КТМ_Маслєєва та ін_Динаміка_точки

mV

2

mV 2

1

0

A0 1 .

2

2

Сила N в процесі руху візка спрямована

R

φ1

перпендикулярно до його переміщення, тоб-

“1”

то перпендикулярно до осі τ (див. рис. 16), і

V

N

тому роботу не виконує. Роботу тут виконує

“0”

сила ваги P на вертикальному переміщенні

P

візка h (див. рис. 15). Оскільки сила ваги діє

по вертикалі униз, а переміщення візка від-

Рис. 16

бувається по вертикалі уверх, то робота сили

буде від’ємною.

Знайдемо швидкість візка V1

в його кінцевому положенні:

mV 2

mV 2

1

0

AP

AN

;

AN

0;

AP

P h mg h ;

2

2

mV12

mV02

2

2

2g h; V1

2

2g h;

2

2

mg h; V1

V0

V0

h

R

R cos 75

R 1

cos 75

5 1

0, 259

5 0,741

3,71 м ;

V

92

2 10 3,71

81

74,2

6,8

2,61 м/с .

1

Отже, правильною буде відповідь 1).

ст ; тут

ст – статична деформація пружини – розраховується за формулою:

P

,

де P – вага точки.

ст

с

Вільні коливання точки масою m в середовищі без опору описуються та-

ким рівнянням динаміки в диференціальному вигляді

mx cx; mx cx 0; x

c

x 0;

x

k 2x 0.

m

Рівняння динаміки вільних коливань точки x

k 2x

0 – це однорідне ди-

за формулою k

c

.

m

няння

руху

точки при

заданих

початкових умовах задачі: при

t 0

x(0) x0; Vx (0) x(0)

x0

V0.

Закон вільних коливань точки (в середовищі без опору) має вигляд:

x

Acos kt

B sin kt, де A і B – це сталі інтегрування, які визначаються із

початкових умов задачі: A

x , B

x0

. Закон вільних коливань точки можна

0

k

ще представити в такому вигляді:

x

asin(kt

) , де a і

– сталі інтегру-

2

x2

2

2

0

на за формулою a

A

B

або a

x0

, а – початкова фаза коли-

k 2

вань:

arctg

A

arctg

x0

k

.

B

x0

частота коливань k та період коливань T

2 ,

які не залежать від початко-

k

вих умов задачі, а визначаються лише параметрами системи – m і c :

Приклад 1. Вказати правильну відповідь. Прискорення вільного падіння

g

прийняти рівним 10 м/с2.

Якщо тіло масою m=2 кг підвісили до кінця вертикальної пружини з коефіцієн-

том пружності с=200 Н/м, а в початковий момент часу пружина була недеформо-

вана і тіло відпустили без початкової швидкості, то амплітуда вільних коливань

вказаної системи дорівнює:

1) a

0,1 м;

2) a

0,2 м;

3) a

0 м;

4) a

1 м.

Розв'язання. Рух тіла на вертикальній пружині будемо розглядати як ко-

ливальний рух точки в силу того, що цей рух поступальний. Амплітуда віль-

них коливань точки залежить від початкових умов руху і циклічної частоти

вільних коливань відповідно формулі a

x2

x02

, де x

– початкова коор-

0

k 2

0

дината, яка показує початкове відхилення точки від положення статичної рі-

вноваги, а

x0

– це

проекція

вектора

початкової швидкості на вісь

x

x0

Vx 0 .

Обчислимо циклічну частоту вільних коливань:

k

c

200

10 рад/с.

m

2

Статична

Початкові умови руху тіла (точки)

Пружина

t = 0

визначимо за допомогою рисунка 17,

недеформована

рівновага

на якому зобразимо пружину в неде-

формованому стані, положення стати-

чної рівноваги тіла, а також його по-

ложення в момент початку коливань

V0 = 0

(при t = 0) відносно початку координат

λст

x0

(осі x, y), яке обирається в положенні

статичної рівноваги тіла.

y

Слід зауважити, що при коливан-

нях тіла (точки) на вертикальній пру-

x

жині вісь

x

проводять із положення

статичної

рівноваги тіла (точки),

в

Рис. 17

якому пружина деформована на вели-

чину

СТ (рис. 17) і це статичне подовження пружини розраховується за фо-

рмулою

P , де P – вага тіла (точки).

СТ

c

Із умови прикладу і рис.17 випливає, що в початковий момент часу t

0

тіло було підвішано до недеформованої пружини, а значить, було відхилено

x0

P

mg

2 10

0,1 м .

СТ

c

c

200

значить Vx 0

x0

0.

Тоді a

0,12

02

0,1

м.

102

єнт пружності с = 200 Н/м, то маса тіла дорівнює:

1) m

8 кг;

2) m

6 кг;

3) m

4 кг;

4) m

2 кг.

Тоді у даному випадку k 2

25

c

. Звідси m

c

200

8 кг.

m

25

25

Отже, правильною буде відповідь 1).

Приклад 3. Вказати правильну відповідь з точністю до десятих.

Якщо

закон коливального

руху матеріальної

точки має вигляд

x 5cos8t

4sin8t см, то амплітуда вільних коливань дорівнює:

a A2

B2

52

42

6,4 см.

1)

T = 6,28 с;

2)

T = 0,15 с;

3)

T = 3,49 с;

4)

T = 1,00 с.

Т

2

2

m

.

k

c

Т 2 3,14

20

6,28 с.

20

Отже, правильною буде відповідь 1).

Приклад 5. Вказати правильну відповідь.

Якщо комплект пружин (рис.18) складається із трьох пру-

c1

жин, жорсткості яких відповідно дорівнюють с1=30 H/м, c2=40

c2

H/м, c3=20 H/м, то еквівалентна жорсткість комплекту стано-

вить:

a)

б)

в)

c1

c1

c1

c2

c2

c2

cекв = с1 + с2

cекв = с1· с2 / (с1 + с2)

1) Т = 1,55 с;

2) Т = 0,888 с;

3) Т = 0,438 с;

4) Т = 0,333 с.

Розв’язання. При заданих параметрах g 10 м/с2,

20 см 0, 2 м,

СТ

2

c

c

g

g

10

T

;

k

50 7,07 рад/с;

k

m

Р/g

Р /c

СТ

0, 2

T

2

3,14

0,888

с.

7,07

ється за часом відповідно гармонічному закону F

F0 sin

t

, де F0 –

амплітуда збурюючої сили,

– її циклічна частота,

t

– фаза збурюю-

чої сили, – її початкове значення. В навчальних задачах

може приймати

значення 0 або

. Якщо

0 , то збурююча сила змінюється за законом си-

2

нуса – F F0 sin t ; якщо ж

, то за законом косинуса:

2

F

F0 sin t

F0 cos t .

2

mx cx F0 sin

t

;

mx

cx

F0 sin t

;

x

c

x

F0

sin

t

m

m

буде наступним:

x

k 2 х

F0

sin

t

.

m

рівняння при заданих початкових умовах руху точки (при t

0):

1) x 0

x0;

2) Vx 0

x 0

x0.

Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння складається із суми

двох розв’язків:

x

x1

x2 , де

x1

–

це загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння

x

k2x

0,

що має вигляд x

Acos kt

Bsin kt;

1

1

1

x2

– це частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння

x

k 2 x

F0

sin

t

. Тут вигляд розв’язку x

залежить від вигляду пра-

2

2

m

2

вої частини диференціального рівняння та співвідношення частот

і k .

Якщо

k , то x2

Dsin

t

, де коефіцієнт D визначається за фор-

мулою D

F0/m

.

k 2

2

П р и м і т к а. За фізичним змістом абсолютне значення коефіцієнта D є амплітудою

чисто вимушених коливань:

D

aвим

F0

/m

F0

1

ст

дин ,

k

2

2

c

1

2

k

F 0

де

– статичне подовження пружини від дїї амплітудного значення F збу-

СТ

c

0

рюючої

сили

(характеризує

вплив

F0

на

амплітуду чисто

вимушених

коливань);

1

– коефіцієнт динамічності (характеризує вплив на амплітуду чисто вимуше-

дин

2

1

k

них коливань співвідношення частот

і k ).

Якщо ж

k

– випадок резонансу, то x2

D t cos

t

, де коефіцієнт

D обчислюється за формулою D

F0

/m

.

2

D t

aвим

F0 m

t

F0 m

t

F0 m

t

F0

t

ст

t.

2

2

2

2 с m

c

2

2

k;

x

x1

x2

Acos kt

B sin kt

Dsin

t

;

k;

x

x1

x2

Acos kt

Bsin kt

D t cos

t

.

3x

36x 2sin 12t (Н), то амплітудне значення збурюючої сили дорівнює:

1)

F0

12 Н;

2)

F0

2 H;

3)

F0

3 H;

4)

F0

6 H.

Розв'язання. Відповідно диференціальному рівнянню вимушених коли-

вань точки mx

cx

F0 sin t

у даному випадку збурюючою силою є си-

ла

F 2sin 12t

(Н); тоді амплітудне значення збурюючої сили дорівнює

F0

2 Н.

Отже, правильною буде відповідь 2).

Приклад 2. Вказати правильну відповідь.

Якщо диференціальне

рівняння

вимушених коливань точки має вигляд

няння треба шукати у вигляді:

1)

x2

D sin 12t;

2)

x2

D t

sin 12t;

3)

x2

D cos 12t;

4)

x2

D t

cos 12t .

шення частот

і k . В правій частині заданого диференціального рівняння ,

загальний

вид

якого x

k 2x

F0

sin t

знаходиться

періодична

функція

m

sin

t ; з рівняння також випливає, що частота збурюючої сили приймає зна-

чення

12 рад/с, а циклічна частота власних коливань точки – k

25 5

рад/с, тобто

k (резонансу немає). Тоді розв’язок

x2

треба шукати у ви-

гляді правої частини диференціального рівняння:

x2

Dsin12t .

Отже, правильною буде відповідь 1).

Приклад 3. Вказати правильну відповідь.

Якщо

диференціальне рівняння вимушених

коливань точки має вигляд

x

25x 2sin 5t , то частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівнян-

ня треба шукати у вигляді:

1)

x

D*t cos 5t ;

2)

x

D*t sin 5t ;

2

2

3)

x

D* cos 5t ;

4)

x D* sin 5t .

2

2

Розв'язання. Як і в попередньому прикладі 2, загальний вигляд заданого

неоднорідного диференційного рівняння буде таким:

x

k 2 x

F0

sin

t ; з рів-

m

няння випливає, що частота збурюючої сили приймає значення

5 рад/с,

x2

D t cos5t .

Отже, правильною буде відповідь 1).

Приклад 4. Вказати правильну відповідь.

Якщо

диференціальне рівняння вимушених коливань точки має вигляд

x

36x

2sin t , то при резонансі частота збурюючої сили дорівнює:

1)

6 рад/с;

2)

18 рад/с;

3)

0,6 рад/с;

4)

26 рад/с.

частота власних коливань точки k

36

6 рад/с. Тоді при резонансі частота

збурюючої сили повинна дорівнювати

k

6 рад/с.

Отже, правильною буде відповідь 1).

Приклад 5. Вказати правильну відповідь.

Якщо диференціальне

рівняння

вимушених

коливань

точки

має

вигляд

x

49x

1, 2sin 6t , то амплітуда чисто вимушених коливань становить:

1) aвим

0,241 м ;

2) aвим

0,092 м ;

3) aвим

0,164 м ;

4) aвим

0,056 м .

Розв’язання. Як і в попередніх прикладах 2 і 3, задане неоднорідне дифе-

ренціальне рівняння

можна

представити

в такому загальному

вигляді

x

k 2x

F0

sin

t , де k і

приймають такі значення:

m

k

49

7 рад/с;

6 рад/с, тобто

k (резонансу немає). Тоді амплі-

туда

чисто

вимушених

коливань

обчислюється

за

формулою

aвим

D

F0/m

і дорівнює aвим

1, 2

1, 2

0,092 м.

k

2

2

49 36

13

Завдання 1. Вказати правильну відповідь. Прискорення ві-

льного падіння g прийняти рівним 10 м/с2.

Якщо маса ліфта 400 кг, а його прискорення a=4 м/с2, то на-

Т

тяг канату T, за допомогою якого спускається ліфт, дорівнює:

1)

T = 5600 Н;

a

2)

T = 2400 Н;

3)

T = 3000 Н;

4)

T = 1600 Н.

V

ється по негладкій площині, що складає кут

з горизонтом, то диференціальне рі-

вняння руху точки в проекціях на вісь x має вигляд:

N

mx

P cos

Fтерт ;

a

А

1)

V

2)

mx

P sin

Fтерт ;

FTEPT

α

α

3)

mx

P cos

Fтерт ;

4)

mx

P sin

Fтерт .

P

x

Якщо до нитки довжиною 1 м підвішен вантаж вагою 20 Н, а

горизонтальна швидкість внаслідок поштовху дорівнює 2 м/с, то

натяг нитки N безпосередньо після поштовху дорівнює:

N

1)

N = 14 Н;

a n

2)

N = 28 Н;

3)

N = 42 Н;

V0

4) N = 32 Н.

P

Завдання 4. Вказати правильну відповідь.

Якщо тіло вагою 40 Н спускається по негладкій по-

верхні, нахиленій під кутом 60о до горизонту, а коефіці-

SA

єнт тертя

0,1 , то робота сили тертя на переміщенні

SA=1 м дорівнює:

N

1)

AF

1 Дж;

терт

FTEPT

2)