Аннотированные вопросы к госэкзамену

по математике с методикой преподавания

для специальности «математика и информатика» (2012 г.)

Математический анализ

1. Последовательность, предел числовой последовательности, свойства сходящихся последовательностей.

Последовательность, подпоследовательность. Числовая последовательность. Способы задания последовательности. Примеры последовательностей (арифметическая и геометрическая прогрессии). Свойства последовательностей: ограниченность, неограниченность, монотонность. Предел последовательности. Геометрическая интерпретация предела последовательности. Свойства сходящейся последовательности: единственность предела, ограниченность, сходимость любой подпоследовательности. Арифметические действия над сходящимися последовательностями, предельный переход в неравенствах.

2. Функция. Предел функции в точке.

Понятие функции. Числовые функции числового аргумента. График функции. Способы задания функции. Элементарные глобальные свойства функций (ограниченность, неограниченность, монотонность, периодичность, четность, нечетность). Предел функции в точке по Коши и по Гейне. Эквивалентность двух определений. Единственность предела функции.

3. Непрерывность функции.

Различные определения непрерывности функции в точке. Локальные свойства непрерывной в точке функции (ограниченность, сохранение функцией знака). Непрерывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции. Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывных на сегменте функций и их применения. Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на сегменте функции. Вторая теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной на сегменте функцией своих граней.

4. Производная и дифференцируемость функции. Правила дифференцирования.

Понятие производной функции в точке. Геометрический и механический смысл производной функции в точке. Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке. Дифференцируемость функции в точке. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций. Дифференцирование сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций (тригонометрических, логарифмической, показательной и степенной функций).

5. Условия монотонности функции на промежутке. Выпуклость функции на промежутке. Точки перегиба функции.

Теорема Лагранжа и её геометрическое истолкование. Необходимое и достаточное условие постоянства функции на промежутке. Необходимое и достаточное условие монотонности функции на промежутке. Экстремумы функции. Условия существования точек экстремума функции. Определение выпуклости (вогнутости) функции на промежутке. Достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции. Точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба функции. Достаточное условие существование точки перегиба функции.

6. Первообразная и неопределенный интеграл функции. Методы интегрирования функций.

Задачи, приводящие к восстановлению функции по её производной (задача о вычислении пройденной пути по мгновенной скорости, задача о вычислении мгновенной скорости по ускорению, задача о вычислении переменной массы по известной плотности). Понятие первообразной функции. Свойства первообразных функций. Понятие неопределенного интеграла и его свойства. Таблица интегралов основных элементарных функций. Метод непосредственного интегрирования. Интегрирование методом подстановки и по частям.

7. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (задача о площади криволинейной трапеции, задача о вычислении работы под действием переменной силы). Понятие определенного интеграла. Суммы Дарбу и их свойства (обзорно). Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции. Основные свойства определенного интеграла.

8. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

Определение функции − определенного интеграла с переменным верхним пределом. Свойства функции : непрерывность идифференцируемость. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница и её значение для интегрального исчисления. Связь между определенным и неопределенным интегралами функции.

9. Приложения определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат. Объем тела вращения. Вычисление длины кривой. Вычисление площади поверхности вращения. Работа силы. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой.

10. Числовые ряды. Признаки сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Основные определения: понятие числового ряда, n-ой частичной суммы, сходимости и расходимости ряда. Критерий Коши о сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Положительные ряды. Признаки сравнения, Даламбера, Коши и Маклорена (интегральный). Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Свойства абсолютно сходящихся рядов (ассоциативность, коммутативность). Свойства условно сходящихся рядов (ассоциативность, некоммутативность).

Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешимые в явном виде.

Дифференциальные уравнения вида . Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

2. Принцип сжатых отображений и его применение при доказательстве теоремы о существовании и единственности решения начальной задачи для дифференциального уравнения.

Определение понятия оператора, оператора в себя и сжатия, неподвижной точки оператора. Теорема Банаха о существовании и единственности неподвижной точки оператора сжатия в полном метрическом пространстве. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Доказательство теоремы Пикара о единственности и существования решения начальной задачи Коши для уравнения на основании принципа сжатыхотображений. Выводы и следствия из теоремы Пикара.

3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ. Нахождение общего решения ЛНДУ методом вариации произвольных постоянных.

5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Построение частных решений ЛНДУ с постоянными коэффициентами по виду правой части уравнения методом неопределенных коэффициентов.

Алгебра

1. Группа. Примеры групп. Подгруппа. Гомоморфизм и изоморфизм групп.

Определение группы. Аддитивная и мультипликативная теоретико-групповая терминология. Примеры групп (числовые группы, группы классов вычетов, матричные группы, группы подстановок). Простейшие свойства группы (разрешимость '' линейных '' уравнений; правила сокращений; элементы, симметричные нейтральному, симметричному элементу и произведению двух элементов). Определение и примеры подгруппы. Критерий подгруппы. Определение и примеры гомоморфизма и изоморфизма групп, свойства. Ядро гомоморфизма групп.