любых истинностных значениях букв A, B, C. Значит, формула X – тавтология.

2-й способ (доказательство от противного). Пусть формула X принимает истинностное значение 0 при некоторых истинностных значениях букв A, B, C.

Тогда, используя определение импликации, мы получим следующую схему рассуждений:

(i) A(BC)=1;

(ii) (AB)(AC)=0;

(iii) AB=1 (следует из (ii));

(iv) AC=0 (следует из (ii));

(v) A=1 (следует из (iv));

(vi) C=0 (следует из (iv));

(vii) BC=1 (следует из (i) и (v));

(viii) B=1 (следует из (iii) и (v));

(ix) C=1 (следует из (vii) и (viii)).

Условия (ix) и (vi) противоречат друг другу. Значит, формула X принимает истинностное значение 1 при всех истинностных значениях букв A, B, C, и поэтому является тавтологией.

Замечание. При решении 2-м способом следует искать такую схему рассуждения, в которой на каждом шаге истинностное значение определялось бы единственным образом (формулы вариантов 1-10 подобраны так, что подобную схему можно построить).

Вариант 1. [(AB)(AC)][A(BC)]

Вариант 2. [(AC)(BC)][(AB)C]

Вариант 3. [A(BC)][(AB)(AC)]

Вариант 4. [(AB)C][(AC)(BC)]

Вариант 5. [A(BC)][(AB)(AC)]

Вариант 6. [(AB)(AC)][A(BC)]

Вариант 7. [(AB)C][(AC)(BC)]

Вариант 8. [(AC)(BC)][(AB)C]

Вариант 9. [(AB)(AC)][A(BC)]

Вариант 10. [(AC)(BC)][(AB)C]

Задание 2

Постройте отрицание высказывания. Найдите его истинностное значение.

Вариант 0. a) xR yR (x0 xy 1)

b) x,yR (xy  xy)

Решение

a) При построении отрицания высказывания кванторы меняются на противоположные по следующим двум формулам равносильности: xP(x)xP(x) и xP(x)xP(x). Отрицание импликации меняется на конъюнкцию по формуле равносильности (PQ)(PQ).

Запишем наши преобразования:

xR yR (x0xy1)

xR yR (x0xy1)

xR yR (x0xy1)

xR yR (x0xy1).

Данное высказывание истинно: для любого действительного ненулевого числа x существует действительное число y, такое, что xy1, а именно y1x.

b) При построении отрицания высказывания кванторы существования меняются на кванторы всеобщности. Отрицание конъюнкции мы меняем на дизъюнкцию по формуле равносильности (PQ)(PQ).

Запишем наши преобразования:

x,yR (xyxy)  x,yR (xyxy)  x,yR (xyxy)  x,yR (xyxy).

Данное высказывание ложно (его отрицание истинно – это есть свойство связности отношения порядка на множестве действительных чисел).

Вариант 1. a) x,yR (xy15(x7y8))

b) x,yR zR (xyzyxz)

Вариант 2. a) x,yR ((xy17x11)y6)

b) x,yR zR (xz23yz23)

Вариант 3. a) x,y,zR ((xyz0)xzyz)

b) xR yR (xy2x2y)

Вариант 4. a) x,yR ((x3y5)xy15)

b) x,yR zR (xz19yz19)

Вариант 5. a) x,y,zR (xzyz(xyz0))

b) x,yR zR (x7yxy7)

Вариант 6. a) x,yR (xy13(x6y7))

b) x,yR zR (xzyyzx)

Вариант 7. a) x,yR ((xy17y14)x3)

b) x,yR zR (xz18yz18)

Вариант 8. a) x,y,zR ((xyz0)xzyz)

b) xR yR (x4yxy4)

Вариант 9. a) x,yR ((x10y17)xy27) b) x,yR zR (xz21yz21)

Вариант 10. a) x,y,zR (xzyz(xyz0))

b) x,yR zR (xy25x25y)