1. Що таке потік подій? Приклади потоків подій, їх параметри.

Під потоком подій розуміють послідовність подій, які відбуваються одна за одною у будь-які моменти часу. Такий потік можна подати у вигляді послідовності моментів (Т₁,Т₂....Т_n) або у графічному вигляді рядом точок на числовій осі Т, які відповідають моментам здіснення відповідних подій 1, 2, .. n.

Прикладами потоків подій в транспортних системах можуть бути сукупність моментів: прибуття поїздів на станцію, завершення обробки, закінчення розпуску відправлення зі станції і т.д. Проміжок часу між моментами здійснення суміжних подій називаю інтервалом (І₁, І₂, …I_n), окрема величина якого визначається як I_i =T_i+1 – T_i.

2. Різновиди потоків подій та їх параметри.

У транспортних системах найчастіше мають місце випадкові потоки подій, тобто в яких інтервали між моментами настання подій є випадковими величинами . Серед усіх випадкових потоків виділяють найпростіший(володіє такими властивостями, як стаціонарність, ординарність та відсутність післядії) у найпростішому потоці коефіцієнт варіації; іншим видом випадкових подій є довільні потоки. Серед довільних широке використання мають ерлангівські потоки (їх опис отримують шляхом перетворення найпростішого потоку; при збільшенні значення К потік буде наближатися до рівномірного). Регулярним називають потік, у якому події відбуваються з визначеними, суворо сталими однаковими інтервалами.

3.Регулярний потік подій, його властивості, параметри та математичний опис.

Регулярним називають потік, у якому події відбуваються з визначеними, суворо сталими, однаковими інтервалами I₁ = I₂ = I_n. Основними параметрами потоку є:

- величина інтервалу між подіями І;

- інтенсивність потоку – кількість подій в одиниця часу: .

Наприклад, при І = 15 хв., інтенсивність становить:

.

Знаючи параметри такого потоку можна визначити моменти коло відбулася n подія

. Також параметром регулярного потоку подій є кількість подій, що відбувається за деякий період часуt..

4.Випадкові потоки подій, їх властивості та параметри.

Випадковий потік – це потік, інтервали між подіями в якому мають випадкову величину. Серед усіх можливих випадкових потоків виділяють найпростіший, який володіє такими властивостями, як стаціонарність, ординарність і відсутність післядії.

Зробити опис випадкових величин означає отримати аналітичний чи графічний вираз залежності імовірної величини від випадкових факторів (або) або визначити від чого залежать інтервали між подіями в потоці, або визначити від чого залежить кількість подій, що відбуваються за деякий проміжок часу. Для характеристики та математичного опису випадкових потоків застосовуються відомі статистичні параметри: інтенсивність вхідного потоку, математичне очікування, дисперсія, середньоквадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

5.Що таке “найпростіший” потік подій, його властивості та параметри.

Серед усіх можливих випадкових потоків виділяють найпростіший, який володіє такими властивостями, як стаціонарність, ординарність і відсутність післядії. Він виділяється з можливістю спрощення математичного апарату, в тому числі транспортних процесів. Потік подій є найпростішим, якщо коефіцієнт варіації вхідного потоку . Для його математичного опису використовують такі параметри як- інтенсивність вхідного потоку;- математичне очікування інтервалів;- дисперсія інтервалів;- середньоквадратичне відхилення інтервалів;- коефіцієнт варіації вхідного потоку.

6. Поясніть таку властивість найпростішого потоку, як стаціонарність.

Стаціонарність – означає, що за деякий період часу tімовірність здійснення будь-якої кількості подійmне буде змінюватися в залежності від місця розташування проміжкуtна числовій прямій.

t₁ t₂

-математичний запис властивості стаціонарності.- означає, що відбудетьсяmподій за період часуt. Вентцель Є.С. таким чином описувала стаціонарні властивості: “Так виходить справа з усіма процесами, які називають стаціонарними. В дійсності вони стаціонарні на окремих ділянках часу. Розповсюдження цієї ділянки до безкінечності є лише зручним прийомом, що використовують для спрощення аналізу”.

7. Поясніть поняття “ординарність”, як властивість найпростішого потоку.

Ординарність означає, що за маленький проміжок часу імовірність здійснення більше ніж одної події рівна нулю.- математичний запис властивості ординарності. Якщо взяти захв. то теоретично можливо, що на станції з більше ніж одним підходом прибуде більше одного поїзда. Однак якщозменшити до 1 мс то можна стверджувати, що більше одного поїзда зане надійде. Потік вагонів на сортувальній гірці не володіє властивістю ординарності оскільки вагони можуть рухатися у відчепах по декілька штук і моменти розпуску будуть регіструватися для усього відчепу відразу.

7. Що означає така властивість найпростішого потоку, як “відсутність післядії”?

Відсутність післядії означають, що події відбуваються незалежно одна від одної, тобто для будь-яких відрізків часу t₁іt₂, які не перетинаються. Кількість подій, що відбувається за період часуt₂ не буде залежати від кількості подій, що відбудеться за проміжок часуt₁.

І_пс=5 хв. – мінімальний інтервал попутнього прямування. Для станції з одним підходом властивість відсутності післядії не є характерною оскільки поїзди можуть прибути на станцію з мінімальним інтервалом попутнього прямування. Якщо взяти станцію з декількома підходами то властивість відсутності післядії буде характерною оскільки поїзди можуть підходити з усіх підходів незалежно один від одного.

7. Як розраховується ймовірність здійснення деякої кількості подій для найпростішого потоку подій.

Виходячи зі стаціонарності найпростішого потоку можна стверджувати, що математичне очікування кількості подій mдля деякого проміжку часуtможна визначити за формулою. Якщо проміжок часу розділити наn рівних частин, при цьому, то цей проміжок буде розподілений нарівних елементарних проміжків часу. За властивістю ординарності за такий проміжок може відбутися 0 або 1 подія, тобто, або 1 подія -,.

7. Як розраховується ймовірність здійснення деякої кількості подій за час t для найпростішого потоку подій?

За деякий час t для найпростішого потоку подій ймовірність здійснення деякої кількості подій визначається за допомогою закону Пуассона:. Приt=1год., де- середня кількість подій за одиницю часу.

7. Закон Пуассона, його математичний опис, параметри. Що розраховують за цим законом?

За законом Пуассона можна проводити математичний опис деякої кількості подій mвиключно для найпростішого потоку. Математичний опис -. Числові параметри цього закону становлять:

• середня кількість подій m;

• математичне очікування ;

• дисперсія ;

• середньоквадратичне відхилення .