Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський транспортно-економічний коледж

Методичні рекомендації

для вивчення тем,

винесених на самостійне вивчення з предмету

«Вища математика»

Розроблено викладачами математики

Шевченко С.В. (вища категорія) і

Височиною В.В. (перша категорія)

Розглянуто і затверджено на засіданні

ПК фізико-математичних дисциплін

Протокол №________ від __________

Голова ПК ___________ Крісан Є.А.

2009

Анотація

Дані методичні рекомендації містить повний об’єм самостійних тем, що відповідають програмі з вищої математики. У рекомендаціях виділені задачі та тестові завдання для підготовки до практичних занять, розв’язавши які, студент може самостійно зробити висновок про якість своєї підготовки.

Студентам запропоновано теми рефератів, за допомогою яких вони зможуть біль глибоко вивчити ту чи іншу тему.

Рекомендується для студентів економічних спеціальностей, викладачів, фахівців математичного та економічного профілю та усім, хто бажає самостійно вивчати окремі теми курсу вищої математики.

ВСТУП

Математика багата ідеями, її історія відбиває найвидатніші думки безлічі поколінь. Свідоме оволодіння цими ідеями надзвичайно полегшується в разі ознайомлення з обставинами їх зародження й розвитку.

З огляду на це пропонуємо щонайстисліший огляд історії тих розділів математичної науки, які становлять основу вищої математики — одного з найважливіших навчальних предметів природничого циклу.

Математика — одна з найдавніших наук, витоки якої сягають глибин палеоліту…

Перші поняття й положення математики звели струнку систему стародавні греки близько 2500 років тому. Ці поняття й положення стали самостійною і суто теоретичною наукою, яка охоплювала арифметику та геометрію. Раніше, насамперед у стародавніх вавилонян і єгиптян, математика поступово формувалась як безпосередньо пов’язана з практикою сукупність виведених із досвіду правил розв’язування конкретних задач. Спочатку арифметика і геометрія не були розділені, а тісно перепліталися між собою. З часом кожна з них виокремилась як самостійна частина математики. Згодом, у процесі подальшого розвитку математики як самостійні її розділи сформувалися алгебра — наука про розв’язування рівнянь, і тригонометрія, що довго була вступом до астрономії. Цей процес тривав близько 2000 років і закінчився в XVII сторіччі, коли докорінно змінився характер самої математики. Річ у тім, що в зазначений період математика вивчала здебільшого сталі величини, за допомогою яких вона описувала окремі стани.

Математику цього періоду можна схарактеризувати як математику сталих величин або, інакше, як елементарну математику. Найважливіші результати цього періоду становлять тепер основний зміст курсу математики середньої школи.

У стародавніх греків особливого розквіту набула геометрія. Найвизначнішим грецьким геометрам — Евкліду, Архімеду та Аполлонію, діяльність яких припадає на III сторіччя до н. е., належать видатні досягнення в математиці. В арифметиці й алгебрі прославився Діофант (III ст. н. е.), проте самостійною наукою алгебра стала у працях ал-Хорезмі, Омара Хайяма та ін. (IX—XII ст.).Тригонометрію як самостійну науку вперше виклав Насіреддін Тусі (XIII ст.). Досягнення вчених Середньої Азії та Близького Сходу разом із надбаннями стародавніх греків, індійського й інших народів перенесли в Європу араби, які відігравали провідну роль у розвитку науки середньовічного світу. Викладені у творах Леонардо Пізанського (XIII ст.), усі зазначені здобутки стали основою подальшого розвитку математики в Європі, який привів у XVII ст. до нової математики — математики змінних величин, або, інакше, вищої математики.

Зауважимо, що близько до вищої математики підійшли ще Архімед, який створив способи обчислення площ і об’ємів, і Аполлоній, який вивчав конічні перерізи. Проте ці паростки нового в математиці сталих величин не знайшли тоді подальшого розвитку. Річ у тім, що хоча розвиток математики за своїм змістом і визначається її предметом, проте стимулюється він в основному й остаточно потребами практики, виробництва. І якщо такі потреби не виникали в математиці ні в період розкладу старогрецького рабовласницького суспільства, ні в період розвитку феодалізму, який розтягнувся через усе середньовіччя, то зрозуміло, чому математика залишалась у рамках вивчення сталих величин: життя не висувало нових задач, а старі розв’язувалися засобами елементарної математики. Нові задачі в математиці — задачі на обчислення площ і об’ємів, центрів ваги, а також на обчислення швидкості руху і тісно пов’язана з нею задача проведення дотичної до кривої, задачі про найбільші і найменші значення величин та деякі інші — виникли у зв’язку з потребами виробництва пізніше, у XVI і, особливо, XVII сторіччях. Це сторіччя великих змін у житті європейських народів, змін, які привели до розвитку нових виробничих відносин, зародження капіталізму. Цей період характеризується великими географічними відкриттями, видатними досягненнями в різних галузях науки, зокрема в астрономії та механіці, що тісно пов’язані з мореплавством і розвитком нової техніки. Новизна поставлених у зв’язку з цим задач полягала головним чином у тому, що потрібно було математично вивчати рух, зміни, перехід одних станів у інші. Розв’язування цих задач привело до появи понять змінної величини та функції, які докорінно змінили характер самої математики, перетворили її на математику змінних величин, вищу математику.

Першим рішучим кроком у створенні математики змінних величин був вихід книги Р. Декарта «Геометрія» (1637), в якій було закладено основи аналітичної геометрії, упроваджено зручну алгебраїчну символіку, що значно вдосконалювала символіку Ф. Вієта і стала основою сучасної.

Отже, Декартова змінна величина стала «поворотним пунктом» у математиці. Завдяки поняттю змінної в математику ввійшли рух і діалектика і завдяки цьому ж стало негайно необхідним диференціальне та інтегральне числення, яке відразу й виникло і було загалом і в цілому завершене, а не винайдене І. Ньютоном і Г. Лейбніцом. Основна заслуга цих учених — вона мала принциповий характер — полягала у створенні у другій половині XVII сторіччя алгоритмів диференціального та інтегрального числення. Разом із ними народжувалася теорія диференціальних рівнянь, застосування математичного аналізу до геометрії — диференціальна геометрія та інші розділи вищої математики. У працях найвизначніших математиків XVIII сторіччя Л. Ейлера, Ж. Лагранжа, П. Лапласа математичний аналіз широко застосовувався до механіки, астрономії та інших наук. Л. Ейлер систематизував аналіз і виклав його як учення про функції.

Найвидатніші досягнення математики XIX сторіччя — відкриття М. І. Лобачевським неевклідової геометрії, введення Е. Галуа поняття групи (1830—1832), створення Г. Кантором теорії множин (1876—1888), яке було тісно пов’язане з обґрунтуванням математичного аналізу, насамперед у працях О. Коші, К. Гаусса, Н. Абеля, Б. Больцано, К. Вейєрштрасса, — зумовили докорінні зміни змісту математики як науки: вона почала вивчати в дуже узагальненому вигляді кількісне відношення та просторові форми реального світу, стала ще абстрактнішою, істотно розширилися межі її практичного застосування. Так складалися основні риси сучасної математики.

Будова математичної теорії Ключові поняття

Абстракція (від лат. аbstractio — відволікати, відтягати) — буквально відокремлення. Сутність абстракції полягає в тому, що, розглядаючи якесь явище, ми свідомо беремо до уваги лише певні його сторони, ігноруючи всі інші, які не мають вирішального значення для розглядуваного випадку.

Абстракція виокремлює загальні, найістотніші ознаки предмета вивчення. Без абстракції неможлива наука, неможливе пізнання і логічне мислення взагалі.

Абстракція відіграє велику роль у математиці. Так, у геометрії ми розглядаємо лише форму тіл, їх положення або співвідношення між окремими їх елементами і зовсім ігноруємо всі інші їх властивості (масу, колір, матеріал тощо), тобто абстрагуємося від них. В арифметиці ми розглядаємо натуральні числа, не цікавлячись самими об’єктами лічби. Більшість фундаментальних понять і положень математики виникла в результаті абстрагування від об’єктів реального світу (поняття точки, прямої, площини, трикутника, кола, кулі, взагалі фігури, величини, числа, функції, аксіоми і т. ін.).

Абсурд (від лат. absurdus — неблагозвучний, противний, без- глуздий) — безглуздя. У математиці застосовується метод зведення до абсурду — метод доведення від супротивного, відомий ще з часів Стародавньої Греції, коли він був особливо поширений. Сутність методу полягає в тому, що для доведення якогось твердження припускають, що воно неправильне, і за допомогою логічних міркувань приходять до суперечності — абсурду.

Аксіома (від грец. Axioma — буквально гідність, повага, авторитет) — у переносному розумінні означає те, що завдяки своєму авторитету не підлягає сумніву, незаперечне. Уперше цей термін застосував старогрецький філософ Арістотель. Тривалий час математики під аксіомами розуміли ті істини або положення, які з огляду на їх очевидність можна прийняти без доведення. У сучасній математиці терміну «аксіома» надають ширшого значення, а саме: аксіома — це одне з вихідних тверджень, які прийнято без доведення і покладено в основу якоїсь теорії.

Алгебра (від араб. aldjebr — поновлення, або відновлення) — одна з провідних галузей сучасної математики, а також один із предметів шкільного навчання.

Алгебра, як і арифметика, має своїм предметом кількісні відношення дійсного світу, але вивчає їх із загальнішого погляду, ніж арифметика.

Алгоритм (від лат. algorithmus). Цей термін виник у ХІІ столітті. Більшість учених вважають, що слово «алгоритм» є перекручене прізвище ал-Хорезмі (ІХ століття). Дехто пов’язує його з арабським al-horethm (корінь) або із грецьким arithmos (число). Це слово часто використовували середньовічні автори в назвах своїх праць з математики.

Поняття алгоритму є одним із основних математичних понять. Під алгоритмом розуміють точні вказівки щодо виконання в певному порядку деякої системи операцій для розв’язування задач певного типу. Отже, характерними ознаками алгоритму є його повна визначеність і масовість.

Аналіз (від грец. analysis — розкладання, розчленування, розбір, розв’язання) — поділ на складові частини. Метод наукового дослідження, за допомогою якого досліджуваний предмет (явище) розкладають на частини або мислено розчленовують унаслідок логічного абстрагування.

Аналіз математичний — у широкому розумінні — це розробка способів обчислень і їх застосувань до розв’язування різних питань про величини. У вузькому розумінні — це частина математики, яка вивчає числення нескінченно малих величин.

Аналогія (від грец. analogia — відповідність, схожість, подібність де в чому предметів, явищ або понять, які в цілому різні) — один з методів наукового пізнання, який, щоправда, не має доказової сили. Адже висновки, зроблені за аналогією, можуть бути хибними. Тому такі висновки потрібно перевіряти методами, які мають доказову силу, зокрема методом індукції математичної.

Аргумент (від лат. argumentum — знак, ознака, доведення, зміст, предмет; arguere — показувати, доводити). У логіці аргумент — це довід, який є основою істинності або хибності висловленого твердження. У математиці цей термін має різні значення: незалежна змінна величина або взагалі вираз, що записаний під знаком функції, аргумент комплексного числа.

Арифметика (від грец. arithmetike — наука про числа) — наука про числа і дії з ними. Вивчає кількісні відношення дійсного світу. Її основою є вчення про натуральні та раціональні додатки числа й правила виконання дій із ними.

Вища математика — математика змінних величин.

Геометрія (від грец. geometria — землевпорядкування (землеміряння) — математична наука про просторові форми і відношення тіл. У загальнішому розумінні геометрія охоплює різноманітні математичні теорії, належність яких до геометрії визначається не лише схожістю їх предмета зі звичайними просторовими формами та відношеннями, а також і тим, що вони історично склались і складаються на основі геометрії в її первісному значенні й у своїх побудовах виходять з аналізу й узагальнення досвіду оперування з просторовими відношеннями й формами конкретних тіл.

Геометрія аналітична — розділ геометрії, в якому властивості ліній, поверхонь і співвідношення між ними вивчаються за допомогою дослідження рівнянь цих ліній і поверхонь у деякій (найчастіше декартовій прямокутній) системі координат.

Гіпотеза (від грец. hypothesis — основа, допущення, припущення) — науково обгрунтоване припущення, що пояснює відому сукупність явищ. Гіпотеза стає вірогідною науковою теорією, якщо дослідна перевірка або виявлення нових фактів підтверджують її правильність. Гіпотези відіграють важливу роль у більшості наук, концентруючи зусилля дослідників у певному напрямі. У математиці особливо часто користуються гіпотезами при доведеннях за допомогою індукції математичної.

Дедукція (від лат. deductio — виведення, відведення, введення) — логічний умовивід від загального до конкретного, від загальних суджень до часткових або менш загальних висновків. У науковому пізнанні дедукція нерозривно пов’язана з індукцією.

Дедуктивний метод полягає в тому, що кожне нове твердження виводиться із сукупності раніше встановлених тверджень. Фактично більшість геометричних теорем виводиться дедуктивним методом.

Диференціальне числення — розділ аналізу математичного, в якому вивчають властивості похідної, способи її обчислення та застосування до питань дослідження функцій.

Еквівалентний (від лат. aequivalens (aequivalentis), що складається зі слів аeque — рівно і valens — той, що має силу, сильний) — буквально рівносильний, рівнозначний, рівноцінний. Поняття еквівалентності є узагальненням поняття рівності. Його застосовують, порівнюючи рівняння, нерівності, множини тощо. Два означення (взагалі твердження) називають еквівалентними, якщо кожне з них є наслідком другого.

Елементарна математика — математика сталих величин.

Задача — це виклад вимоги знайти за даними речами інші шукані речі, які перебувають одні з одними і з даними речами в певних співвідношеннях. Отже, задача складається з умови, в якій наведено дані і шукані величини, визначено співвідношення між ними (в явній чи неявній формі), і головного запитання, на яке потрібно дати відповідь. При розв’язуванні задач широко застосовують аналіз і синтез.

Інваріант — (від лат. invarians (invariantis) — незмінний) — величина, співвідношення, властивість, що пов’язані з якимось математичним об’єктом і не змінюються при певних перетвореннях. Наприклад, відстань між двома точками на площині не змінюється при перенесенні або повертанні системи координат, тобто є інваріантом відносно цих перетворень, хоч координати цих точок і змінюються.

Індукція — (від лат. inductio — наведення) — метод міркування, дослідження, що грунтується на умовиводах від окремих випадків до загального висновку, від окремих фактів до узагальнень. Індукція завжди тісно пов’язана з дедукцією.

Інтуїція — (від лат. intueor — пильно, уважно дивлюсь, споглядаю) — чуття, здогад, здатність відчувати правильність якого-небудь положення, що грунтується на попередньому досвіді. Інтуїція відіграє важливу, але не вирішальну роль у процесі пізнання.

Константа — (від лат. constans (constantis ) — сталий, незмінний. Так називають сталу величину. Розглядають абсолютні константи, прикладами яких П — відношення довжина кола до його діаметра, R — газова константа у фізиці.

Критерій — (від грец. kriterion) — засіб для розв’язування) — ознака, за допомогою якої можна зробити певний висновок. Найчастіше так називають теореми, в яких установлюється необхідність і достатність, на відміну від ознак, які встановлюють лише достатність тієї чи іншої умови. Наприклад, критерій прямо­кутності трикутника: для того щоб трикутник був прямокутним, необхідно і достатньо, щоб сума квадратів його сторін дорівнювала квадратові третьої сторони.

Лема (від грец. lemma — припущення, попереднє тверджен­ня) — теорема, що не має самостійного значення і вводиться як допоміжна для доведення однієї або кількох важливих теорем.

Лінійна алгебра — один із найважливіших розділів алгебри, який виник на основі загальної теорії лінійних рівнянь.

Математика (від грец. ), від — наука, знання) — наука про кількісні відношення і просторові форми дійсного світу. Одна з найдавніших наук. Характерними рисами математики є її абстрактність, точність, або логічна строгість, і, так би мовити, безсумнівність її висновків; нарешті — надзвичайна широта застосувань.

Метод — (від. грец. methodos — шлях слідом за чимось, від metа — після, слідом і hodos — шлях, дорога) — спосіб дослідження явищ природи та суспільного життя; підхід до явищ, що вивчаються, планомірний шлях наукового пізнання і встановлення істини; взагалі прийом, спосіб.

Методика (від метод) — сукупність способів, методів, прийомів доцільного проведення якоїсь роботи, а також розділ педагогіки — вчення про методи викладання якоїсь дисципліни.

Модель (від лат. modūlus — міра) — зразок чого-небудь або відтворення предмета чи явища у зменшеному, або збільшеному, або взагалі в іншому вигляді.

Нескінченність. Поняття про нескінченність є одним із найважливіших понять математики. Його взагалі означити не можна; хоч воно й відбиває властивості об’єктивної реальності, проте не може бути зведене до простіших (означених або взятих за означення) понять. Це поняття, як і більшість математичних понять, є результат абстрагування від властивостей реальних об’єктів і процесів та порівняння їх кількісних відношень.

Оптимальний (від лат. optimus — найкращий) — найбільш сприятливий, найбільш відповідний.

Параметр (від грец. parametro — вимірюю що-небудь, порівнюючи з чимось іншим) — стала величина, яка в даних умовах не змінює свого значення.

Постулат (від лат. postulatum — вимога) — твердження, яке приймають без доведення. У логічному розумінні постулат — те саме, що й аксіома.

Принцип (від лат. principium — початок) — основне вихідне положення якої-небудь теорії, учення, науки і т. ін. У математиці деякі теореми мають назву принципу, скажімо, принцип індукції, що свідчить про фундаментальну роль цих тверджень у деяких теоріях.

Проблема (від грец. problema — те, що виставлене вперед, задача, завдання) — складна теоретична або практична задача, яку потрібно вивчити, дослідити, розв’язати.

Процес (від лат. processus — проходження, переміщення) — сукупність послідовних дій, спрямованих на досягнення певного результату; у математиці — ряд перетворень, об’єдна­них в одне ціле.

Редукція (від лат. reducěre — повертати назад) — математичний метод, який дає змогу зводити дослідження або обчислення складних виразів до дослідження або обчислення простіших, подібних до них за формою. Відповідні співвідношення (формули) називають редукційними, або рекурентними.

Синтез (від грец. synthesis — поєднання, сполучення, складання) — метод вивчення предмета в його цілісності, єдності та взаємному зв’язку його частин; синтез у процесі наукового пізнання пов’язаний з аналізом.

Система (від грец. systema — буквально ціле, складене з частин) — у широкому розумінні правильність розміщення частин, стрункий ряд, зв’язане ціле. Систематизувати — зводити в систему, розміщувати в певному порядку, установлювати певну послідовність. Систематичний — зведений у певну систему.

Скаляр, скалярна величина (від лат. scalā — східці; scalae­ris — східчастий) — так звичайно називають величини, які повністю визначаються своїм числовим значенням (довжина, площа, об’єм, маса, густина, температура, час і т. ін.). Їх значення завжди можна зіставити з певною шкалою (скалою).

Теорема (від грец. theorema, від theoreo — придивляюсь, спостері­гаю) — твердження, правдивість якого перевіряють за допомогою логічних міркувань, що спираються на аксіоми або на раніше доведені твердження, або на ті та інші одночасно.

Міркування, що виявляють справедливість теореми, називають доведенням.

У формулюванні теореми розрізняють дві частини: умову теореми (те, що дано) і висновок (те, що потрібно довести). Теорему називають оберненою до даної, якщо її умова є висновком, а висновок — умовою даної теореми.

Якщо справджується якась теорема і обернена до неї, то ці теореми називають взаємно оберненими.

Справедливість умови будь-якої з них не лише достатня, а й необхідна для справедливості висновку.

Теорему, умова і висновок якої є запереченнями умови і висновку даної, називають протилежною даній. Протилежна теорема рівносильна оберненій, а теорема, обернена до протилежної, рівносильна даній (прямій).

Теорему, в якій установлюється необхідна і достатня умова, при виконанні якої справджується висновок теореми, називають критерієм.

Формула (від лат. formula — правило, спосіб) — записане за допомогою знаків математичних певне правило, звичайно зведене до найпростішого вигляду, де зазначено, які операції і в якому порядку слід виконати з даними величинами, щоб дістати значення шуканої величини.

Перелік тем, винесених на самостійне вивчення.

№ п/п	Назва теми		Обсяг н/г
1.	Визначники 3-го, n-го порядку. Властивості визначників. Розклад визначника за елементами рядків та стовпців.		2
2.	Роз'вязування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера.		2
3.	Ранг матриці. Умови сумісності та визначеності СЛР.		2
4.	Вектори і лінійні дії над нами. Розклад вектора за базисом. Координати вектора, дії за координатами. Обчислення скалярного добутку та косинуса кута між двома векторами.		2
5.	Різні види рівнянь прямої на площині.		2
6.	Кут між двома прямими. Умови || і ┴ двох прямих. Відстань від точки до прямої.		2
7.	Кут між двома площинами. Умови || і ┴ двох площин. Відстань від точки до площини.		2
8.	Різні види рівнянь прямої у просторі. Кут між двома прямими у просторі. Умови || і ┴ двох прямих у просторі. Кут між прямою і площиною.Умови || і ┴ прямої і площини.		2
9.	Гіпербола. Парабола. Властивості.		2
10.	Числова послідовність. Границя числової послідовності. Теореми про границі числової послідовності. Нескінчено малі та нескінчено великі послідовності.		2
11.	Неперервність функції в точці і на проміжку. Точки розриву функції.		2
12.	Задачі, що приводять до поняття похідної.Означення похідної. Фізичний та геометричний зміст похідної. Таблиця похідних. Похідна складеної та оберненої функцій.		2
13.	Диференціал функції та його геометричний зміст. Властивості диференціала. Застосування диференціала в наближених обчисленнях.	2
14.	Формула Тейлора.	2
15.	Застосування диференціального числення до дослідження функцій.	2
16.	Функція багатьох змінних. Означення та символіка. Границя функції. Графік функції.	2
17.	Диференційованість функції багатьох змінних. Похідна за напрямом. Градієнт.	2
18.	Локальні екстремуми функції багатьох змінних.	2
19.	Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Таблиця основних інтегралів.	2
20.	Означення і умови існування визначеного інтеграла. Властивості. Формула Ньютона – Лейбніца.	2
21.	Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ фігур, об'ємів тіл обертання та фізичних задач.	2
22.	Загальні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь. Постановка задачі Коші. Загальний та частинний розв'язки диференціального рівняння.	2
23.	Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютна та умовна збіжність рядів.	2
24.	Дослідження рядів на збіжність.	2

Розділ „Лінійна алгебра”