КТМ_Маслєєва та ін_Динаміка_точки

зв’язує масу точки m , її швидкість V , сили Fi та переміщення точки S . Із

вигляду інтеграла роботи випливає, що теорему можна використовувати тільки тоді, коли сили, що діють на точку в процесі руху, сталі або залежать

Розв’язання. Із умови прикладу випливає, що на вагонетку в процесі руху діє сила ваги P , реакція опорної площини N та сила опору руху Fоп . Тоді рух вагонетки як точки вздовж осі x описується наступним рівнянням дина-

11

Отже, правильною буде відповідь 4).

Приклад 2. Вказати правильну відповідь.

Розв’язання. Початкові умови руху визначаються у початковий момент часу t = 0. Із умови прикладу випливає, що у цей час тіло отримало швидкість 4 м/с і почало рухатись із початку координат в заданій системі координат; тоді початкові умови руху мають вигляд:

Розв’язання. Розглянемо рух тіла по шорсткій горизонтальній площині із початкового положення зі швидкістю V0 4 м/с t 0 в кінцеве положення, яке воно проходить через t1 5 c від початку руху з шуканою швидкістю V1 .

Зобразимо вказані положення на рис. 9; покажемо також на рисунку проміжне положення тіла між початковим і кінцевим в довільний момент часу t і зобразимо в цьому положенні сили, що діють на тіло в процесі руху: крім заданої сили тяги T на тіло діє сила ваги P і реакція шорсткої площини, що складається із нормальної складової N і сили тертя FТЕРТ . Усі ці сили відомі

(їх можна визначити за умовою прикладу), а треба знайти кінематичну характеристику руху тіла – швидкість V1 . Оскільки тіло рухається поступально, то

далі його будемо розглядати як точку. Тоді із умови прикладу випливає, що поставлене питання відноситься до другої задачі динаміки точки.

12

Цю задачу, як відомо, можна розв’язати шляхом інтегрування диференціального рівняння руху точки (універсальний спосіб) і за допомогою однієї із загальних теорем динаміки точки, так як в даному випадку сили, що діють на точку в процесі руху, сталі. Розв’яжемо цей приклад двома вказаними способами.

Перший спосіб. Складемо диференціальне рівняння руху точки і проінтегруємо його, склавши початкові умови задачі. Для цього рівняння динаміки

Тобто перше рівняння залишається рівнянням динаміки точки, що описує її рух вздовж осі x , а друге рівняння перетворюється в рівняння статики (точка вздовж осі y не переміщується) і його будемо використовувати як допо-

Оскільки в прикладі треба визначити швидкість тіла в заданий момент часу, то останнє рівняння і треба проінтегрувати при належних початкових умовах задачі: при t = 0 Vx 0 x 0 x0 V0 4 м/с.

Для цього розділимо змінні і знайдемо перший інтеграл диференціального рівняння – закон зміни за часом швидкості тіла V V t :

13

де C1 – стала інтегрування, що визначається із початкової умови задачі.

він був винесений із-під знаку інтеграла.

Знайдемо сталу інтегрування C1 :

Отже, правильною буде відповідь 4).

Другий спосіб. Спробуємо відповісти на питання прикладу за допомогою однієї із загальних теорем динаміки точки. Оскільки треба визначити швидкість точки в заданий момент часу, то тут необхідно використовувати інтегральну форму теореми про зміну кількості руху точки (в проекціях на вісь x), бо вона зв’язує масу точки, її швидкість V , сили, що діють на точку, і час t :

Підставивши у вираз теореми вказані величини, отримаємо:

Отже, правильною буде відповідь 4).

14

П р и м і т к а. Робота сили характеризує ефект дії сили на тіло (точку) на заданому переміщенні тіла (точки).

Щоб відповісти на питання прикладу, треба скористуватися формулою для обчислення роботи сили, яка має вигляд

боту буде виконувати сила P .

Отже, правильною буде відповідь 3).

П р и м і т к а. Із інтегральної формули для обчислення роботи сили випливає така ознака, що допомагає визначити без розрахунків знак роботи: якщо сила прискорює рух точки (тіла), то робота її додатна(+); якщо уповільнює рух – то робота її від’ємна (–); якщо

жсила не впливає на рух (не прискорює його і не уповільнює), то робота її дорівнює нулю.

Вданому прикладі прискорює рух тіла А сила Q , бо спрямована вона у бік руху

Приклад 5. Вказати правильну відповідь. Прискорення вільного падіння g

прийняти рівним 10м/с2. Обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр.

15

де N нормальна реакція поверхні.

Для визначення сили N складемо рівняння рівноваги тіла відносно осі y ,

що перпендикулярна до площини, оскільки рух тіла вздовж цієї осі не відбувається:

Роботу сталої сили можна розрахувати за спрощеним правилом: вона дорівнює добутку модуля сили на переміщення точки прикладення сили і на косинус кута між напрямком сили і напрямком переміщення. Кут між напря-

мком сили тертя і напрямком переміщення дорівнює 180 . Тоді

Отже, правильною буде відповідь 1).

Приклад 6. Вказати правильну відповідь. Прискорення вільного падіння g прийняти рівним 10 м/с2.

Якщо тіло масою m піднімається з початковою швидкістю V0 по гладкій нахи-

16

значити. Це друга задача динаміки точки: сили відомі, визначити кінематичну характеристику руху точки.

Тому на питання прикладу можна відповісти за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії точки, бо теорема зв’язує масу точки m , швидкість точки V , сили, що діють на точку, і переміщення точки, яке в даному прикладі задано ( S1 4 м).

Записуємо вираз теореми, враховуючи, що точка переміщується із положення “0” в положення “1”:

Роботу сили ваги P теж можна розписати як роботу сталої сили, бо вона стала за величиною і стала за напрямком по відношенню до переміщення; кут

між напрямком сили P і напрямком переміщення становить Тоді

і отримаємо значення шуканої початкової швидкості тіла

V0 2g S1 0,5 2 10 4 0,5 40 6,32 м/с.

Отже, правильною буде відповідь 4).

Приклад 7. Вказати правильну відповідь.

17

Якщо тіло (рис.13) масою m піднімається без початкової швидкості (V0 0) по гладкій похилій площині, що складає кут α

Розв'язання. Оскільки тіло рухається поступально, то далі його будемо розглядати як точку.

Із умови прикладу випливає, що для отримання відповіді треба скористатися теоремою про зміну кількості руху точки в інтегральній формі в проек-

Fx – сума проекцій на вісь x сил, що діють на точку в процесі руху. Зобразимо ці сили (в довільний момент часу t ) на рис.13; тоді проекція швидкості

Після підстановки вказаних величин в теорему її вираз приймає вигляд:

t1

mV1 0 T P sin dt.

0

Враховуючи той факт, що під знаком інтегралу стоять сталі величини – T , P, , то отримуємо такий результат:

t1

mV1 T P sin dt;

0

Отже, правильною буде відповідь 1).

Приклад 8. Вказати правильну відповідь. Обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр.

Якщо тіло рухалось по горизонтальній площині під дією горизонтальної сили

F 2t2 (Н), то проекція імпульсу цієї сили на горизонтальну вісь x, що спрямована у напрямку дії сили, за проміжок часу 0 2 с дорівнює:

18

Розв'язання. Імпульс сили – це векторна величина, яка характеризує ефект дії сили на тіло (точку) за деякий проміжок часу 0 t1 і визначається за

векторною формулою:

де Lx – проекція імпульса сили на вісь x , Fx – проекція вектора сили на вісь x . В даному випадку вектор сили F проектується на вісь x в натураль-

Отже, правильною буде відповідь 1).

Приклад 9 Вказати правильну відповідь.

Якщо вагонетка (рис.14) рухається без початкової швидкості самокатом униз

Ці сили сталі за величиною і сталі за напрямком по відношенню до напрямку переміщення вагонетки. Її далі будемо розглядати як точку, оскільки рух вагонетки поступальний. Із умови прикладу випливає, що сили, які діють

19

на точку, відомі, а треба знайти кінематичну характеристику її руху – швидкість V1 . Це друга задача динаміки точки, яку при сталих силах і заданому

переміщенні S1 можна розв’язати за допомогою теореми про зміну кінетич-

чином: зміна кінетичної енергії точки на деякому її переміщенні (із положення “0” в положення “1”) дорівнює алгебраїчній сумі робіт усіх діючих на точку сил на тому ж переміщенні. Тоді для даного приклада маємо: